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1、空间解析几何,第一节 空间解析几何初步知识,一、空间直角坐标系的建立,1.空间直角坐标系,这样，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系O-XYZ,点O叫做坐标原点.,过空间一定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般有相同的长度单位，正方向符合“右手定则”,2.坐标面.,由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xoy面.yoz面、zox面,它们将空间分成八个卦限.,空间直角坐标系,共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.,二、点在空间直角坐标系中的坐标表示.,R,Q,P,记:点M为M(x,y,z),M为空间一已知点,过M作与坐标轴垂直的平面
2、,在建立了空间直角坐标系后，空间中的点与三个有序实数构成的数组就有一一对应关系，进而可建立曲面方程，对曲面几何性质的研究转化为对方程解析性质的研究。,(1)若点M在yoz面上,则 x=0;在zox面上,y=0;在xoy面上,z=0.,(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0,在 y 轴上,则 x=z=0,在 z 轴上,则 x=y=0,(3)各卦限点的坐标,(+,+,+),(,+,+),(,+),(,),(+,),(+,+),(+,+,),(,+,),特别：,三、空间两点间的距离,M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点,d 2=|M1 M2|2=|M1N|2+|NM2|2,
3、=|P1 P2|2+|Q1 Q 2|2+|R1 R 2|2,=|M1P|2+|PN|2+|NM2|2,=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2,空间两点的距离公式:,特别:点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离,四、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,设点 M(x,y,z),以 i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.,=xi+yj+zk,设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k),=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k(2),即 a=x2 x1,y2 y
4、1,z2 z1 为向量a的坐标表示式,记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1,分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.,五、向量的模与方向余弦的坐标表示式.,(1)方向角:向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.,(2)方向余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos,称为方向余弦.,(3)向量的模与方向余弦的坐标表达式,设a=ax,ay,az,得：,(4),(5),由(5)式可得,cos2+cos2+cos2=1,(6),设ao是与a同向的单位向量,ao,=cos,cos,cos,(7),一、曲面方程的概念.,1.定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z
5、)=0有如下关系:,(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;,(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;,那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,第二节 曲面及其方程,二、几种常见曲面的方程.,1.球面,考虑球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面.,即:(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R2(1),称方程(1)为球面的标准方程.,M,R,特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2=R2,对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.,2.柱面:,例如:考虑方
6、程x2+y2=R2所表示的曲面.,在xoy面上,x2+y2=R2 表示以原点O为圆心,半径为R的圆.,xoy面上的圆 x2+y2=R2 叫做柱面的准线.,平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.,曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2 移动而形成,称该曲面为圆柱面.,(1)定义:平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面.,定曲线C叫做柱面的准线.,动直线 L 叫做柱面的母线.,（2）柱面,例2:方程 y2=2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.,o,x,z,y,y2=2x,3.旋转曲面
7、,(1)定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴.,（2）旋转曲面的方程,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,一、空间曲线的一般方程,设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:,S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0,S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此,即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.,(1),第三节 空间曲线及其方程,解:方程 表示球心在原点O,半径为a的上半球面.,方程 表示母线平行于z 轴的圆柱面.,它的准线xOy面上的圆,圆心在点,所以
8、方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.,如图空间曲线,一般方程为,参数方程为,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.,x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t),当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,1.定义:关于x,y,z的二次方程:,第四节 二次曲面,ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0,所
9、表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j 为常数.相应地平面被称为一次曲面。,研究方法是采用平面截痕法.,2.几种常见二次曲面.,(1)椭球面,由方程可见：,这说明椭球面完全包含在一个以原点O为中心的长方体内。,其中a,b,c称为椭球面的半轴。,椭球面与三个坐标面的交线：,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,（与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面
10、相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,(2)椭圆抛物面:,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面，与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,（与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,（三）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面
11、相截,截得中心在原点 的椭圆.,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,返回,一、平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.,注:1 对平面,法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,第五节 平面及其方程,2.平面的点法式方程,设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.,得:,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1
12、(x 2)2(y+3)+3(z 0)=0,即:x 2y+3z 8=0,二、平面的一般方程,证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为,它表示过定点,且法向量为 n=A,B,C的平面.,注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2),称为平面的一般方程.,例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,4,2(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0,即:2x 3y+4z 4=0,三、两平面的夹角,1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,若已知两平面方程是:,1:A1x+B1y
13、+C1z+D1=0,法向量 n1=A1,B1,C1,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法向量 n2=A2,B2,C2,所以,2.平面1与2 相互垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0,平面1与2 相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,空间直线可看成是两个不平行的平面1和2的交线.,一、空间直线的一般方程,已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,那么,交线L上的任何点的坐标满足:,A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0,不在交线L上的点不满足方程组(1),(1),称方程组(1)空间直线的一般方程.,
14、第六节 空间直线及其方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,1.定义:与空间直线L平行的向量s=m,n,p,称为该直线的方向向量.,而s 的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.,s,L,2.直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0,y0,z0)点,方向向量 s=m,n,p,所以得比例式,(2),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,3.空间直线的参数式方程,得:,x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt,称为空间直线的参数方程.,(3),第七节 综合问题,一、向量的若干应用,1.加法与数乘,建立坐标系;建立直线方程;建立平面方程.,2.数量积,(1)求向量的模,进而求两点间的距离;,(
15、2)求向量的夹角,进而求两条直线、直线与平面、两个平面之间的夹角;,(3)证明两直线、两平面的垂直及直线与平面的平行关系;,(4)建立平面的点法式方程。,3.向量积,(1)求平行四边形（三角形）的面积，进而求点到直线的距离;,(2)求两相交平面交线的方向向量;,(3)判定两向量的平行关系。,4.混合积,(1)判断三个向量（或四个点）是否共面，进而可建立平面方程;,(2)求平行六面体的体积，进而求点到平面的距离及两异面直线公垂线的长;,(3)可建立异面直线公垂线的一般方程。,二、平面方程、直线方程,(一)平面方程,1.平面方程的基本形式,（1）点法式,（2）一般式,（3）向量式,（4）参数式,2.确定平面方程的两个基本思想,(二)直线方程,1.直线方程的基本形式,（1）一般式,（2）参数式,（3）对称式（标准式）,2.确定直线方程的两个基本思想,三、平面、直线之间相互关系与距离公式,（一）两个平面间的关系,（二）两直线间的关系,（三）直线与平面的关系,（四）平面束方程,（五）关于距离的坐标计算公式,四、空间曲线在坐标平面上的投影,
