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1、高阶微分方程,应用习题课,第七章 微分方程,二、二阶微分方程的实际应用,一、两类高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法,2.二阶线性微分方程的解法,一、两类高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2.二阶线性微分方程的解法,常系数齐次情形,代数法,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,2.二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形,代数法,为常数,其中 为实数,为 m 次多项式.,1）,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,2.二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形,代数法,为常数,则可
2、设特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,的解.,例1,设函数,内具有连续二阶导,1)试将 xx(y)所满足的微分方程,变换为 yy(x)所满足的微分方程;,2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解,上式两端对 x 求导,得,1)由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方程得,2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1.建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程(共性),利用物理规律,利用几何关系,
3、确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含的实际意义,例2,解,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引,力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星,的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,为使,因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的
4、函数关,系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在,下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成,正比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的,微分方程,并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研),提示:建立坐标系如图.,质量 m体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,注意:,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0.,例3 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解 列方程.,已知经过电阻 R 的电压降为R i;,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定
5、律:,其中电源,求电流强度,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,求电容器两两极板间电压,练习题,联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.,解 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R,自感L,电容C 和电源E串,极板上,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0,串联电路的振荡方程:,化为关于,的方程:,故有,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例4 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻
6、力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手,物体在弹性,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,1）建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外,则得强迫振动方程:,力,2）,解,在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律,为 初始,设t=0 时物体的位置,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:,无阻尼自由振动情况(n=0),利用初始条件得:,故所求特解
7、:,简谐振动,A:振幅,:初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),解的特征:,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,有阻尼自由振动情况,大阻尼:n k,临界阻尼:n=k,解的特征,解的特征,解的特征,小阻尼自由振动解的特征:,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.,大阻尼解的特征:,(n k),1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,临界阻尼解的特征:,(n=k),任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总
8、趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,此图参数:,3）,的作用，求物体的运动规律.,解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当p k 时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,若设物体只受弹性恢复力 f,和铅直干扰力,代入可得:,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动,强迫振动,当 p=k 时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,若要利用共振现象,应使p 与k 尽量靠近,或使,随着 t 的增大,强迫振动的振幅,这时产生共振现象.,可无限增大,若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k;,p=k.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座
9、被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起,有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,练习1 容器内溶液的含糖量问题,一容器内有糖水100L，含糖量为100克，现以5L/min的速度注入浓度为10克/L的糖水，同时将均匀混合的糖水以5L/min的速度排出.求含糖量对时间变化的函数？,分析:,在时间微量dt 内容器含糖量的改变量,解得,该时间内排出盐水的含盐量,该时间内注入盐水的含盐量,练习2 污水治理问题,某湖泊水量为V,每年均匀排入含污染物A的污水量V/6,流入不含污物A的水量也是V/6,同时每年以匀速将V/3的水量排出湖泊.经测m(0)=5m0,为治理执行限排标准.排入湖泊中的污染物含 A 浓度不得超过每年m0/V.假定湖中含A总是均匀的,问几年后A含量不超过m0？,湖中A的改变量流入A的量排出A的量,解得,君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功.,宋朱熹,希望同学们抓紧时间、克服困难，认真复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！,最后，预祝各位同学及你们的家人过一个祥和、温馨的春节！,谢谢大家，再见！,对各作业组组长的出色工作表示感谢！,
