计算机组织与结构第2章数据的机器级表示和运算.ppt

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1、1,第2章 数据的机器级表示和运算,2,本章结构,3,2.1 数制及转换,1、进位计数制*进位计数制：又称进制或数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。有数码、基数和位权3个基本参数,*常用的4种进制：,*R进制数表示：(N)R=(kn-1k1k0.k-1k-2k-m)R=其中，ki0,1,(R-1),4,2、R进制数转换成十进制数,例1(101.01)2=(122+120+12-2)10=(5.25)10(3A.C)16=(3161+10160+1216-1)10=(58.75)10,3、十进制数转换成R进制数(1)十进制数整数转换成R进制数整数,例2,*转换规则：按位权展开,

2、*整数转换规则：除基取余、上右下左,5,(2)十进制数小数转换成R进制数小数,整数部分0.68758=5.5 5(最高位)0.5 8=4.0 4(最低位)(0.6875)10=(0.54)8,例3将(0.6875)10分别转换成二、八进制数,(3)十进制数转换成R进制数*转换规则：整数部分、小数部分分别转换后再合并,练习1(19.6875)10=(X)2=(Y)8，X=？Y=？,*小数转换规则：乘基取整、上左下右,6,4、二、八、十六进制数相互转换*隐含规律：2=21，8=23，16=24,(1)二进制、八进制数相互转换*转换规则：从小数点向两边分别转换；3个二进制数位(不够时补零)等价于1个

3、八进制数位,例4(13.724)8=(001 011.111 010 100)2=(1011.1110101)2(10011.01)2=(010 011.010)2=(23.2)8,(2)二进制、十六进制数相互转换*转换规则：从小数点向两边分别转换；4个二进制数位(不够时补零)等价于1个十六进制数位,例5(2B.E)16=(0010 1011.1110)2=(101011.111)2(11001.11)2=(0001 1001.1100)2=(19.C)16,7,2.2 数值数据的机器表示,计算机用编码(数据)表示信息：,计算机只支持最常用(最基本)的数据类型：,数据表示计算机硬件能够直接识别

4、和引用的数据类型,应用数据数据表示的转换：程序员或编译程序完成,8,一、机器数及其编码,*数值数据：组成由符号、小数点及数值构成，可缺省符号及小数点 运算符号与数值分开运算；加减法需先比较大小,*机器数：符号数字化的数，通常0/1表示+/-；如(+101)2(0101)2、(-0.101)2(-.101)2(1.101)2 真值带“+”或“-”符号的数,*机器数的运算方法：采用手工运算方法，硬件实现很不方便；如(+x)+(-y)时，先求x-y、再求结果符号、最后求x-y或y-x 采用新运算方法，便于硬件实现(如符号与数值一起运算)必须使用新的编码方法！,*机器数的编码方法：原码、补码、反码、移

5、码等,9,1、原码表示法(原码编码方法)*基本思想：用0/1表示符号+/-，数值位为真值的绝对值,*纯整数原码定义：设X=xn-2x0，xi=0或1，则X原=xn-1xn-2x0，,例1+1101原=01101；-1101原=11101,例2设X原=1101，则X=-101,例3设+X原=0110，则-X原=1110；+X原=0000，则-X原=1000，即+0原-0原,练习1若X=-01000，X原=？若X原=101010，X=？,10,*纯小数原码定义：设X=0.x-1x-(n-1)，则X原=x0.x-1x-(n-1),例4+0.1001原=0.1001；-0.1001原=1.1001,例

6、5X原=1.01，则X=-0.01,*原码的特性：,X与X原关系 X原与X表示值的范围相同，+0原-0原；,运算方法符号与数值分开运算(与手工运算一致)适合于乘除法，加减法较复杂,11,2、补码表示法*目标：实现符号与数值一起运算,*有模运算：运算时只计量小于“模”的部分，多余部分被丢弃 模计量系统的计数范围；,(1)有模运算与补数 示例将时针从10点拨向7点，有两种拨法：倒拨10-3=7；顺拨10+9=7+12=7,*补数：若a、b、M满足a+b=M，称a、b互为模M的补数,同余若A、B、M满足A=B+kM(k为有符号整数)，则记 AB(mod M)，称B和A为模M的同余,运算特征c-a=c

7、-(M-b)=c+b(mod M)，即减去一个数等价于加上这个数的补数 可将减法运算转化为加法运算,12,*数据编码思路：使数值部分无减法运算 负数用其正补数表示，正补数可用模加负数求得；例-48(mod 12)，即8=12+(-4)正数用其本身表示，即正数的同余数 例 88(mod 12)，即8=8+12(mod 12),(2)补码定义*基本思想：设模为M，真值X的X补=M+X(mod M),*纯整数补码定义：设X=xn-2x0，xi=0或1，则X补=xn-1xn-2x0，即,说明因X连同符号位共n位，故模为2n,13,例6+0001补=00001，-0001补=10 0000-0001=1

8、1111+1111补=01111，-1111补=10 0000-1111=10001,练习2若X=-01000、Y=+01000，X补=？Y补=？,例7n=5、X0时，最大X补=01111，Xmax=24-1=+15 X0时，最小X补=10000，Xmin=-24=-16,+0000补=-0000补=00000 数0的补码惟一,正数补码最高位(符号位)为0，负数最高位为1,补码表示数的个数比原码多1个,14,*定点纯小数补码定义：设X=0.x-1x-(n-1)，则X补=x0.x-1x-(n-1),例8+0.1011补=0.1011-0.1011补=2-0.1011=10.0000-0.1011

9、=1.0101,说明因X的计量范围为-1+2-(n-1)+1-2-(n-1)，故模为2,15,(3)补码的特性*X与X补的关系：,设纯整数X=+xn-2x0，Y补=0yn-2y0，xi和yi=0或1 则X补=X=0 xn-2x0 Y=Y补=+yn-2y0,纯小数真值与补码的关系上述方法同样适用，自行推导,16,XX补 若X为正数，改符号位为0，其余各位不变；若X为负数，改符号位为1，其余各位取反、末位加1,例9X=+0101，X补=,X=-0101，X补=,0 0101；,1 1011,X补X 若X补最高位为0，改其为正号，其余各位不变；若X补最高位为1，改其为负号，其余各位取反、末位加1,例

10、10X补=0 0101，X=+0101；,X补=1 1011，X=,-0101,17,X原X补 若X原最高位为0，X补=X原；若X原最高位为1，X补=X原各数值位取反、末位加1,例11 X原=0 0101,X补=,0 0101；,X原=1 0101,X补=,1 1011,X补X原 若X补最高位为0，X原=X补；若X补最高位为1，X原=X补各数值位取反、末位加1,例12 X补=0 0101,X原=,0 0101；,X补=1 0101,X原=,1 1011,18,*X补与-X补的关系：,X补-X补X补的各位取反(含符号位)、末位加1-X补X补-X补的各位取反(含符号位)、末位加1,例13X补=1

11、0110，-X补=0 1001+1,=0 1010,练习3若X=-01001，-X补=？若X补=101010，-X补=？-X=？,19,0 01001,0 01001,1 01010,1 10110,+01010,0 01010,-01110,1 10010,+01110,1 10010,-10010,0 10010,0 10101,0 10101,1 10111,1 01001,20,3、反码表示法*目标：作为原码与补码相互转换时的一种过渡编码,*纯整数反码定义：设X=xn-2x0，xi=0或1，取模=2n-1，则,*纯小数反码定义：设X=0.x-1x-(n-1)，xi=0或1，模=2-2-

12、(n-1)，则,例14+1101反=01101，-1101反=10010,例15+0.1101反=0.1101，-0.1101反=1.0010,21,*反码与补码关系：若X为正数，X补=X反；若X为负数，X补=X反+1,原码、补码、反码比较：机器数的最高位均为符号位(0/1表示正/负)；,+0补=-0补，补码比原码、反码多表示一个负数,若真值X为正数，X原=X补=X反；若真值X为负数，X补=X反+1，X反=X原各位求反(符号位除外)；,22,4、移码表示法*目标：实现符号与数值一起编码,*纯整数移码定义：设X=xn-2x0，其中xi=0或1，取模=2n，则 X移=2n-1+X(mod 2n)=

13、2n-1+X-2n-1X2n-1,例16-111移=0001，-001移=0111，000移=1000，+001移=1001，+111移=1111，-1000移=0000,*移码的特性：数在数轴上为连续编码(无符号数)，便于比较大小；X移=X补符号位取反、其余各位不变,23,二、数值数据的表示方法,24,3、数值数据的表示方法,*符号问题处理：有符号数用数字表示符号，无符号数符号位置为数值；,*进制问题处理：只支持二进制方式；,*小数点问题处理：点的表示用隐含方式表示；,位置表示约定不同数据类型的位置不同,25,*数码长度问题处理：不同数据类型数码长度固定；便于定长方式处理 同一数据类型可有几

14、种长度；可提高处理及存储效率,*运算问题处理：运算方法按数据表示的格式及编码进行相应运算；,数值数据的处理方法：包括数据的表示和数据的操作方法,数据类型区分由指令操作码区分；,溢出处理硬件检测并发出通知，由软件处理,26,三、数的定点表示,1、定点表示方法 指约定数据中隐含的小数点位置固定不变。,*定点数的表示范围：(设数码长度为n位),*定点表示形式：有约定在数值最低位之后和最高位之前两种,2、定点数的表示 采用定点表示格式的数称为定点数，通常有几种数码长度。,27,四、数的浮点表示,概念：尾数-M，阶E，尾数的基RM，阶的基RE,1、浮点表示方法 指约定数据中隐含的小数点位置是可变的。,表

15、示尾数用定点纯小数表示，阶用定点整数表示,*浮点表示形式：由尾数和阶组成 格式,28,*浮点数的表示范围与精度：假设尾数及阶的基均为2，数值长度分别为m位及e位,2、浮点数的表示 采用浮点表示格式的数称为浮点数，通常有几种数码长度。,例1若浮点表示格式中m=10、e=4，尾数及阶均为补码编码方式，写出(-54)10的机器码。,解：(-54)10=(-110110)2=-0.110112+110，,浮点数机器码为 00110 10010100000,影响因素e决定了范围、m决定了精度,29,例2若浮点表示格式中尾数为8位(含1位符号位)、阶为5位(含1位符号位)，写出下列实数的浮点数及机器码。,

16、例3浮点表示格式同例2，写出下列机器码的浮点数。,1 0010 1 1011100,0 1110 0 1011100,1 0101 1 0101001,-0.10110102-110,+0.101112-1011,-0.00110002+1101,30,3、浮点数的规格化*目的：在现有的浮点数表示格式中，使表示精度最大化。,例4若浮点表示格式中m=3、e=3、尾数和阶均为原码编码方式，不同表示方法的浮点数精度不同：+101.1=0.101123=0.0101124=0.00101125,*规格化数的要求：尾数真值的最高位为1，即|M|1,*规格化的操作：左规尾数左移一位，阶码减一；右规尾数右移

17、一位，阶码加一。应用非规格化数规格化数，可能需多次规格化操作,31,例5若浮点数尾数及阶的基均为2，回答下列问题：,*规格化数的表示范围及数码特征：,原码尾数最高数值位为1；,补码尾数最高数值位与符号相反 便于硬件实现,左规3次-0.100002-001,右规4次+0.101112+110,1111 0000,1111 110000,0111 111111,0000 1111,101111 100000,32,4、IEEE 754标准,*表示格式及数码长度：有单精度、双精度两种格式及长度,*编码方式：数制M和E均采用二进制方式(即RM=RE=2)；,码制M为原码编码的定点纯小数(改进了定点位置

18、)，E为移码编码的定点整数(改进了移码值),33,*阶的码制：采用的是余127码和余1023码 余X码偏移值为X的移码称为余X码，标准移码：真值=E-28-1=E-128，余127码：真值=E-(28-1-1)=E-127；,*尾数的码制：(以单精度格式为例)支持非规格化尾数和规格化尾数两种方式；,规 格 化尾数规格化的尾数真值=1.m-2m-24，机器码M=m-2m-24，尾数精度=24位,阶的范围1E254，而0和255另作他用，即-126阶的真值127,非规格化尾数尾数真值=0.m-1m-23，机器码M=m-1m-23，尾数精度=23位；,34,*IEEE 754标准浮点表示的特征：(以

19、单精度格式为例),35,例6求IEEE 754单精度码为(CC968000)16的浮点数的真值N,例5求(-11/128)10的IEEE 754单精度规格化数的机器码,解(-11/128)10=(-1011)22-7=(-0.1011)22-3=(-1.011)22-4=(-1.011)22123-127,解(CC968000)16=1 10011001 00101101000000000000000 N为负数，浮点数为规格化数(110011001254)；,机器码为：,阶=(10011001)2(01111111)2=(00011010)2=(26)10 尾数=(1.00101101)2=(

20、1.17578125)10 N=(1)11.17578125226=-1.17578125226,数值数据的表示小结：表示格式有定点和浮点两种，编码方式可选择与运算器对应的机器数编码，数码长度总是固定的,36,2.3 非数值数据的数据表示,1.二进制编码的十进制数 2.字符及字符串编码 3.逻辑数据的表示,37,一、十进制数编码,*BCD码(Binary Coded Dicimal)：又称二-十进制编码，是指用4位二进制编码表示1位十进制数位的编码方式。,*BCD码种类：分有权码和无权码两种，最常用的是8421码。,BCD码缺省指8421码(特殊声明除外)！,*十进制数的编码方法：对各数位按序

21、用BCD码编码，符号编码放在最后；用特定编码表示符号(如1100和1101表示正和负)。,例+427表示为0100 0010 0111 1100-123表示为0001 0010 0011 1101,38,二、字符及字符串编码,1、字符编码*字符编码：字符在字符集中惟一的数字化代码，表示字符在字符集中的序号或特征号,*字符编码的类型：有输入码、内码、交换码、字模码4种,与输入法、字符集大小有关,与字体、字号大小有关,字符交换时的编码(序号),仅与字符集大小有关,字符存储时的编码(数据表示),与字符集大小、存储字长有关,39,*有关字符编码的约定：字符编码均指交换码的编码！字符数据均指内码的编码！

22、,*常见字符编码(交换码)种类：,40,2、字符串编码*字符串特性：由多个字符构成；所含字符数不固定。,*字符串编码方法：由各个字符编码组成；通过特定编码标志字符串的结束，结束编码放在最后 字符集必须包含该字符(如ASCII码中编码为0的字符),例C语言中字符串“am”可编码为1100001 1101101 000000,41,三、逻辑数据的表示*数学特征：值域真、假；运算与(AND)、或(OR)、非(NOT)等,*运算处理方法：可采用所有位同时按位进行与/或/非运算 可获得最大性能一位操作时，软件负责准备数据,*数据的表示方法：数码长度1位n位(n为MEM字长倍数)；以提高存储效率,表示格式

23、n个逻辑数据捆绑表示，每个逻辑数据占1位；,例28位逻辑数A和B如何实现第0位的OR操作(结果在A中)？,编码方式各位独立编码，1/0可表示真/假,解：步骤为 C=B AND 01H；A=A OR C,42,附：数据的表示小结,数据的表示方法：有表示格式、编码方式、数码长度3个方面，而数码长度只与数据的实例有关、与数据的类型无关,数据的表示方法实例：,43,MEM字长的确定思路：(系统结构研究的内容)MEM字长=min使用频率很高的各种数据的数码长度 通常，MEM字长=字节(1B=8bit，ASCII码字符的使用频率很高),机器字长的确定思路：(系统结构研究的内容)机器字长=max使用频率很高

24、的各种定点数的数码长度,数据的表示实现：编译程序将语言数据类型转换成机器数据的表示形式；指令操作码 指明机器数据的表示类型；运算器必须具有相应功能处理不同类型的机器数据！,44,2.4 定点数的运算及实现,一、移位运算,1、移位及移位运算*移位：数值相对于某个位置的移动 例20.0m=2000.0cm，称20相对于小数点左移了2位,*移位操作：有左移、右移2种类型；二进制数左移或右移n位相当于乘以或除以2n,*移位运算：对计算机中机器数的移位操作 运算种类对有符号数，有算术左移、算术右移；对无符号数，有逻辑左移、逻辑右移,数据定长表示符号数字化,运算参数操作数、移动位数,45,2、逻辑移位运算

25、*操作数类型：无符号机器数,例1某REG内容为00111001，逻辑移位运算结果如下：,*运算规则：机器数整体移位，移出的数丢弃，出现的空位补0,丢弃部分,丢弃部分,0 0 1 1 1 0 0 1,0 0 1 1 1 0 0 1,*运算实现方法：通常用移位寄存器实现,练习若(REG)=11001001，逻辑左移1位再右移1位的结果?,*溢出判断方法：左移、移丢数码为1时运算溢出,46,3、算术移位运算*操作数类型：有符号机器数(原码、补码、反码等),*运算规则：符号位不变，数值部分整体移位，空位添补规则如下表(根据编码方式的数学特征添补),补码特性2X补=2X补及 X补=XS*2n-1+X补,

26、00100 00100 00100,00001 00001 00001,1010010001,1110011111,1101111110,47,*运算实现方法：通常用移位寄存器实现,*溢出判断方法：左移移丢数值1时溢出,右移移丢数值1仅影响精度,原码左移、移丢数码为1时溢出；补/反码左移、移丢与符号相反的数码时溢出,01000010(+66)00000100(+4),00010000(+16)00000001(+1)00000000(+0),11000010(-66)10000100(-4),10010000(-16)10000001(-1)10000000(-0),10111110(-66)

27、11111100(-4),11101111(-17)11111110(-2)11111111(-1),10111101(-66)11111011(-4),11101111(-16)11111110(-1)11111111(-0),48,3、算术移位与逻辑移位运算比较,*两者区别：移动及空位添补规则不同；有/无符号数学结果,*减少算术移丢位数的方法：可采用带进位的算术移位运算 进位C硬件位，存放无符号加减运算最高位的进位/借位,算术左移会多移丢1位数值位 如：00101011逻辑左移3次后溢出，算术左移2次后溢出,相当于双符号位,应用算术运算后再右移(除2)的场合,49,二、定点加减运算,*有符

28、号数运算：采用与机器数含义对应的运算方法；*无符号数运算：在有符号运算基础上，进行相关处理。,1、补码加减运算,(1)补码加减运算规则*加法：A+B补=A补+B补,推导A补+B补=(A+B+2M)(mod M)=A+B补,*减法：A-B补=A+(-B)补=A补+-B补,例1设A补=1.1101，B补=1.0111，用补码求A-B补,50,例2设A=-01010，B=+01101，用补码求A+B补、A-B补,解：A补=110110，B补=001101；-B补=110011；,例3设A=+6/16，B=+9/16，用补码求A+B补、A-B补,解：A=+0.0110，B=+0.1001；A补=0.0

29、110，B补=0.1001；-B补=1.0111；,A+B补=A补+B补=0.0110+0.1001=0.1111；A-B补=A补+-B补=0.0110+1.0111=1.1101。,练习设A=+15，B=+24，设补码的数码长度为8位(含1位符号位)，用补码求A+B补、A-B补。,*加减运算特征：符号与数值一起运算；减法可转为加法运算。,51,(2)补码运算溢出判断方法,即：相同符号数相加、且结果与操作数符号不同时溢出!,*溢出判断：用1位符号位判断,设A补=An-1An-2A0，B补=Bn-1Bn-2B0，Z补=A补+B补=Zn-1Zn-2Z0,溢出标志OVR=,52,例5设A=-11/1

30、6，B=+7/16，A+B补、A-B补是否溢出?,对A+B补，OVR=(1 0)(0 0)=0 不溢出,对A-B补，OVR=(1 0)(1 0)=1 溢出,*溢出判断优化：用结果的符号位及最高数值位进位判断,溢出标志OVR=，正溢出时Cn-1=0(Cn-2=1),对例5的A+B补，OVR=(0 0)=0 不溢出 对例5的A-B补，OVR=(1 0)=1 溢出,53,*溢出判断：用2位符号位判断 变形补码采用2个符号位的补码A变补=AnAn-1An-2A0，AnAn-1表示符号(00为正数、11为负数),例6若X=-010，Y=-110，X+Y变补溢出否?,溢出标志OVR=；ZnZn-1=01时

31、正溢出(=10时负溢出),解：X变补=11 110，Y变补=11 010 X+Y变补=11 110+11 010=11 000 1 1=0 不溢出,练习设A=+15，B=+24，设补码的数值部分长度为5位，分别用1位符号位和2位符号位判断A+B、A-B是否溢出。,54,(3)补码加减运算所需的硬件配置,*取反逻辑实现：,*加减运算所需硬件配置：其中Cn-1为硬件进位位；,无符号运算OVR,55,(4)补码加减运算控制流程,56,(5)基于补码的无符号数加减运算*目标：AB无符号=A无符号B无符号；,*加减运算规则：同补码加减运算；不需要n+1位运算,*溢出判断方法：有进位或借位时溢出(与补码运

32、算不同)，溢出标志OVR=Cn-1；,*加减运算所需硬件配置：同补码加减运算；*加减运算控制流程：同补码加减运算,57,2、原码加减运算,(1)原码加减运算规则*目标：AB原=A原B原*运算规则：符号与数值分开运算，先比较大小、后运算；,例1设A原=101010，B原=001101，求A+B原、A-B原.,解A与B异号，P=|A|-|B|=01010-011010即|A|B|；,|B|-|A|=01101-01010=00011，A+B原=0 00011|A|+|B|=01101+01010=10111，A-B原=0 10111,58,(2)原码加减运算的实现方法 由于原码的运算控制复杂，常转

33、换为补码加减运算实现。,*原码加减运算的控制流程：A原A补、B原B补；补码加减运算；Z补Z原,*原码加减运算溢出判断方法：同补码加减运算；,*原码加减运算所需硬件配置：在补码硬件配置基础上，增加取反、补码原码逻辑,(3)基于原码的无符号数加减运算 与基于补码的无符号运算完全相同,作业三：P8021、22、24、25,59,三、定点乘法运算,1、笔纸乘法运算分析,例1设A=+101、B=-110，笔纸乘法过程如下：符号运算(心算)，得负号；数值运算 101 110 000|A|200|A|不移位 101|A|211|A|左移1位 101|A|221|A|左移2位 11110 部分积相加,*硬件实

34、现时的需求：加法器硬件通常只有两个输入 定长运算 每次只有两个数相加 旧部分积移位后再相加 每步进行相加形成新部分积,60,*笔纸乘法的改进：,例2设二进制数A=+0.a-1a-2a-3、B=-0.b-1b-2b-3；|A|B|=|A|2-1b-1+|A|2-2b-2+|A|2-3b-3,例3设二进制数A=+a2a1a0、B=-b2b1b0；|A|B|=|A|22b2+|A|21b1+|A|20b0,改进特征左移改为右移(最后补右移的权小数点不变)；每次只与部分积高位相加(低位已被移出),=2-1|A|b-1+|A|2-1b-2+|A|2-2b-3=2-1|A|b-1+2-1|A|b-2+2-

35、1(|A|b-3+0)=202-1|A|b-1+2-1|A|b-2+2-1(|A|b-3+0),=22|A|20b2+|A|2-1b1+|A|2-2b0=232-1|A|b2+2-1|A|b1+2-1(|A|b0+0),61,例4设A=+111、B=-110，用笔纸改进法计算乘积,*机器乘法的实现思路：(若乘数数值位数为n-1位),循环n-1次，实现各步的加法和右移；,加法时，判断乘数当前位，决定部分积高位与0或被乘数相加(n-1位加法)；,右移时，可将部分积低位放在乘数空出的位置上,1 1 1 1 1 0 0 0 0 PO+0 0 0 0 0 0 P1+1 1 1 1 1 1 0 P2+1

36、1 1 1 0 1 0 1 0 P3,62,2、原码定点乘法运算,(1)原码一位乘法运算(又称基2原码乘法)*原码一位乘法运算规则：设B原=bn-1bn-2b0 乘积符号位SP=an-1 bn-1；,乘积数值位P=|A|B|，迭代公式如下：,P0=0 P1=(P0+|A|b0)2-1 Pn-1=(Pn-2+|A|bn-2)2-1,若为纯整数乘法，|AB|=Pn-12n-1 2n-2位 若为纯小数乘法，|AB|=Pn-120 2n-2位,判断-加法-移位方法：,63,例5设A=-0.111、B=-0.101，用原码一位乘法求AB原,解：A原=1.111，B原=1.101；|A|=0.111，|B

37、|=0.101；乘积数值位运算时，循环3次(判断-加法-移位),=0.1000110 扩展为8位(即2n位),即|AB|=0.100011，乘积符号=a0 b0=0；故 AB原=0.100011 连符号位共7位(即2n-1位),64,*原码一位乘法运算所需硬件配置：设A原和B原为n位原码表示，则AB原为2n位原码表示,实现思路 采用n位加法；无需处理n-1位加法进位部分积逻辑右移,所需硬件配置 REGA、REGB、REGP均为n位REG；计数器C初始值为n-1；控制门受REGB最低位控制(输出0或REGA内容),部分积低位放在乘数空出的位置中 部分积与乘数同时逻辑右移,65,*原码一位乘法运算

38、控制流程：循环的判断-加法-移位,不会产生进位,66,*不同数据类型的数值位数扩展：保持数学上的值不变,定点纯小数无任何动作；硬件配置及算法完全适用,定点纯整数再逻辑右移1次 硬件配置完全适用,*基于原码一位乘法硬件的无符号数乘法：只需对运算控制流程做一些特殊处理,循环改为n次，无需进行数值位扩展；无需所有与符号有关的操作，如求SP、绝对值及置SP；逻辑右移改为带Cn-1的逻辑右移。,67,(2)原码二位乘法运算(又称基4原码乘法)*目标：使一位乘法循环次数减少一半(每次使用2位乘数),*原码二位乘法运算规则：设B原=bn-1bn-2b0 与原码一位乘法类似，迭代公式不同：,P0=0 P1=(

39、P0+|A|b1b0)2-2 P2=(P1+|A|b3b2)2-2 n为奇数时，P(n-1)/2=(P(n-3)/2+|A|bn-2bn-3)2-2,n为偶数时，Pn/2=(P(n-2)/2+|A|bn-2)2-1,68,基本的判断-加法-移位方法 设第i轮循环Pi=(Pi-1+|A|b2i-1b2i-2)2-2,*原码二位乘法运算的实现思路：与一位乘法类似，还是循环的“判断-加法-移位”,69,优化的判断-加法-移位方法 设第i轮循环Pi=Pi-1+|A|(b2i-1b2i-2+T)2-2,+2|A|的实现：采用n+1位加法；左移及进位所需,-|A|的实现：采用n+2位补码加法 采用算术右移

40、,70,初始化时的处理：|B|前补0，使总位数为偶数；最后一次循环有机会处理T=1,n的奇偶及循环结束时T=1的处理,最后一次循环的处理：n为奇数时判断并处理的是00T，不移位；n为偶数时判断并处理的是0bn-2T，右移1位,71,*原码二位乘法运算的控制流程：与一位乘法算法类似 初始化计数器C=n/2、RP=0、T=0、乘数绝对值前补0；,循环体Pi=Pi-1+|A|(b2i-1b2i-2+T)2-2，判断b2ib2i-1T，决定加法所加的数，算术右移2位(C=1、n为偶数时右移1位，C=1、n为奇数时不右移),例6设A=+0.111、B=+0.101，用原码二位乘求AB原,解：|A|补=0

41、00.111，AB原=0.100011,72,例7设A=+0.1111、B=+0.1101，用原码二位乘求AB原,解：|A|补=000.1111，-|A|补=111.0001,故AB原=0.11000011,会为负吗？,73,3、补码定点乘法运算*目标：符号与数值一起运算,(1)补码一位乘法运算*种类：校正法、比较法,*校正法补码一位乘法运算规则：设B补=bn-1bn-2b0,当B0时，B补=B，A补=2n+A(mod 2n)A补B补=(2nA)B=2nBAB=AB(mod 2n),则 AB补=A补B补=A补0bn-2b0,当B0时，B=B补-2n=1bn-2b0-2n=0bn-2b0-2n-

42、1,AB补=A0bn-2b0补+-A2n-1补=A补0bn-2b0+-A补2n-1,运算规则与符号有关！通常不使用校正法,74,*比较法补码一位乘法运算规则：又称Booth算法,设B补=bn-1bn-2b0，则B0时bn-1=0、B0时bn-1=1 校正法的统一公式 AB补=A补0bn-2b0+-A补bn-12n-1,根据补码定义及同余公式，可证明-A补=-A补成立,比较法运算公式 由校正法推导而来 AB补=A补0bn-2b0-A补bn-12n-1=A补-bn-12n-1+bn-22n-2+b0,=A补-bn-12n-1+bn-22n-1-bn-22n-2+b021-b020=A补(bn-2-

43、bn-1)2n-1+(bn-3-bn-2)2n-2+(0-b0)20,=A补2n-1(bn-2-bn-1)+(bn-3-bn-2)2-1+(0-b0)2-(n-1)=A补2n-1(bn-2-bn-1)+(bn-3-bn-2)+(b0-b1)+0+(0-b0)2-12-12-1,75,迭代公式设B补=bn-1bn-2b0，b-1称为附加位、b-1=0 P0补=0 P1补=P0补+(b-1-b0)A补2-1 Pn-1补=Pn-2补+(bn-3-bn-2)A补2-1 Pn补=Pn-1补+(bn-2-bn-1)A补,最后一次不移位！,若为纯整数乘法，AB补=Pn2n-1 2n-1位 若为纯小数乘法，A

44、B补=Pn20 2n-1位,第i轮的判断-加法-移位方法：,76,解：-A补=10101，循环5次(判断-加法-移位、移位仅4次),例8A补=01011，B补=10011，用Booth算法求AB补,77,实现思路 采用n位补码加法；右移为算术右移,*补码一位乘法运算所需硬件配置：设A补和B补为n位补码表示，则AB补为2n位补码表示,部分积低位放在乘数空出的位置中 部分积、乘数及附加位同时算术右移,所需硬件配置 REGA、REGB、REGP均为n位REG；计数器C初始值为n；控制门受REGB最低位及附加位控制 输出0或(REGA)或(REGA)取反后的值,78,*补码一位乘法运算控制流程：循环的

45、判断-加法-移位,思考n位加法会产生溢出吗？,79,*不同数据类型的乘积位数扩展：保持数学上的值不变,定点纯小数0REGB0；,定点纯整数再算术右移1次,*基于补码一位乘法硬件的无符号数乘法：只需对运算控制流程做一些特殊处理,每次只判断REGB0，决定是加0或加(REGA)；算术右移改为带Cn-1的逻辑右移；循环n次，移位n次。,80,四、定点除法运算,1、笔纸除法运算分析,例1设A=+0.101、B=-0.110，C=+101001、D=+110，笔纸除法过程如下：0.110 110 0.1100.1010 110101001 0.0110 110 0.01000 1000 0.00110

46、110 0.000100 101 结果：商=-0.110 商=+110 余数=+0.000100 余数=+101,*除法运算应用：纯整数除法关心余数(取模)，纯小数除法不关心余数(与近似值相关)。,81,*机器定点除法对被除数、商、余数的要求：商、余数数据表示及长度与除数相同，余数与被除数同符号；,*机器定点除法的实现思路：,被除数,82,2、原码定点除法运算,(1)恢复余数法*思想：位商qi为0时恢复余数(即+|除数|),例2A原=1.1011，B原=0.1101，用恢复余数法求A/B原,循环n-1次，求得q1qn-1及Rn-1 上商第i轮Ri=Ri-1左移1位-|B|，Ri0时qi=1；求

47、余qi=1时Ri=Ri，qi=0时Ri=Ri+|B|,*运算规则：设商原=q0.q1qn-1，第i轮循环余数为Ri 判溢出R0=|A|-|B|，R00时溢出，否则R0=|A|；求商符SQ=A符号 B的符号；,解：SQ=1 0=1，|B|补=0.1101，-|B|补=1.0011,得|商|=0.1101，|余数|=0.0111；除法结果 A/B原=1.1101，A%B原=1.0111,83,84,(2)不恢复余数法(又称加减交替法)*思想：优化恢复余数法的性能，即qi=0时下轮补加除数,*运算规则变化：求余若qi=0时Ri+1=2Ri+|B|，否则Ri+1=2Ri-|B|，若qn-1=0(即Rn

48、-10)时，则Rn-1=Rn-1+|B|；上商基本不变，即Ri+10时qi+11，否则qi+10；移位不变，即部分余数与商同时左移。,*效果：平均执行加法次数从1.5(n-1)(n-1)+0.5次,*优化思路：设Ri-1、Ri、Ri+1为恢复余数法的三轮余数，Ri、Ri+1为恢复前的余数，则 Ri=2Ri-1-|B|，若Ri0，则qi=1，Ri=Ri，Ri+1=2Ri-|B|=2Ri-|B|否则qi=0，Ri=Ri+|B|，Ri+1=2Ri-|B|=2Ri+|B|,85,例3A原=1.1011，B原=0.1101，不恢复余数法求A/B原,解：SQ=1 0=1，|B|补=0.1101，-|B|补

49、=1.0011,86,*不恢复余数原码除法所需硬件配置：REGA、REGB、REGQ均为n位REG，REGA存放余数；计数器C初始设置为n-1；控制门受REGQ最低位控制。输出(REGB)或(REGB)取反后的值,87,*不恢复余数原码除法运算控制流程：,88,89,3、补码定点除法运算*思想：与原码除法一致，但用补码表示商及余数。,*不恢复余数法的运算规则：设A补为被除数、B补为除数，Q补=q0.q1qn-1为商，Ri补为第i轮余数(可能与A补异号)，Rn-1补为最终余数(与A补同号)；,商符的确定商的符号与数值部分一起运算形成,按反码规则上商,商为正数时，够减时上商为1商为负数时，不够减时

50、上商为1,90,部分商的确定按反码规则上商,新余数的确定上轮够减时-|B|，否则+|B|,最终余数的修正不够减时修正(+|B|),不恢复余数法,91,例4A补=1.0101，B补=0.1101，不恢复余数求A/B补,92,*不恢复余数补码除法运算控制流程：,*不恢复余数补码除法所需硬件配置：与原码除法基本相同(不需要SQ及SR),93,纯小数除法时常恒置1,94,浮点数的数据表示回顾：F=SMM2E,数据存储方式通常采用规格化数方式存储 规格化数 0.5|M|1,2.5 浮点数的运算,表示格式定点纯小数M+定点整数E,编码方式M常采用原码或补码，E常采用移码,数码长度有几种长度，如单精度和双精