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1、项目一：火灾报警器设计与制作,一、逻辑代数的运算,2.逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、逻辑图、工作波形图和卡诺图）,3.代数的运算公式和基本规则,1.逻辑代数的基本运算,4.基本逻辑运算：与、或、非 三种。,5.复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或 五种,逻辑代数的基本公式,（1）常量之间的关系,请特别注意与普通代数不同之处,与,或,这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。,逻辑代数的基本公式,（2）常量与变量之间的关系,普通代数结果如何？,（3）与普通
2、代数相似的定理,逻辑代数的基本公式,（4）特殊的定理,De morgen定理,逻辑代数的基本公式,反演律：P14注意,目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。,吸收律：,（互补率）,说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含B和/B两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去B和/B两个因子。,说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。,吸收律：,常用公式,冗余律：,推论：,证：,若干常用公式,P14,A+BC=(A+B)(A+C),证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC,=(A+AC
3、+AB)+BC,=A(1+C+B)+BC,=A+BC,交叉互换律：,加对乘的分配率：,若干常用公式,P14六式-2,(1)定义：,最小项是一个与项。,(2)特点：,n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量有 2n 个最小项。,例如：在三变量A、B、C的最小项中：,1、最小项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。,当A=1、B=0、C=1时，,所对应的十进制数就是5。,按照上述约定，作出三变量最小项编号表。,原取1,反取0.,卡诺图化简,最小项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。
4、,三变量最小项编号表,所有最小项之和为1。,任意两个最小项的乘积为0。,具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。,相邻性：,若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。,例：,卡诺图化简,定理：任何逻辑函数 y都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。,1、真值表法：,将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。,例：将,表示为最小项之和的形式。,解：,由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。,列：F 真值表：,卡诺图化简,由最小项性质、知：每个最小项等于1
5、的自变量取值是惟一的。,那么：将 F=1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量,0表示反变量,用最小项表示逻辑函数的方法,摩根定律及配项法,将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。,例1：,解：,原取1反取0,用最小项表示逻辑函数的方法,卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？,真值表法,已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1，把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺图对应小方格内填 0。,例：已知真值表为,填有1 的所有小方格的合成区域就是该函数的卡诺图。,二、卡诺
6、图表示逻辑函数的方法,是 m13 和 m12 的公因子,所以只要在 A=B=1，C=0 所对应的区域填1即可。,同理：在 A=0，B=D=1 所对应的区域填1。,在 A=1，C=1 所对应的区域填1。,直接观察法：（填公因子法）,卡诺图表示逻辑函数的方法,以四变量为例说明卡诺图的化简方法:,若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。,“0”维块：表示四个变量一个也没有被消去。,“0”维块相加,“1”维块,“2”维块,“3”维块,从上述分析中可以看出：,二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子。,四个“0”维块相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。,八个“0
7、”维块相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。,m0+m1,m3+m2,m4+m5,m7+m6,将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。,相邻项,卡诺图化简逻辑函数的方法：,2、画出表示该函数的卡诺图。,3、画合并圈。,将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。,1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。,2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。,3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。,4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格。,卡诺图化简原则：,4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。,1、将函数化简为最小项
8、之和的形式。,卡诺图化简步骤：,有“约束”的逻辑函数的化简,“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约”的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中用d（）表示。“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或“无关项”、“禁止项”,2.5.6 有“约束”的逻辑函数的化简,例 2.5.3：如图电路，A、B、C、D 是十进制数 x 的 8421BCD 编码，当 x5 时输出 F 为1。求 F 的最简与
9、或表达式。,A,B,C,D,F,解：列真值表,画卡诺图,00011110,00 01 11 10,如何处理约束项,00011110,00 01 11 10,00011110,00 01 11 10,将约束项当作任意项处理，可 0 可 1,本章小结,数字电路中广泛采用二进制，二进制的特点是逢二进一，用0和1表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成八进制、十进制和十六制。数字电路的输入变量和输出变量之间的关系可以用逻辑代数来描述，最基本的逻辑运算是与运算、或运算和非运算。,逻辑函数有四种表示方法：真值表、逻辑表达式、逻辑图和工作波形图。这四种方法之间可以互相转换，真值表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时，应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻辑函数。,本章小结,本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法是利用逻辑代数的公式和规则，经过运算，对逻辑表达式进行化简。它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运算技巧。图解化简法是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以上），则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时，将两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。,本章小结,
