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1、第2课时 空间几何体的表面积和体积,了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),【命题预测】1表面积在高考中出现的频率较高，多以填空题出现，在计算题或解答题中出现时，往往与其他知识相结合，综合性较强，难度适中2体积在高考中是热点，也是难点，要求立体思维能力强，空间想象力丰富，常常结合三角函数、面积等知识综合考查，题型灵活多样,【应试对策】1棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式是由侧面展开图得到的，不要死记硬背，计算时应根据侧面展开图的特点进行计算注意区分所求的是侧面积还是表面积，还要认清所求的几何体是柱、锥，台中的哪一类对棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必须明确，这样有利
2、于认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体,2在求解空间几何体的表面积等问题时，常将空间几何体的表面展开，化曲为直，将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题的常用方法研究柱、锥、台表面积的关键是明确它们的平面展开图的形状认识了侧面展开图的形状，自己就可以得出侧面积公式了对于能用公式直接求柱、锥、台体与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决,3求组合体的面积或体积，首先要弄清它是由哪些基本几何体构成，然后将其转化为这些简单几何体的表面积或体积之和关于体积问题为简单问题；一是利用分割、拼补的技巧化复杂问题为简单问题；二是利用等积的技巧，利用体积作为中间量沟
3、通有关元素之间的关系，从而完成计算,【知识拓展】1棱锥与平行于底面的截面的一个性质棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥中，有如下比例性质：对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方比,1直棱柱、正棱锥、正棱台的概念，侧面展开图及侧面积平面展开图：一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图，展开图的面积称为多面体的表面积(或全面积).,直棱柱,正棱柱,正棱锥,正棱台,ch,2.旋转体的表面积公式(1)圆柱的侧面积S(其中r为底面半径，l为母线长)(2)圆锥的侧面积S(其中r为底面半径，l为母线长)(3)圆台的侧面积公式S(其中r，r为上、下底面
4、半径，l为母线长)(4)球的表面积公式S(其中R为球半径),2rl,rl,(rr)l,4R2,3几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V(其中S为底面面积，h为高)(2)锥体的体积公式V(其中S为底面面积，h为高)(3)台体的体积公式V(其中S，S为上、下底面面积，h为高)(4)球的体积公式V(其中R为球半径),Sh,探究：对于不规则的几何体应如何求其体积？提示：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决虽说在某些情况下，割补法优于整体法，但是一般情况下，还是应该先对问题进行整体思考,1(2010栟茶中学学情分析)正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一
5、个美丽的几何体若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为_答案：,2圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为_答案：6(43)或8(31),3已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是_解析：设球的半径为R，则 R34R2，R3.答案：3,4(2010江苏连云港市高考模拟)在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是_答案：,1多面体的展开图：(1)直棱柱的侧面展开图是矩形(2)正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形(3)正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼
6、成的，底面是正多边形,2旋转体的展开图：(1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱的母线长(2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长(3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长,【例1】如图，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P、Q两点，且PA=40 cm，B1Q=30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问蚂蚁爬过的最短路径是多少？思路点拨：把圆柱的侧面展开，这样就把求最短路径转化成了求展开图上线段的长度,解：将圆柱侧面沿母线AA1 展开，得到右图的矩形 所以A1B1=2r=r=10(
7、cm)作QSAA1于点S，在RtPQS中，PS=80-40-30=10(cm)，QS=A1B1=10(cm)PQ=(cm)即蚂蚁爬过的最短路径是10 cm.,变式1：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长 解：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如下图所示,1多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和2组合体的表面积应注意重合部分的处理,【例2】(2009福建)如右图，平行四边形ABCD中，DAB=6
8、0，AB=2，AD=4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积证明：(1)在ABD中，AB=2，AD=4，DAB=60，BD=AB2+BD2=AD2，ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABD=BD，AB平面ABD，AB平面EBD.又DE平面EBD，ABDE.,(2)解：由(1)知ABBD，CDAB，CDBD，从而DEBD，在RtDBE中，DB=2，DE=DC=AB=2，SBDE=DBDE=2.又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BE=BC=AD=4，SABE=ABBE=4，DEBD，平面EBD平面AB
9、D，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD，SADE=ADDE=4综上，三棱锥EABD的侧面积S=8+2.,如右图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和侧棱长均为a，且A1AC=A1AB=60.(1)求证：四边形BCC1B1为矩形；(2)求三棱柱ABCA1B1C1的侧面积和体积,变式2：,解：(1)证明：证法一：连结A1B、A1C，取BC的中点D，连结AD、A1D，由AB=AC=AA1，如右图，且A1AC=A1AB=60知A1ABA1AC，则A1BA1C，A1DBC，又ADBC.因此BC平面A1AD，则BCAA1，又BB1AA1，则BB1BC，因此BCC1B1是矩形,证法二：如右图，取
10、BC的中点D，作A1O平面ABC由A1ABA1AC60知，垂足OAD.ABAC，则ADBC，根据三垂线定理得AA1BC，又BB1AA1，BB1BC，即BCC1B1为矩形(2)如右图，作BEAA1垂足为E，连结CE，EAB60，则E为AA1的中点，又ABEACE，则CEAA1，又BECE AB a，则S侧面积(BECEBC)AA1(1)a2三棱柱的体积VSBECAA1 a3.,(1)计算多面体的体积，基础仍是多面体中一些主要线段的关系，要求概念清楚，点、线、面的位置关系要明确，关键是正确地计算其底面面积和相应的高(2)在计算多面体体积时要注意割补法和等积变换的应用(3)计算旋转体的体积关键是计算
11、半径和高度,【例3】圆台的上、下底面面积分别为4和16，中截面把圆台分成两部分，试求这两部分的体积之比思路点拨：中截面把圆台分成两个圆台，分别求出两个圆台的体积即可得出比值,解：设这两部分的体积分别为V1，V2，圆台的高为2h，上、下底面的面积之比为，上、下底面的半径之比为，截得圆台的大圆锥的高为4h，设截得圆台的大圆锥被圆台上底面截下的小圆锥的体积为V，则，V1 V.,变式3：如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B1=12，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为.解析：设棱台的高为h，SABC=S，则SA1B1C1=4S.答案：124,【规律方法总结】1应注意
12、各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用2如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加,3圆柱的侧面展开图是矩形，两边为底面周长和母线；圆锥的侧面展开图是扇形，弧长为底面周长，半径为母线长；圆台的侧面展开图是扇环，两弧长为两底面周长，腰为母线长,4常用的几个思想方法(1)还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法(2)割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用(3)等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积(4)截面法：尤其
13、是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常画出轴截面进行分析求解.,【例4】如图所示的OAB绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积.,【错因分析】解本题易出现的主要错误有：(1)错误判断几何体的形状，如绕x轴旋转时漏掉了线段OB所产生的圆面，这样计算时就少了这个圆的面积；(2)用错旋转体的面积计算公式，特别是圆台的侧面积公式，导致运算结果错误,【答题模板】解：绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2,3，高为3的圆台，挖去了一个底面半径为3，高为的3圆锥，如图(1)所示，其表面积是圆台的半径为2的底面积、圆台的侧面积、圆锥的侧面积之和圆台的母线长是，圆
14、锥的母线长是3，故其表面积S122(23)33(45 9)；绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥，,如图(2)所示，此时大圆锥的底面半径为3，母线长为3，小圆锥的底面半径为3，母线长为，这个空间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和，故S233 3(9 3).,旋转体的面积公式圆柱：S全2r22rh(r为底面半径，h为高或母线长)；圆锥：S全r2rl(r为底面半径，l为母线长)；圆台：S全(r2r2rlrl)(r为下底半径，r为上底半径，l为母线长)；球：S球4R2(R为球的半径)在解决面积计算问时，一要看准计算的是全面积还是侧面积，二要准确地利用公式，防止出现误用公式
15、.,1一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_解析：由球与长方体的关系可知，球的直径为长方体的对角线，即2R，从而S球4R214.答案：14,2如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45角，求这个三棱柱的侧面积解：求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；一是公式法,AA1和底面AB、AC成等角，且为45角，A1在底面ABC上的射影在BAC的平分线AG上，又ABC为正三角形，AGBC.A1A在底面ABC上的射影在AG上，BCA1A.又A1AB1B，B1BBC，即侧面B1BCC1为矩形SB1BCC1B1BBCab.又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形，且全等，SA1ABB1SA1ACC1A1AABsin 45 ab，S侧(1)ab.,
