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1、1.2 条件期望和矩母函数,对于离散型随机变量X和Y.一般,对所有使PY=y0的y,定义给定Y=y时X取x的条件概率为,而给定Y=y,X的条件分布函数为,给定Y=y,X的条件期望为,对于一般的连续型随机变量Y.由于PY=y往往为0,则给定Y=y时X的条件概率定义为:若对任何包含y的小区间y总有P(Yy)=0,则 定义为P(XA|Y=y)=0;若P(Yy)0,则定义为这里y0的意思是使包含y的小区间的长度缩小为0.除了个别例外的y值这一极限总是存在的.,而给定Y=y,X的条件分布函数为,如果存在一非负函数f(x|y)使得对任何集合A恒有 且则f(x|y)称为在给定Y=y时X的条件密度.,显然有,
2、条件期望通常统一记为,注:E(X|Y=y)表示一个数值;E(X|Y)表示随机变量.,例1.8 袋子中有3个相同的球,分别标号为1,2,3.现从中随机地取出一个球,记下标号(假设标号为k)后放回,同时从袋子中去掉标号为1,k-1的球.然后再随机地取一球记下标号.分别用X和Y表示两次取球记下的标号,则,例1.9 扔一硬币出现正面的概率为p,独立地做投币试验.记S为n次试验中出现正面的次数,并设首次出现正面是在第T次试验.求给定n次试验中仅出现了一次正面时变量T的条件概率分布,也即P(T=k|S=1).,解:,所以,命题1.1 若X与Y独立,则 E(X|Y=y)=E(X);条件期望的平滑性 对随机变
3、量X,Y的函数(X,Y),有,证明:假设(X,Y)为离散型随机变量,则,矩母函数及生成函数,定义1.5 随机变量X的矩母函数定义为随机变量exptX的期望,记作g(t),即:,矩母函数的性质:,当矩母函数存在时它唯一地确定了X的分布;EXn=g(n)(0),n 1;对于相互独立的随机变量X与Y,则gX+Y(t)=gX(t)gY(t).,注:由于随机变量的矩母函数不一定存在,因此现在常用特征函数EeitX代替矩母函数.关于特征函数内容以及性质1,可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材:1 丁万鼎等,概率论与数理统计,上海:上海科学 技术出版社,1988.,常见分布的矩母函数:,解:先算条件期望,例1.10(随机和的矩母函数)记X1,X2,为一串独立同分布的随机变量,N为取值为非负整数的随机变量,且N与X序列相互独立.求Y的矩母函数.,于是有,进一步,因此,注意:g(0)=1,定义1.5 若X为离散随机变量,则期望E(sX)为其概率生成函数,记作X(s),即:,生成函数的性质:,生成函数与离散随机变量是一一对应的;对于相互独立的随机变量X与Y,则X+Y(s)=X(s)Y(s).,性质:若离散随机变量分布为则,证明:事实上,课外作业：Page 13 Ex13，14，15，17,
