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1、第六节 定积分的应用,一、平面图形的面积,面积微元:,(1)由连续曲线 y=f(x)(f(x)0),直线 x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积,面积,1,若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为,2,面积元素:,(2)由连续曲线 y=f(x),y=g(x),直线 x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积:,3,一般地，,4,及y轴围成的平面图形的面积为,一般地，,5,及y轴围成的平面图形的面积为：,一般地，,6,解,先求两曲线的交点,选x为积分变量,例1,7,例2,围成的平面图形的面积.,解,由对称性,交点,8,解,由对称性知,例3,总面积等于第一象限部分面积的4倍,9,解,两曲
2、线的交点,例4,此法麻烦。,10,此题选 y 为积分变量比较好,选择积分变量的原则：,(1)积分容易；(2)尽量少分块.,11,解,例5,12,二、立体的体积,1、已知平行截面面积求立体的体积,13,解,建立坐标系如图,截面面积,所以立体体积,例6,垂直于 x 轴的截面为直角三角形,14,微元法,设V是总量，它是一些部分量V 的和，在用定积分求总量V时，通常采用“微元法”，具体做法是：,选定积分变量,例如设x为积分变量；确定积分区间如a,b,取其中任意一个小区间x,x+dx；求出该区间上的部分分量V的近似值，,15,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,
3、圆柱,圆锥,圆台,2、旋转体的体积,16,a,b,体积微元:,旋转体的体积为,17,直线OP的方程为,解,例7,18,例8,解,19,例9,解,利用圆面积,20,21,例10,解,下面再介绍一个新方法.,22,套筒法:,体积微元:,23,上例:,24,例11,解,“套筒法”推广：,25,解,例12,26,解,例12,27,解,例13,圆锥体积,28,解,(1),例14,29,解,(1),(2),导数左正右负，,为极大值点，,即为最大值点，,30,三、定积分在经济学中的简单应用,设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为R=R(Q)，,其中Q为产量，,则总成本函数为,则总收益函数为,所以总利润函数为,称为固定成本,31,某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为,例15,解,求成本函数。,如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？,成本函数为,32,某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为,销售收入为,所以利润函数为,得唯一驻点,所以当每周产量 时,利润最大,最大利润为,例15,解,如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？,求成本函数。,成本函数为,33,例16,解,所以需求函数为,34,
