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1、管 理 统 计 学,第一章 概率论基础知识 1.随机实验、样本空间、概率与条件概率,一、一些基本概念1、随机实验（Random Experiment）2、基本事件（Elementary Event）3、样本空间（Sample Space）4、随机事件（Random Event）5、相容事件（Mutually Inclusive Events）与不相容事件（Mutually Exclusive Events）6、概率（Probability）,7、概率运算的主要性质（Properties of Probability）（1）设A是A的对立事件，则 P（A）=1-P（A）。（2）对任意两个事件A
2、和 B，有 P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）（3）若事件AB，则 P（A）P（B）。8、等概率随机实验（Equally Likely Outcomes）满足：1、实验的基本事件个数有限；2、基本事件出现的概率相等。如：投均匀硬币；投骰子等等,二、条件概率与概率乘法定理1、条件概率（Conditional Probability）对样本空间S中的两个事件A和B，若P（A）0，则条件概率2、概率乘法公式（定理）（Multiplication Theorem）对样本空间中任意两个事件A、B，有 P（AB）=P（B A）P（A）=P（A B）P（B）3、全概率公式（The Law of To
3、tal Probability）若A1，A2，An是对样本空间S的一个划分，则对S中的任意事件B，有全概率公式,三、贝叶斯公式（BayesRule）1、贝叶斯公式,其中：A1，A2，An是对样本空间S的一个划分，Ak是其中任意一个事件。,四、相互独立的随机事件的概率公式1、相互独立定义对任意两个事件A、B，且P（B）0,若P(A|B)=P(A),则称事件A与B是相互独立的.注意:独立与不相容的区别.若两个事件A,B相互独立,则有P(A|B)=P(A),P（B）0;P(B|A)=P(B),P（A）0;P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B),2、随机变量与概率分布的基本概念,一、离散型
4、随机变量1、随机变量（Random Variable）2、离散型随机变量（Discrete Random Variable）3、离散型随机变量的概率4、离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）5、离散型随机变量的累积概率（Cumulative Probability）P（X x）的概率称为随机变量X的累积概率。6、离散型随机变量的累积概率分布（Cumulative Probability Distribution）,二、连续型随机变量1、连续型随机变量（Continuous Random Variable）该随机变量的取值域为一个连续区间。2、连续型随机变量
5、的概率连续型随机变量只在区间上取值，其概率值才可能为正值：0 P(x1 X x2)1连续型随机变量取任何离散点的概率为零。3、连续型随机变量的累积概率（Cumulative Probability）注：与离散型随机变量累积概率的表达相同。4、连续型随机变量的累积概率分布（Cumulative Probability Distribution）,5、连续型随机变量的累积概率分布函数连续型随机变量小于等于每一个可能的实验结果x（用数字表示结果）的概率，函数表达为 F（x）=P（X x）6、连续型随机变量的概率密度函数（Probability Density Function）连续型随机变量的概率密
6、度函数是这样一个数学函数式：在该曲线下面任何一个区间的面积，等于随机变量X在该区间上取值的概率。注：离散型：累积概率是概率的求和关系；连续型：累积概率是概率密度的积分关系，有,7、均值（Mean）,连续型：,8、方差（Variance）,离散型：,离散型：,连续型：,9、离散分布与连续分布的区别与对应关系,（1）离散分布的随机变量在离散点取值（可以是有穷多个，也可以是无穷多个离散点），并在这些点上存在概率值。,（2）连续分布的随机变量在（连续）区间上取值，且只有在这些区间上其概率值才能为正值，在连续型随机变量的任意取值点（离散点）上，其概率值均为零。（3）连续型随机变量的概率分布，与离散型随机
7、变量的概率分布相对应。（4）连续型随机变量的累积概率分布，与离散型随机变量的累积概率分布相对应。,9、两个随机变量的联合概率分布（1）两个离散型随机变量的联合概率分布令P（X=i）=P（Ai）,i=1,2,n;P（Y=j）=P（Bi）,i=1,2,m联合概率的一般表达式:P（X=i,Y=j）=P（Ai,Bj),（2）两个连续型随机变量的联合概率密度分布联合概率密度分布与离散型随机变量的联合概率分布相对应.一般表达式:f(x,y),是一个二元函数.,两个离散型随机变量的累积概率分布与两个连续型随机变量的累积概率分布相对应.离散型的累积概率是概率的求和关系;连续型的累积概率是概率密度的积分关系;如
8、:二维随机变量(X,Y)的累积概率分布,10、边际分布,离散型：,连续型：,11、条件分布,离散型：若对某固定的j，P（Y=j）0，有,若对某个固定的i，P（X=i）0，有,连续型：,12、相互独立的随机变量,离散型：若对所有的i，j，有 P（X=i/Y=j）=P（X=i）或 P（X=i，Y=j）=P（X=i）P（Y=j）则称随机变量X与Y是相互独立的,连续型：定义1，若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足：,定义2，若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足：,则称X与Y是相互独立的随机变量。,离散型和连续型的随机变量相互独立的条件和定义，可用累积概率统一表达为：,3.典型概率分布,1、两点
9、分布（0-1分布）如 投一枚硬币，出现正面概率是p，出现反面概率是1-p，可以表示为 P（X=1）=p，P（X=0）=1-p若X 服从两点分布，则记 X B（1，p）。,2、二项分布（Binomial Distribution）,如抛 n 次硬币（又称贝努利实验）,正面出现k次（0 k n）的概率为,二项分布记为：X B（n，p）。,3、伯松分布（Poisson Distribution）,设随机变量 X 的取值为1，2，若X=k 的概率为,，k=1，2，,则 X 服从伯松分布。随机变量X的均值，即E（X）=，方差也是，即 D（X）=。,注：当 n 很大（如n 10），且 p 很小（如p 0.1）时,有,其中,=n p,4、均匀分布（Uniform Distribution）,概率分布函数可以写成：,概率密度函数可以写为：,f（x）,a,b,x,5、正态分布（Normal Distribution）,概率密度函数为：,其中，x的取值为（-，+），为均值，2为方差。,累积概率分布函数为：,当=0，2=1时，正态分布N（0，1）称为标准正态分布。对于N（，2），做变换z=x-/，则 z 服从N（0，1）。,
