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1、二.力学量与算符,(1)算符（operator）即表明一种运算或一种操作或一种变换的符号。,1算符,一般情况下，一个算符 作用于一个函数，得到的将是另一个函数。,例如：,(2)常见算符及其性质,时空坐标算符：,时空坐标算符就是它们自己。,单位算符和零算符,即常数算符就是常数本身。,线性算符,如 满足，则 为线性算符。,例如：为线性算符。,例：中那些是线性算符？,对易算符：,注：,不一定等于，二者不相等时则不对易。,运算顺序是从右到左。,若二者对易，则 所代表的物理量可以同时测定。,厄米(Hermite)算符,若有算符 满足，则称 为厄米算符。,例：,所以，是厄米算符。是线性算符，但不是厄米算符
2、。,厄米算符的几个重要性质：,正交：,对厄米算符，具有不同本征值的本征函数相互正交。,若 为厄米算符，且 则 必为实数。即厄米算符的本征值为实数。,(3)算符的运算规则,加减法,乘法,（注：乘法交换律不一定满足）,算符相等,算符的平方,2力学量与算符关系假设,假设2 对一个微观体系的每个可观测的力学量 都对应着一个线性轭米算符。,力学量：经典物理学中的物理量。如：时间、坐标、动量、动能、势能等。,力学量的基本算符：,时空坐标算符,动量算符,对于单电子一维运动的动量算符：,其中，,构造力学量算符的方法,先将力学量写成作标、时间和动量的函数，然后进行如下代换：,动能算符,一维空间运动粒子的动能算符
3、:,三维空间运动粒子的动能算符:,势能算符,一维空间运动粒子的势能算符:,三维空间运动粒子的势能算符:,能量算符（哈密顿算符）,一维空间运动粒子的能量算符：,粒子的能量算符哈密顿算符，,三维空间运动粒子的能量算符：,角动量、角动量平方算符,一质量为m的粒子围绕点O运动,其角动量,按照矢量积的定义展开之：,则角动量在三个坐标轴上的分量 的经典表达式应为：,它们对应的量子力学算符(直角坐标形式)：,1.假设3,例1：,那么，为的 本征函数，与函数 对应的本征值是2，为本征方程。,如果 算符满足 其中a为常数，则称a是算符的一个本征值，f(x)为算符 的属于本征值a的本征函数，上述方程称为本征方程。
4、,三、本征态，本征值和薛定谔方程,例2：下列函数,那些是 的本征函数?并求出相应的本征值。,其相应的本征值为-m2,其相应的本征值为-1,(a)和(b)是 的本征函数。,2定态薛定谔方程,当体系的势能项V中，不含时间变量t，体系的势能不随时间变化亦即体系的哈密顿量不随时间变化，这种状态称为定态。(本课程只讨论定态),于是定态薛定谔方程的算符表达式为：,上式表明哈密顿算符 作用在波函数上等于能量E乘以波函数。E是 的本征值，为的 本征态，方程为本征方程。定态薛定谔方程的算符表达式实际上就是能量算符的本征方程，表示能量有确定值。,将某体系实际的势能算符写进方程，根据边界条件和品优波函数的要求，求得
5、描述体系的波函数i以及该状态的能量本征值Ei。,解一个Schrodinger方程所得的1，2，3，本征函数，形成一个正交、归一的函数组。,四、态叠加原理,若1，2，3，n 为某一微观体系的可能状态，那么，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。=c1 1+c2 2+cn n cii式中c1，c2，cn 为任意常数。其数值的大小决定的性质中i 的贡献，ci 大，相应的i的贡献大,设与1，2，3n对应的本征值分别a1，a2，a3an，当体系处于状态且已经归一化时，物理量A的平均值：,若已归一化，,力学量的平均值,1.本征态的物理量的平均值,2.非本征态的物理量的平均值,若状态函数不是物理量A的本征态，当体系处于这个状态时，用积分计算平均值。,五、Pauli原理,在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，而且这两个电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。,或者还可以说：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的完全波函数，对任意两粒子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标）进行交换，一定得反对称的波函数。,
