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1、控制原理,计算机控制系统分析与设计,中南大学机电工程学院,2011年9月,第 3 章 计算机控制数学基础,本章主要教学内容,1.连续信号的采样与重构,2.Z变换,3.1 连续信号的采样与重构,3.1.1 信号的分类,模拟信号,连续模拟信号,阶梯模拟信号,采样信号,-时间离散，幅值为脉冲模拟信号,时间连续，幅值是连续/分段连续的，带量纲的物理量,数字信号,-时间和幅值都是离散的，幅值经过 量化成为无量纲数,3.1.2 计算机控制系统中的信号转换与信息传递,就信号而言，凡是将模拟信号经过采样和量化后，,用计算机进行处理，以控制连续的被控对象，这,类系统称为计算机控制系统。可见，计算机控制,系统既是
2、采样控制系统，又是数字控制系统。,图3-1 数字调节器的结构、信号转换与信息传递,1 采样过程：e(t)e*(t),采样开关（采样保持器）的开闭，把连续信号e(t),转变为离散的信号序列采样信号。,采样周期,采样开关以等时间间隔T开闭,同步采样,所有采样开关都以等周期，且同时开闭,非同步采样,多速采样,多个采样开关以不同的周期采样,随机采样,采样周期是随机的,以等周期，但不同时开闭,2 A/D-模/数转换过程：e*(t)e(kT),量化过程 A/D-模/数转换器将采样信号（离散的,物理量）的幅值变成二进制数的最小位的整数倍。,编码过程采样信号e*(t)经过量化后变成以二进,制数码表示的数字信号
3、e(kT).,量化单位A/D转换器中二进制最小单位（末位）,所代表的物理量。,!量化误差,3 D/A-数/转换和保持：u(kT)u*(t)u(t),D/A-数/模转换将计算机输出的二进制数字信号，,转换成响应的模拟量u*(t)，它在,时间上是离散的，不能作为控制,信号使用。,保持计算机中的输出寄存器，使数字信号在周,期内保持为常值，变成了连续信号。即,3.1.3 采样信号的数学描述与采样定理,脉冲序列表示为,其中,采样定理（又称Shannon采样定理）,对于一个具有有限频谱 的连续信号,进行采样，当且仅当采样频率（或采样周期）,或,时，则采样信号 能够无失真地恢复为原来的,满足关系,连续信号。
4、,3.1.4 保持器的数学描述,1 保持器的原理,根据现在时刻或过去时刻输入的离散值，用常数、,线性函数或抛物线函数形成输出的连续值。插值公式,当m=0和m=1时分别称为零阶保持器和一阶保持器。,零阶保持器，m=0，即,零阶保持器,2 零阶保持器,零阶保持器是一个脉冲响应，其响应的幅值为,1，宽度为，可分解成两个两个基本点单位阶跃,函数之差（见图3-4），即,图3-3 零阶保持器,零阶保持器,其传递函数为,其频率特性为,3.1.5 采样周期的选取（略）,3.2 Z变换,Z变换的定义,典型函数（或序列）的Z变换,Z变换的性质和定理,求Z变换的方法,Z反变换及其求法,3.2.1 Z变换的定义,连续
5、时间函数，经过采样得到。,对y*(t)取拉氏(Laplace)变换.按定义有,！函数的筛选性质,上式中含有超越函数，为运算和书写方便，引入一个新的变量 z,或,将Y*(s)记为Y(z)，则有,Y(z)称为y*(t)的Z变换，记作,由上述定义可见，,y(kT)有关，级数中 的系数就是时间序列 y(kT)值。,（1）采样函数 y*(t)的Z变换Y(z)与采样点的采样值,（2）不论两个函数 和 是否相等，只要在,采样点上有相同的值，即，k=,0，1，2，则。,3.2.2 典型函数（或序列）的Z变换,1 数字脉冲序列（Kronecker Delta函数），,则有,对于 或，求Z变换时，规定函数,时刻的
6、采样值，就是在该时刻的采样强度。则,2 单位阶跃函数（）,显然,则有,对于单位数字阶跃序列,其Z变换与u(t)的Z变换结果是一样的。,3 单位速度函数（）,z1,对于速度序列，有,4 指数函数（）,对指数数字序列，有,5 正弦、余弦函数（）,欧拉公式,!P27：Z变换表,3.2.3 Z变换的性质和定理,1 线性性质,设Zy(kT)=Y(z)，ZX(kT)=X(z)，且a、b为常数，,则有,2 平移定理,（1）滞后定理,设 Zy(kT)=Y(z)，且kT0时，y(kT)=0，则有,滞后定理,【证】按定义展开，由于当 则有,kT0时，y(kT)=0，,！代表滞后环节,（2）超前定理,设 Zy(kT
7、)=Y(z)，则,当 n=1 时，有,当 y(0)=y(T)=y(nT-T)=0，则,！代表超前环节。在运算中是有用的，但是超前环节在实际中是不存在的。,3 初值定理,设 Zy(kT)=Y(z)，则,【证】,显然，当 z 时，有,4 终值定理,设Zy(kT)=Y(z)，且(z-1)Y(z)的全部极点位于单位,内，则,【证】,等式两边z1，可得,即,超前定理,【另证】,!y(-T)=0,5 求和定理,设，则,【证】,两式相减，得,对上式两边作Z变换，并用滞后定理得,例3.2-1 已知,求,由题意 y(kT)=u(kT-T)（单位阶跃序列）,【解】,利用求和定理，有,6 离散卷积定理,若,，则,！
8、连续函数的卷积定理,若,则,【证】由于当 ik 时，,7 位移定理,3.2.4 求Z变换的方法,1 无穷级数求和法 按定义求（略）.,2 部分分式法-由拉氏反变换求z变换.,求解步骤：已知一个函数的拉氏变换Y(s),（1）将 Y(s)展成部分分式,为Y(s)的极点.为待定系数.,（2）利用留数定理求待定系数,（3）各部分分式的拉氏反变换,（4）利用指数函数的Z变换公式,拉氏变换分母无重根（Y(s)无重极点）,例3.2-2 已知，求Y(z).,【解】,拉氏变换分母含共轭复根,例3.2-3 已知，求.,【解】,拉氏变换分母有重根（Y(s)有重极点）,设 为r重根，为单根,重极点各项对应的系数为,.,3.2.5 Z反变换,已知Y(z)，求相应的时间序列Y(kT)或数值序列Y(k).,记作 或,!由 Y(z)不能得到 y(t).,1 长除法,2 部分分式法,例3.2-4 求 的Z反变换.,【解】,一般方法：由于典型函数的Z变换的分子中都有因子,z（参见Z变换表），因此为使分解后的部分分式,的分子都含有因子z，先将Y(z)除以z，然后再分解,为部分分式。设有,将Y(z)除以z后再展成部分分式,式中,则Y(z)的Z反变换为,例3.2-5 求 的Z反变换.,【解】,即,本章作业题,2.8（1），（2）,2.9（3），（3），（5）,2.10（2），（6）,
