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1、第7节 计算机控制系统的稳定性分析,一 稳定性的一般概念二 S 平面和 Z 平面的相互关系三 离散系统的稳定条件四 采样周期对系统稳定性的影响,一 稳定性的一般概念,离散系统稳定性的概念与连续系统一样稳定性 是指系统扰动作用下偏离原平衡点，当扰动作用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统是不稳定的。系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无关，只取决于系统本身的结构参数。,二 S 平面和 Z 平面的相互关系,复变量 z 和 s 之间的关系,令 s=j，则,由此可得S 平面和 Z 平面的基本对应关系：S
2、 平面 虚轴 映射为 Z 平面的单位圆，S 左半平面映射在Z 平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆外。,角频率 与 Z 平面相角的关系,当 S 平面的点沿虚轴由 变化到 时，Z 平面的相角也从 变化到，且 每变化一个 s，Z 平面的相角就变化 2，即转了一周。,S 平面上的主带与旁带，将重复映射在整个 Z 平面上。S 平面可分为许多宽度为 s 的平行带，其中 的带称为主带，其余均为旁带。,【解】S 平面实部相同而虚部相差 s 的整数倍的点均映射为Z平面同一点,若 s 10，试求它们映射在 Z 平面上的点。,【例】如图所示，在 S 平面有三个点，分别为：,S 平面上实轴的平行线（等频率），映射
3、到 Z 平面是从原点出发的射线；S平面上虚轴的平行线（等衰减），映射到 Z 平面是同心圆。,S 左半平面主带映射为 Z 平面单位圆S 左半平面的旁带也映射为 Z 平面单位圆，且与主带上相对应的点都唯一地映射在 Z 平面的同一点上。S 右半平面主带与旁带均映射为 Z 平面同一单位圆的外部区域，且主带与旁带上相对应的点都唯一地映射在 Z 平面的同一点上,三 离散系统的稳定条件,1 离散系统稳定的充要条件 离散系统对应的特征方程的解必须全部位于单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处于稳定边界，亦称为不稳定。,2 离散系统稳定判据 劳斯古尔维茨判据 劳斯古尔维茨
4、判据为连续系统的稳定判据，可以通过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用劳斯判据来分析离散系统的稳定性。,设离散系统的特征多项式为 P(z),【证】,引入双线性变换,可以将 转化为，然后就可借助劳斯判据判断稳定性。,【例1】设采样系统的特征方程为,根据劳斯判据 F(w)在 w右 半平面有两个根，故该采样系统有两个根在单位圆外，因此系统不稳定,【例2】如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的倍数 K 的取值范围。,该系统的广义对象为,朱利阿斯特隆姆稳定判据 这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于 1（即在单位圆内）的判
5、据。,设离散系统的特征方程为 构造朱利表：,朱利表：,从第3 行开始，所有奇数行n用以下公式计算：第(n2)行系数第(n1)行系数上两行末列系数之商,朱利阿斯特隆姆稳定判据 若特征方程式中 a00，则只有当朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于单位圆内。即,若其中有小于零的系数，则其个数等于特征根在Z平面单位圆外的个数。,【例】已知系统的特征方程为,【解】构造朱利表,试判断其稳定性。,其奇数行首列系数有两个小于零，故系统不稳定，且有 2 个根位于单位圆外。,离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是：判断系统稳定性可用如下步骤：判断必要条件是否成立，若不成立，系统
6、不稳定；若必要条件成立，再构造朱利表进一步判断。,【例2】已知系统特征方程为试判断其稳定性。,【解】检验必要条件,系统满足必要条件,构造朱利表,可见奇数行首列系数均大于零，故系统稳定,构造朱利表：（最后一行不必再判断）,3 二阶离散系统的稳定判据,设系统特征方程为系统稳定的必要条件为,为使系统稳定，须满足,由此可推得即,这等价于,由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式：,【例】已知采样系统如图所示：,其中，T=1 秒，试求使系统稳定的 k 值范围。,【解】开环传函,闭环特征方程：,综合起来有,为使系统稳定，须满足二阶离散系统稳定的充要条件：,四 采样周期对系统稳定性的影响,【解】系统开环传函为,【例】已知如图所示采样统，试讨论采样周期 对系统稳定性的影响。,系统闭环特征方程为：,取T=1，则 取T=0.1，则 取T=0.01，则,即特征根为：,为使系统稳定，该特征根应在单位圆内，即,可得,可见，当采样周期减小时，则使系统稳定的 k 值范围将增大，反之则减小。,为使系统稳定要求,当 k 值一定时，如 k=2，系统特征方程为：,可见，必须要有足够小的采样周期，系统才能稳定。,即,【结论】采样系统的稳定性远比连续系统差。如上例中，原连续系统本身是完全稳定的，而变成采样系统后稳定范围变小了；采样周期 T 是影响稳定性的重要参数，一般来说，T 减小，稳定性增强,
