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1、第 十 章 矩 阵 位 移 法,矩阵位移法的概念 单元刚度矩阵 结构刚度矩阵 坐标转换矩阵 非结点荷载的处理 矩阵位移法的解题步骤 结构分析的计算机方法简介 小结,第一节,第二节,第三节,第四节,第五节,第六节,第七节,返回,第一节 矩阵位移法的概念,结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。,杆系结构的有限单元法,矩阵力法矩阵位移法,柔度法刚度法(直接刚度法)*,矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子计算机为工具的结构分析方法。,有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。,在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵讨论任意坐标系中
2、单元刚度方程的通用形式；,整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方程，从而求解。,直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵位移法的核心内容。,返回,下一张,上一张,小结,以图示连续梁为例说明矩阵位移法的概念。,.绘M图。,整体分析 建立位移法基本方程；求杆端弯矩；,1.单元分析 确定基本未知量，划分单元杆；列各杆端转角位移方程,返回,下一张,上一张,小结,17.1.2 直接刚度法 对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。17.1.3 转角位移方程式中：Kij（i=1,2,3
3、;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当j=1时，在结点i处并在i方向上所需加的结点力矩总和。,返回,下一张,上一张,小结,写成矩阵形式为：简式为：式中：K为结构总刚度矩阵 Q为结点转角列阵 M为结点力矩列阵,返回,下一张,上一张,小结,17.1.4 形成单元刚度矩阵例17-3：写出图示结构的杆端力矩解：据转角方程可得：式中 上式写成矩阵形式为,返回,下一张,上一张,小结,17.1.5 形成总刚度矩阵例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵解：图示结构的刚度矩阵：图17-4,返回,下一张,上一张,小结,17.1.6 引入支承条件，求结点位移 已知上例支承条件=0，连同已获得的K，以及各结点
4、荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（76）式中，得：据矩阵运算的基本法则，则得：解得：,返回,下一张,上一张,小结,17.1.7 求单元杆端力例7-5：求图7-5所示连续梁 的杆端力解：由题可知 杆1 杆2注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤,完全适用于其它类型结构。其中，K的组成是直接刚度法的核心部分。,返回,下一张,上一张,小结,第二节 单元刚度矩阵 17.2.1 结构离散化 将杆系结构分离有限个单元杆 离散化。原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题，非结点荷载需另外处理。图7-617.2.2 单元杆端力
5、和杆端位移表示方法 以i为原点，从i到j的方向为 轴的正向，并以 轴的正向逆时针转900为 轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系 单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“”，表示局部坐标的意思。,下一张,返回,上一张,小结,如图，结点的杆端位移列向量为：结点的杆端力列向量为：注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。,返回,下一张,上一张,小结,17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式例17-7：计算如图17-8所示结构的各杆的杆端力解：,返回,下一张,上一张,小结,写成矩阵形式为：简式为：,返回,下一张,上一张,小结,17.2.4 单元
6、刚度矩阵的特性1）Ke是对称方阵 单元刚度矩阵中的行数等于单元杆端力向量的分量数，列数等于单元杆端位移向量的分量数。因为这两个向量的分量数相等，所以Ke是一个方阵。又因 Kij=Kji，故单元刚度矩阵是对称矩阵。2）Ke是奇异矩阵 矩阵Ke相应行列式的值为零，故知单元刚度矩阵是奇异矩阵。其逆矩阵不存在。17.2.5 单元刚度矩阵中各元素的物理意义 当j位移分量为1而其位移分量为零时，所引起的i分量值。,返回,下一张,上一张,小结,第四节 结构刚度矩阵由（1714）式可知：将（1721）及（1725）式代入上式得：另 TT eI=Ke 则 Fe=Ke e用结分点块式表示为：注：1）为结构坐标的杆
7、端力和杆端位移。2）表示单元 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力分量分别产生的力。3）分别为单元在结构整体坐标中刚度。,返回,下一张,上一张,小结,17.3.1 结构总刚度矩阵形成总刚的步骤：1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚度矩阵中。17.3.2 结构总刚度方程 方程 式中：F 结构的结点力列向量；结构的结点位移列向量；K 结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。,返回,下一张,上一张,小结,17.3.3 支承条件的引入 结构总刚度方程（D）又叫结构原始刚度方程。其中K是奇异矩阵，
8、不能求出确定的结点位移。为此求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界条件（即支承条件），修改 结构总刚度矩阵。具体步骤如下：1）利用已知的结点力F1 2）求未知的结点位移 3）划掉位移为零所对应的行和列。,返回,下一张,上一张,小结,第四节 坐标变换矩阵例17-8：见图17-9所示单元，写出单元 的杆端力向量。解：由投影关系得 图17-9,返回,下一张,上一张,小结,写成矩阵形式为：,返回,下一张,上一张,小结,缩写成 式中：T为坐标变换矩阵T为上交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵。T=TT 式中：T-1与T相乘为1的矩阵；TT把T中行和列各元素互换后形成的。因此，上式的逆转换式为：同理得
9、：,返回,下一张,上一张,小结,第五节 非结点荷载的处理17.7.1 结间荷载转化为结点荷载的方法（如图710）：1）在 B、C 结点加附加约束，使 B、C 两点不能发生任何位移，然后施加结间荷载，如图7-10（b）所示。2）在 B、C 两点没有附加约束的情况下，施加与上述固端剪力和固端弯矩大小相等方向相反的力和力矩，如图 7-10（c）所示。3）（a）=（b）+（c）4）等效结点荷载为汇交在每一结点的 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数 和，但方向相反。图7-10,返回,下一张,上一张,小结,17.7.2 例：试计算图17-11（a）所示刚架等效结点荷载。解：图17-11分别绘在结点上，如图1
10、711（b）所示。,返回,下一张,上一张,小结,17.7.3 例17-10:求图17-12(a)所示结构的等效结点荷载解：分别绘在结上，如图b 所示。图17-12,返回,下一张,上一张,小结,第六节 矩阵位移法解题步骤具体步骤如下：1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。2）选择结构坐标系及局部坐标系。3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向量。4）计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。5）将单元刚度矩阵的四个子块，按下标在结构总刚度矩阵中“对号入座”，建立结构总刚度矩阵和刚度方程。6）引入支承条件，划掉和已知位移为零所对应的行和列，计算结点位移。7）计算局部坐
11、标中的杆端力。8）利用式（1749）和（1750）。,返回,下一张,上一张,小结,第七节 结构分析的计算机方法简介17.9.1 程序功能：本程序只适用于各个杆件单元是等截面直杆，杆件之间是刚性连续，支座是固定端；承受的荷载是结点荷载。17.9.2 源程序说明：1）结点编号，先编可动结点，后编固定结点。2）局部坐标由小号结点码到大号结点码为 轴正向，逆时针转90为 轴正向。,返回,下一张,上一张,小结,本 章 小 结 直接刚度法的解题思路：1）先将结构离散为有限个单元，通过单元分析，建立局部坐标单元刚度矩阵，然后形成局部坐标系单元刚度方程。2）通过坐标变换矩阵，依次用结构坐标系表示单元刚度矩阵。3）再将各单元刚度矩阵中的元素“按对号入座”的办法，叠加到结构刚度矩阵以形成总刚度矩阵。4）然后再引入支承条件进行计算。,返回,下一张,上一张,小结,
