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1、2023/11/17,蒙特卡罗方法,第四章 蒙特卡罗方法解粒子输运问题,屏蔽问题模型直接模拟方法简单加权法统计估计法指数变换法蒙特卡罗方法的效率作 业,2023/11/17,蒙特卡罗方法,第四章 蒙特卡罗方法解辐射屏蔽问题,辐射（光子和中子）屏蔽问题是蒙特卡罗方法最早广泛应用的领域之一。本章主要从物理直观出发，说明蒙特卡罗方法解决这类粒子输运问题的基本方法和技巧。而这些方法和技巧对于诸如辐射传播、多次散射和通量计算等一般粒子输运问题都是适用的。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,屏蔽问题模型,在反应堆工程和辐射的测量与应用中，常常要用一些吸收材料做成屏蔽物挡住光子或中子。我们所关心的是经过屏
2、蔽后射线的强度及其能量分布，这就是屏蔽问题。当屏蔽物的形状复杂，散射各向异性，材料介质不均匀,核反应截面与能量、位置有关时，难以用数值方法求解，用蒙特卡罗方法能够得到满意的结果。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,粒子的输运问题带有明显的随机性质，粒子的输运过程是一个随机过程。粒子的运动规律是根据大量粒子的运动状况总结出来的，是一种统计规律。蒙特卡罗模拟，实际上就是模拟相当数量的粒子在介质中运动的状况，使粒子运动的统计规律得以重现。不过，这种模拟不是用实验方法，而是利用数值方法和技巧，即利用随机数来实现的。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,为方便起见，选用平板屏蔽模型，在厚度为 a，长、
3、宽无限的平板左侧放置一个强度已知，具有已知能量、方向分布的辐射源 S。求粒子穿透屏蔽概率（穿透率）及其能量、方向分布。穿透率就是由源发出的平均一个粒子穿透屏蔽的数目。同时，假定粒子在两次碰撞之间按直线运动,且粒子之间的相互作用可以忽略。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,直接模拟方法,直接模拟方法就是直接从物理问题出发，模拟粒子的真实物理过程。状态参数与状态序列模拟运动过程记录结果,2023/11/17,蒙特卡罗方法,粒子在介质中的运动的状态，可用一组参数来描述，称之为状态参数。它通常包括：粒子的空间位置 r，能量 E 和运动方向，以 S(r,E,)表示。有时还需要其他的参数，如粒子的 时间
4、 t 和附带的权重W，这时状态参数 为 S(r,E,t,W)。状态参数 通常要根据所求问题的类型和所用的方法来确定。对于无限平板几何，取 S(z,E,cos)其中 z 为粒子的位置坐标，为粒子的运动方向与 Z 轴的夹角。对于球对称几何,取 S(r,E,cos)其中 r 表示粒子所在位置到球心的距离，为粒子的运动方向与其所在位置的径向夹角。,状态参数与状态序列,2023/11/17,蒙特卡罗方法,粒子第 m 次碰撞后的状态参数为或它表示一个由源发出的粒子，在介质中经过 m 次碰撞后的状态，其中 rm：粒子在第 m 次碰撞点的位置 Em：粒子第 m 次碰撞后的能量m：粒子第 m 次碰撞后的运动方向
5、 tm：粒子到第 m 次碰撞时所经历的时间Wm：粒子第 m 次碰撞后的权重有时，也可选为粒子进入第 m 次碰撞时的状态参数。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,一个由源发出的粒子在介质中运动，经过若干次碰撞后，直到其运动历史结束（如逃出系统或被吸收等）。假定粒子在两次碰撞之间按直线运动，其运动方向与能量均不改变，则粒子在介质中的运动过程可用以下碰撞点的状态序列 描述：S0，S1，SM-1，SM或者更详细些,用来描述。这里 S0 为粒子由源出发的状态，称为初态，SM 为粒子的终止状态。M 称为粒子运动的链长。这样的序列称为粒子随机运动的历史，模拟一个粒子的运动过程，就变成确定状态序列的问题。,
6、2023/11/17,蒙特卡罗方法,为简单起见，这里以中子穿透均匀平板的模型来说明，这时状态参数 取 S(z,E,cos)。模拟的步骤如下：(1)确定初始状态 S0：确定粒子的初始状态，实际上就是要从中子源的空间位置、能量和方向分布中抽样。设源分布为则分别从各自的分布中抽样确定初始状态。对于平板情况，抽样得到 z00。,模拟运动过程,2023/11/17,蒙特卡罗方法,(2)确定下一个碰撞点：已知状态Sm-1，要确定状态Sm，首先要确定下一个碰撞点的位置 zm。在相邻两次碰撞之间，中子的输运长度 l 服从如下分布：对于平板模型，l 服从分布：其中，t 为介质的中子宏观总截面，积分 称为粒子输运
7、的自由程数，系统的大小通常就是用系统的自由程数表示的。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,显然，粒子输运的自由程数服从指数分布，因此从 f(l)中抽样确定 l，就是要从积分方程 中解出 l。对于单一介质则下一个碰撞点的位置如果 zma，则中子穿透屏蔽，若 zm0,则中子被反射出屏蔽。这两种情况，均视为中子历史终止。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,(3)确定被碰撞的原子核：通常介质由几种原子核组成，中子与核碰撞时，要确定与哪一种核碰撞。设介质由A、B、C 三种原子核组成，其核密度分别为NA、NB、NC，则介质的宏观总截面为：其中 分别为核A、B、C 的宏观总截面。其定义如下：分别表示()
8、核的宏观总截面、核密度和微观总截面。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,由于中子截面表示中子与核碰撞可能性的大小，因此，很自然地，中子与A、B、C 核发生碰撞的几率分别为：利用离散型随机变量的抽样方法，确定碰撞核种类：,2023/11/17,蒙特卡罗方法,(4)确定碰撞类型：确定了碰撞的核(比如B核)后，就要进一步确定碰撞类型。中子与核的反应类型有弹性散射、非弹性散射、(n,2n)反应，裂变和俘获等，它们的微观截面分别为则有各种反应发生的几率分别为,2023/11/17,蒙特卡罗方法,利用离散型随机变量的抽样方法，确定反应类型。在屏蔽问题中，中子与核反应常只有弹性散射和吸收两种类型，吸收截面
9、为：这时，总截面为：发生弹性散射的几率为：若，则为弹性散射；否则为吸收，发生吸收反应意味着中子的历史终止。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,(5)确定碰撞后的能量与运动方向：如果中子被碰撞核吸收，则其输运历史结束。如果发生弹性散射，需要确定散射后中子的能量和运动方向。中子能量 Em 为：A是碰撞核的质量与中子质量之比，一般就取元素的原子量；C 为质心系中中子散射前后方向间的夹角，即偏转角。可从质心系中弹性散射角分布fC(C)中抽样产生。实验室系散射角L的余弦L为：,2023/11/17,蒙特卡罗方法,如果给出实验室系散射角余弦分布 fL(L)，可直接从 fL(L)中抽取L，此时能量Em与L
10、的关系式为：确定了实验室系散射角L后，再使用球面三角公式确定cosm：其中为在0,2上均匀分布的方位角。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,至此，由Sm-1完全可以确定Sm。因此，当中子由源出发后，即S0确定后，重复步骤(2)(5)，直到中子游动历史终止。于是得到了一个中子的随机游动历史 S0，S1，SM-1，SM，即也就是模拟了一个由源发出的中子的运动过程。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,以上模拟过程可分为两大步：第一步确定粒子的初始状态S0，第二步由状态Sm-1来确定状态Sm。这第二步又分为两个过程：第一个过程是确定碰撞点位置zm，称为输运过程；第二个过程是确定碰撞后粒子的能量及运
11、动方向，称为碰撞过程。对于中子而言，碰撞过程是先确定散射角，进而确定能量和运动方向；而对于光子，碰撞过程是先确定能量，再确定散射角以及运动方向。重复这两个过程，直至粒子的历史终止。这种模拟过程，是解任何类型的粒子输运问题所共有的，它是蒙特卡罗方法解题的基本手段。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,在获得中子的随机游动历史后，我们要对所要计算的物理量进行估计。对于屏蔽问题，我们要计算中子的穿透率。考察每个中子的随机游动历史，它可能穿透屏蔽（zMa），可能被屏蔽发射回来（zM0），或者被吸收。设第 n 个中子对穿透的贡献为n，则如果我们共跟踪了N 个中子，则穿透屏蔽的中子数为：,记录结果,202
12、3/11/17,蒙特卡罗方法,则穿透屏蔽概率的近似值为：它是穿透率的一个无偏估计。我们称这种直观地模拟过程和估计方法为直接模拟方法。在置信水平 10.95 时，的误差为：其中 为n的均方差，由于n是一个服从二项分布的随机变量，所以或,2023/11/17,蒙特卡罗方法,为得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，将能量、角度范围分成若干个间隔：其中Emax，Emin分别表示能量的上、下限，对于穿透屏蔽的中子按其能量、方向分间隔记录。设一穿透屏蔽的中子能量为EM，其运动方向与Z轴夹角为M，若能量EM属于第 i 个能量间隔Ei，角度M属于第 j 个角度间隔j，则分别在第 i 个能量计数器及第 j 个角度计数
13、器中加 1。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,跟踪 N 个中子后，则分别为穿透中子的能量分布和角分布。其中N1,i 和 N2,i 分别为第 i 个能量和第 j 个角度间隔的穿透中 子数。归一后分别为：,2023/11/17,蒙特卡罗方法,简单加权法,从模拟物理过程来说，直接模拟法是最简单、也是最基本的方法。但是，在直接模拟法中，不管中子在屏蔽中经过多少次碰撞，只要在介质中被吸收，对穿透的贡献就为零；因此在所跟踪的粒子中绝大部分都对穿透没有贡献。而在许多屏蔽问题中，穿透率的数量级在10-6到10-8。进一步，如果我们要求穿透率达相对误差小于1，即那么，N 要大到惊人的数量级1010到1012
14、。显然，这时用直接模拟法计算不是很有效。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,屏蔽物一般是由吸收强的介质组成，因此在每次碰撞时，粒子很有可能被吸收而停止跟踪。现在改变模拟方法，在判断碰撞类型 时，可以认为粒子的 部分是弹性散射，而其余部分被吸收，即人为地把中子分成两部分，一部分弹性散射，一部分吸收。弹性散射这部分继续跟踪；吸收部分则停止跟踪。也就是说，我们利用中子权重的变化来反应继续弹性散射的部分。这就是简单加权法的基本思想。,简单加权法,2023/11/17,蒙特卡罗方法,显然，在加权法中中子的权重W 已成为中子状态参数的组成部分。这时，中子历史成为：对源中子，取W0=1。经过碰撞中子权重的
15、变化为：因子 称为尚存因子。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,这时，第 n 个中子对穿透的贡献为：如果我们共跟踪了N个中子，则穿透率P的无偏估计为：类似地，可以得到穿透中子的能量分布和角分布。只不过在对各计数器进行的加 1 操作改为加WM。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,简单加权法的方差估计为：与直接模拟法相比，有注意到n1，有这表明简单加权法的方差小于直接模拟法的方差。这是因为加权法比直接模拟法减少了一次随机抽样。,简单加权法的方差,2023/11/17,蒙特卡罗方法,加权法的思想在蒙特卡罗方法中用途很广泛。例如，对于具有中子增殖反应，如裂变，(n,2n)，(n,3n)反应的中子输
16、运问题，一个中子与核发生碰撞后，根据反应的类型会产生不同数量的次级中子，每个次级中子又会产生新的次级中子，这样链锁反应 下去，使得用直接模拟法模拟每一个中子是非常困难的。这种情况可以利用加权法来处理。,权重方法的其它应用,2023/11/17,蒙特卡罗方法,中子与核发生碰撞 后，产生的次级中子平均数为：这里f 为裂变次级中子数。于是，碰撞后的权重为：而决定碰撞类型的几率分别为：其中加权法的思想，还可以应用到连续分布情况和偏倚抽样的问题,2023/11/17,蒙特卡罗方法,统计估计法,加权法虽然改进了直接模拟法，但它同样只关心中子是否穿透屏蔽这一信息，因此对每一个中子历史的信息利用得很不充分。统
17、计估计法能够较多地利用中子的历史信息，因而能得到更好的结果。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,一个中子，可能在介质内不发生碰撞而直接穿透屏蔽，也可能在介质内发生一次碰撞后再穿透屏蔽，或经过二次碰撞穿透屏蔽，等等，这些事件是互不相容的，因此穿透概率P 可表示为：其中Pm 是中子恰好经过 m 次碰撞而穿透屏蔽的概率。这表明，可以用求 Pm(m=0,1,)的方法得到P。这样，中子对穿透概率的贡献就不只限于末次碰撞了。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,设中子的历史为：根据该中子的历史，我们可以估计出中子恰好经过 m 次碰撞后，穿透屏蔽的部分显然，具有初态 S0(0,E0,cos0,W0)的中子
18、，未经碰撞直接穿透的部分是：,2023/11/17,蒙特卡罗方法,类似地，在经过了第 m 次碰撞后的中子具有状态 Sm(zm,Em,cosm,Wm)，其可能穿透的部分，正好是一个中子恰好经过 m 次碰撞穿透的部分：这里的这种估计技巧，由于是对每次碰撞后的状态，求其后未经碰撞直接穿透的贡献，因此该方法也称为最后自由飞行估计。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,于是得到该中子对穿透的贡献：如果我们共跟踪了N个中子，则穿透率P的估计为：其方差估计为：,2023/11/17,蒙特卡罗方法,在直接模拟方法中，相对误差为其中 为与置信水平 1相应的量。如果构造一个新的概率模型，使得该模型的穿透率P*与原
19、模型的穿透率P之间存在关系：使用直接模拟方法,相对误差为,指数变换法,2023/11/17,蒙特卡罗方法,如果令*，即这意味着，达到同样的相对误差，跟踪粒子的数目缩小 K 倍，从而减少 K 倍的计算量。指数变换法就是构造一个新的概率模型的一个有效方法。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,构造如下伪过程：宏观总截面为散射截面仍为el(E)。其中 Emin、Emax 分别为能量的下限和上限，为粒子的运动方向与 Z 轴的夹角。可以证明这个伪过程的穿透概率P*与原过程的穿透概率P之间有如下关系:显然，。因伪过程与原过程的结果相差 e 指数，所以该方法称为指数变换法。,2023/11/17,蒙特卡罗方
20、法,分析一下伪过程的定义,可以明显看出P*增大的原因。当 cos=1 时，粒子运动方向与 Z 轴方向一致，其截面最小，粒子沿 Z 轴方向输运的距离较远；而当 cos=1 时，粒子运动方向背向 Z 轴方向，这时其截面最大，粒子向后输运的距离较短。因此，截面变换的结果是加强了粒子向前运动的能力，因而使穿透概率增大。伪过程的构造与几何形状及所考虑的问题有关。比如，对球形几何，使用指数变换法求穿透概率时,所构造的宏观总截面与平板屏蔽的情况不同，粒子的模拟方法也较复杂。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,蒙特卡罗方法的效率,衡量一种蒙特卡罗技巧的好坏，除了看其方差大小外，还要看其所需费用（计算时间）多
21、少，即从该技巧的效率 Ef（方差与费用乘积的倒数）全面考虑：其中2 为方差，T 为所需费用。Ef 大时，所用方法的效率高；否则，效率低。在一般情况下，有些方法虽然减小了方差，却增加了费用。例如，加权法、统计估计法虽然较直接模拟方法减小了方差，却使每个粒子的运动链长增加，或记录贡献的计算时间增加。因 此，不能认为方差小的方法一定好，要从方法的效率全面考虑。在有些情况下，直接模拟方法仍然是一个被广泛使用的方法。,2023/11/17,蒙特卡罗方法,作 业,光子散射后能量分布的抽样把光子散射能量分布改写成如下形式进行抽样：,2023/11/17,蒙特卡罗方法,在1,1+2上定义如下函数:,2023/11/17,蒙特卡罗方法,作 业,给出分布密度函数的抽样方法。,
