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1、2-3 控制系统的复域数学模型,虽然微分方程是基本的数学模型,却并不是一个使用起来最方便的数学模型.因为从微分方程出发分析系统的性能,就必须求出微分方程的解,而对于阶数大于2的微分方程来说,求解并非易事。但是如果用拉氏变换将微积分运算转换为代数运算，也就是传递函数，然后在复数域中求解，再求出拉氏反变换，这就是所求的微分方程的时域解，对于高阶微分方程的解就不是困难。传递函数是基于拉氏变换得到的，它是经典控制理论中最重要的数学模型之一。,1.传递函数的定义和性质（1）传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,例:一RC电路如下图所示,设在开关K闭合的瞬间
2、时刻作为计时起点,即t=0,且此时电容两端的电压为，如果开关K闭合后不再打开,则相当于在RC电路输入端加了一恒定的电压,其幅值为,RC电路的微分方程为:,令,为RC电路的时间常数,则式(1)为:,对式(2)两边进行拉氏变换,得:,因为,是幅值为,的阶跃电压,故,代入式(4),得:,对式(5)两边进行拉氏反变换,得:,如令,即初始条件为零,则式(4)为,从而RC电路可,用下面方块图表示:,（2）传递函数的性质:1）传递函数是输入与输出两个复变量s的有理多项式之比,且m=n，具有复变函数的所有性质.两个多项式中的所有系数均为实数.2）传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数,而与系统或环节的输入
3、信号的形式和大小无关.3）传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。4）传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(t)（可见作业2-6）,例2 拉氏变换法求下图的传递函数：,2.传递函数的极点和零点对输出的影响,系统的传递函数的极点就是系统微分方程的特征根，决定着系统的模态（系统所对应的基本运动形态，达到稳定时的形状），每种模态代表一种运动形态。线性定常时不变系统，其输出模态是由系统的特征根和输入共同决定的。系统的零点只影响各模态响应所占的比重。系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输出的影响请参见教材P.48-P.
4、49有关内容.举例一极点相同（-2，-3），但零点不同系统的传递函数为：,在单位阶跃输入时，其输出分别为：,3.典型环节的传递函数,一个自动控制系统,不管其多么复杂,总是由若干个元件按不同的方式根据一定的目的组合而成.从结构和作用原理角度来看元件,可以有各种各样不同的元件,如机械式,电气式,液压式,气动式等等.但从描述各种元件的行为特征的数学模型来看元件,不管元件的结构和作用原理如何千差万别,其数学模型却有可能完全一样.因此从元件的数学模型来划分元件的种类,只有几种最基本的元件或称为典型环节.,典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）
5、特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。,比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,实例：电动机角速度与角度之间的传递函数，模拟计算机中积分器等。,（三）惯性环节,当输入为单位阶跃函数时,有，可解得：，式中：k为放大系数，T为时间常数。,两个实例：,实例：RC滤波电路、温度控制系统等,（四）振荡环节：时域方程：,传递函数：,（五）微分环节：微分环节的时域形式有三种形式：,相应的传递函数为：,分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。,式中：,实例,（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。如右图所示。其传递函数为：,小结,传递函数的基本概念；传递函数的列写（由微分方程和系统原理图出发）；典型环节及其传递函数（单位阶跃响应及其零极点分布）。,作业2-8,
