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1、第二章 电阻电路分析,线性电路（linear circuit）：由非时变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路称为非时变线性电路，简称线性电路。电阻电路(resistive circuit)：电路中没有电容、电感元件的线性电路。,简单电路（局部变量）：等效变换法（改变电路结构）,复杂电路（多个变量）：独立变量法（不改变电路的结构，选择完备的独立变量，利用KL列写方程组求解）,二端（一端口）网络：N1端口的VAR与另一个二端网络N2端口的VAR相同，则N1与N2等效。,多端网络：等效是指端钮VAR方程组不变。,端口对外呈现一致的VAR(因而不会影响求解外电路各部分的u、i、p)。但是等效前
2、后N1、N2内部的情况很可能不等效。,第一节 电阻的联接,电阻的串并联：,电阻的Y 变换：,第二节电源的等效变换,无伴电源的等效变换：,有伴电源的等效变换：,第三节 含受控源的一端口网络的等效,等效变换法,独立变量法,第四节 支路法,第五节 回路法、网孔法,第六节 节点法,串 联,并 联,电 阻,电 导,分压公 或分流公式,电阻的串联、并联,功 率,形 式,Y,Y,其中,其中,一 般形 式,电阻的Y 变换,例题1 求图A电路的 R ab；R ac,解：求R ab时可画成右边的图B此时左下角的2和8电阻被短路，6与6的电阻并联，再与3电阻串联,故：R ab=43+(66)=43+(62)=(46
3、)(4+6)=2.4,求R ac时由于2与8电阻一端接b，另一端接c，它们为并联关系，故可画成图C,于是 R ac=43(62)+(28)=2.41.6=4,判断电阻的联接关系一般从端口开始，从最远处向端口看起。,例题2 对图A示桥形电路，试求I、I1,解 1）将上方的Y,得图B,2）节点所接Y电阻,得图C,317=2.55,1.43.4=0.99167,(0.99167+2.55)8.5=2.5，I=102.5=4A，,连接情况,等效结果或计算公式,说 明,n个 电压源的串联,us为等效电压源，当 usk与us的参考方向相同时，usk取“”，反之取“”,n个 电流源的并联,is为等效电流源当
4、 isk与is的参考方向相同时，isk取“”，反之取“”,电压源与非电压源支路并联,对外电路可以等效为该电压源us,与电压源并联的可以是电阻、电流源，也可以是较复杂的支路。仅是对外电路等效。,电流源与非电流源支路串联,对外电路可以等效为该电流源is,与电流源串联的可以是电阻、电压源，也可以是较复杂的支路。仅是对外电路等效。,无伴电源的等效变换,例题1求图示电路的I1、I2、I3,解：对原图作如右等效得：I1=-4/2=-2A,I2=I1-(4/1)=-6A;回到原图，有 I3=I2+2=-4A,由此例可见等效“对外”的含义，即对于求2A电流源以及5V电压源以外的I1与I2来说，题中三个电路是等
5、效的，但原图中5V电压源中的电流已不再等于新图中5V电压源中的电流。,例题2 将上例图中的1V电压源换为6A的电流源（方向向上），再求I1、I2、I3,此时电路可等效为右图，I2=6A,I1=16/(1+2)=2A;回到新原图，有 I3=I2+2=8A,有伴电源的等效变换,有伴电压源：有电阻与之串联理想电压源（实际电源的电压源模型）,有伴电流源：有电阻与之并联理想电流源（实际电源的电流源模型）,等效条件为：,大小关系：Us=Rs Is方向关系：IS由US的“”指向“”,有源二端网络最终可以化简为有伴电压源或有伴电流源。,例题2求图A电路中的i1与i2,解：图A 图B 图C 图D,对已是单回路的
6、D图列写KVL得：(1+2+7)i2=9-4 i2=0.5A；为了求i1，先求uab：uab=1i2 9=8.5V i1=uab2=4.25A(B图),例化简右图所示有源二端网络,第三节含受控源一端口网络的等效电阻,有关独立电源等效变换的结论对受控源也是成立的，但在变换过程中，要注意：控制量（或者控制支路）必须保持完整而不被改变，否则，控制量变没了或被改变了，受控源也就不成立了。等效变换 后：,1)当二端网络N内部只含电阻和线性受控源时，其端口可等效为电阻(u、i成正比)，在少数情形下，可能为一个负的电阻；,2)当N内部还含有独立电源时，则其端口可等效为有伴电压源或有伴电流源（在少数情形下，有
7、伴电阻可能为负值）。,1）外施电源法：在端口人为作用独立电源（或标出端口变量u、i），对电路列写KCL、KVL方程（同时代入各元件的VAR），然后消去非端口变量，可得端口VAR。,2）控制量为“1”法：令控制量为“1”，则得到受控源的值，进一步求解端口的VAR,对于第一种电路（不含独立源）常用以下方法求解,对于第二种电路（含独立源）待戴维南定理或诺顿定理介绍以后再讨论,例求图A电路的电流i.,解：利用有伴受控电源等效变换，可得图B、图C与图D（即化成关于所求i的单回路）：,当电路中含有受控源时，由于受控源一方面与电阻不同，不能作串联等效，另一方面又与独立源不同，不是激励。所以仅通过等效变换还得
8、不到最后结果，还必须列写KCL、KVL 方程以及元件的VAR关系式，才能最终解决问题。,例题2求图示一端口网络的入端电阻Rab,解：先用等效变换法化简，再据KVL写出端口的VAR,或者设控制量i=1则有得出Rab 有相同的结果,上题若不化简写端口的VAR则有下列过程,KCL：i1=i-i-(uRo)i2=i1+i=i-(uRo),(其它变量尽量用端口变量表示),KVL：u=R1i1+R2i2,(消去非端口变量，从而解出端口VAR。),由此可见先等效化简再求解要简单方便些，化简时需要注意的地方不能忘记。,例题3 求ab以左的最简等效电路；求RL=2.5k及 3.5k时的I1,先化简再由KVL得U
9、1=101500I1,当RL=2.5k时，,由此例不难看出，若待求量集中在某一支路，尤其是该支路有几种变化情况，则先求出该支路以外二端网络的最简等效电路，就会避免重复的与计算。,当RL=3.5k时，,即 有RL I1=101500I1,第四节 支路法,我们已经解决了本章的第一个内容电阻电路的等效变换，这种方法可用于：分析简单电路；使复杂电路的局部得到简化。而对于一般的复杂电路，要用“系统化”的“普遍性”的方法：系统化便于编制计算机程序；普遍性适用于任何线性电路。与等效变换法不同，系统化的普遍性方法不改变电路的结构，其步骤大致为：选择一组完备的独立变量（电压或电流）；由KCL、KVL及VAR建立
10、独立变量的方程(必为线性方程组)；由方程解出独立变量，进而解出其它待求量。这类方法亦称为独立变量法，包括支路(电流)法、回路(电流)法、网孔(电流)法、节点(电压)法。其中：独立性各变量不能相互表示；完备性其它电压、电流可由它们所表示。下面先研究支路法：,一、支路法的基本思路,支路(电流)法以支路电流为电路变量电路如图所示，支路数b=3；节点数n=2；回路数L=3.，图中I1，I2，I3 为各支路电流，参考方向如图。它们彼此不同，求解之再由各支路VAR求出支路或元件的电压，因而支路电流可作为一组完备的独立变量。,列写KCL：节点a：-I1-I2+I3=0 节点b：I1+I2-I3=0 显然，对
11、所有n个节点列写KCL，每一支路电流将一次正、一次负地出现两次，所有KCL方程相加必等于0，故n个节点的电路至多只有(n-1)个独立的KCL方程；而且独立方程数恰好是(n-1)个，这是由于去掉一个方程后，至少有一个支路电流在留下的(n-1)个方程中只出现一次，方程系数行列式必不等于0。故对上面的电路只要列写(2-1)=1个KCL方程(不妨取式)。,列写KVL：回路的绕行方向如图，左回路：R1 I1-R2 I2=US1-US2 右回路：R2 I2+R3 I3=US2 外回路：R1 I1+R3 I3=US1,接第四节,易见，、中的任一式可由另二式导出，同样可以证明，对于b条支路、n个节点的电路，独
12、立KVL方程的个数为(b-n+1)个，对平面电路，即等于网孔数m。独立方程总数=(n-1)+(b-n+1)=b,正好等于独立变量数(支路数)，因而所得的线性方程组是可解的。任选n-1个节点列写KCL可保证其独立性。因每个网孔不可能由别的网孔来合成得到，所以(b-n+1)个网孔可以作为一组独立的回路。选择(b-n+1)个独立回路的另一方法是每选一个回路，至少增加一条新的支路。本例中可以取、两式,选定各支路电流的参考方向；,至此可见支路法的基本步骤为,列出n-1个独立节点的KCL方程；,选取(b-n+1)个独立回路及其绕行方向，列写KVL方程；,联立求解这b个独立方程,得各支路电流，进而解出其它待
13、求量；,对所得的结果进行验算。可选一个未用过的回路，代入数据校验KVL，或用功率平衡进行验算。,例：按以上步骤求电路中的Uab、PUS2产,见右图；,KCL取节点a：I1 I2+I3=0,取两网孔：R1 I1-R2 I2=US1-US2 R1 I1+R3 I3=US2,联立求解。可用消元法或克莱姆法则解之，结果为,再由支路VAR可求出其它待求量,验算：由于此题非数值题，故从略。,二、支路法的特例情况,特例：含电流源is,处理方法一：,含is的支路电流不再作变量(是已知量)；,选取独立回路时绕过is即选择不包含is支路的回路，从而可少列与is关联的回路的KVL方程。,处理方法二：,增设is上电压
14、uIs为变量，代入相应回路的KVL方程；,该支路电流变量写为已知量is.,处理方法三（为有伴电流源时）：,先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按基本步骤列写支路法方程。,例：求图示电路各支路电流，并校验功率平衡。,解方法一：按图示选择的回路少一变量、少一方程(巧选回路)就无需再列写中间网孔回路的KVL方程，从而支路法方程为：,例题,方法二：少一电流变量，多一电压变量（图中的u），方程数仍等于总变量数：,方法三：将20电阻看成is的有伴电阻，并等效成有伴电压源，如下图(注意iK=i3 is)，此时支路法方程为：,再回到原电路，有：,特例：含受控电源的处理方法：,先将控制量用独立变量(支路电流)表示
15、；,将受控源看作独立电源，按上述方法列写支路法方程；,将的表示式代入的方程，移项整理后即得独立变量(支路电流)的方程组。,将式代入，消去控制量u1并整理得,解：,例题：求图示电路的各支路电流,进一步求解方程组得到所需要的结果,网络的线图和独立变量,一、图的基本概念：将电路中的每个元件（支路）用一线段表示，则这些线段通过节点连接成一个几何结构图，称之 为网络的线图或拓扑图，简称图，对图中的每一支路规定一个方向，则称为有向图。,1.连通图：任意两节点间至少存在一条通路(路径)，如GA即为连通图；而GB为非连通图。,2.子图：是图G的一个子集。,3.路径：由G的某点出发，沿某些支路连续移动，到达另一
16、指定节点(或原来的节点)所形成的通路。,二树、树支、连支、割集,树T：是连接所有节点但是不构成回路的支路的集合。即连通图G的一个子图，该子图满足,是连通的；,包含G的全部节点；,不包含回路。,树支(Tree branches)：构成某个树的支路。恒有：树支数t=n-1.,连支(Link branches)：某个树树支之外的支路为连支，对某一确定的树 每增加一个连支，就和树支构成一个回路。l=bn+1.,割集Q：是连通图G的某个支路的集合，它满足：i)若将这些支路全部移去，G就分离为两个连通子图（其中一个子图可以为孤立节点）；ii)若少移去一条这样的支路，G就仍然连通。即某一闭合面切割到的支路的
17、集合(注意每条支路只能切割一次),T1=1,2,3,T2=1,2,4,T3=1,2,5,T4=1,3,5,T5=1,4,5,Q1=1,3,Q2=1,4,5,Q3=1,4,2,Q4=2,5,第五节 回路法、网孔法,一、回路电流（网孔电流）,在右图中假定有Il1、Il2 两个电流沿各个独立回路的边界流动，则所有的支路电流均可用此电流线性表示，所有电压亦能由此电流线性表示。此电流称之为回路电流。,式中隐含了KCL，沿回路绕行方向列写KVL得,将回路电流代入得：,解方程组求得回路电流，进一步求得支路电流，各元件电压。此例可知以回路电流为变量求解比支路法解的方程数要少,二、回路法、网孔法,回路电流可以表
18、示出电路所有支路的电流和电压，所以具有完备性，所取的回路是相互独立的，回路电流不可以相互表示，因此又具有独立性。选择(bn+1)个独立回路（每选一个回路，至少增加一条新的支路）电流为变量列写方程求解的方法称为回路法，。选(bn+1)个网孔电流为变量列写方程求解的方法称为网孔法。,式中方程（1）Il1前的系数为回路l1的所有电阻之和，Il2前的系数为两回路的公有电阻，方程（2）Il2前的系数为回路l2的所有电阻之和，Il1前的系数为两回路的公有电阻，右边为各回路沿绕行方向上的电压源电位升的代数和。,三、回路法方程的一般形式,其系数规律为：,有了这些规律，就可以由电路直接列写出回路方程，而不必象上
19、面那样分好几步,（2）R12、R21 回路1、2的公有电阻之“代数和”，称为互电阻；仅当Il1、Il2在此互电阻上同方向时取正号；反之取负号。无受控源时有R12=R21，R13=R31，；,（3）US11 回路l1沿Il1方向上的电压源电位升的代数和(US22、USmm 同理)。,（1）R11 回路l1的所有电阻之和，称为该回路的自电阻(恒 正)(R22、Rmm 同理)；,四、回路法(网孔法)的基本步骤,1、选定一组(m=bn+1个)独立回路，假定其绕行方向(常常选网孔)；,2、运用“自电阻,互电阻及回路电压源的电位升代数和”等概念直接列写回路电流方程；,3、联立求解这m个独立方程，得各回路电
20、流，进而解出其它待求量；,例：用回路法求各支路电流。,解：方法一网孔法：选择网孔列写方程,方法二：回路法选所示独立回路：,五、回路法的特例情况,特例：含电流源iS,处理方法一，先选择一个树，将电压源支路放在树支上，将电流源放连支上，选择树支和连支构成回路，从而iS 仅与其中的一个回路关联，可少列写该回路的KVL方程(少1变量少1方程)。,处理方法二：增设iS上电压 uIS为变量，代入相应回路的KVL方程；补充该iS与有关回路电流的关系式(多一变量、多一方程)。,处理方法三：为有伴电流源时，先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按基本步骤列写回路法方程。,例：用回路法求U1,解：方法一：“巧选回路”
21、法，如图，,1A回路不列写方程，2A回路不列写方程，,l回路：1142+(5+3+1)Il=20得：Il=3A,U1=3(2Il)=3(23)=3V；,Ua,Ub,方法二：增设变量法，选择网孔如右图,Ua,Ub,补充,可得：,即电路中无伴电源等效要注意对外等效，对内不等效的问题。,此例中若有电阻等元件与电压源并联，处理方法与上述过程完全相同，但要注意此时所求的Il1不是电压源上的电流。若有电阻等元件与电流源串联，要注意相类似的问题。,特例：含受控电源的处理方法：,先将控制量用独立变量(回路电流)表示先将控制量用独立变量(回路电流)表示（控制量最好放连支上）,将受控源看着独立电源，按上述方法列写
22、回路法方程；,将中的表示式代入中的方程，移项整理后即得独立变量(回路电流)的方程组。,例1：试列写图示电路的回路方程,u1=25Il1,将式代入，消去控制量u1并整理得：,这里由于有受控源，100=R12 R21=1350！所以有受控源的电路不可以用互电阻概念直接写回路方程,例2求uA、iB,解：选择树与连支，回路取为lbodb(2uA)、labdoa(iB)、lbcd(uA6)，lacdoa(6A)、,对不是电流源的回路写方程：,labdoa 7iB+366iB-20,Lbcd 8(uA6)+26=20,iB=-38A,uA=6V,解得：,第六节 节点法,一、节点电压的独立性与完备性,节点电
23、压节点与零电位参考点间的电压。数目为(n-1)个。如图：un1，un2，数目为(3-1)个。,各支路电压分别为：u1=un1，A u2=un1-un2，u3=un2,支路电压与节点电压之间的关系隐含了KVL，故上写方程时只要列写KCL。,所有电流亦能由节点电压线性表示,i1=G1 un1，i2=G2(un1-un2)，i3=G3(un2 uS3)（*）,从某一节点到参考节点的路径不同于其它节点到参考节点的路径，其又具有独立性。,节点电压可线性表示所有支路电压和电流，其具有完备性;,将（*）式代入,二、节点法方程的规律,G11 节点的所有电导之和，称为该节点的自电导(恒正)(G22、G33 同理
24、)；,G12、G21 节点、的公有电导之和的负值，称为互电阻(恒负)；无受控源时有 G12=G21，G23=G32，,iS11注入节点的电流源(含由有伴电压源等效来的电流源)的代数和(iS22、iS33 同理)。,系数规律：,三、节点法的基本步骤,选定参考节点，并标出其余(n-1)个节点的节点序号；,运用“自电导,互电导及注入节点电流源（含由有伴电压源等效来的电流源）的代数和”等概念直接列写节点法方程；,联立求解这(n-1)个独立方程,得各节点电压，进而解出其它待求量。(注意与电流源串联的电阻不得计入自电导,互电导),四、节点法的特例情况,特例节点数 n=2 独立节点数=1）如右图：可先将有伴
25、电压源等效成有伴电流源（熟练之后这一步就不需要了）,按节点法的基本步骤，有：,即对n=2的电路有,此式称为弥尔曼定理,特例：含无伴电压源uS,处理方法一：将uS的一个极选作参考节点，则另一个极所在节点的电位就已知了，从而少了一个节点电压变量，可少列写该节点的KCL方程(少1变量少1方程)。,处理方法二（改进节点法）：增设uS上电流iUs为变量，代入相应节点的KCL方程（好比电流源iUs）；补充该uS与两端节点电压的关系式(多一变量、多一方程)。,例：求右图的Un2、Un3 及I,解：显然，对7V电压源可用方法一，而对4V电压源则要用方法二：,特例3：含受控电源的处理方法：,先将控制量用独立变量
26、(节点电压)表示；,将中的表示式代入中的方程，移项整理后即得独立变量(节点电压)的方程组。,将受控源看着独立电源，按上述方法列写节点法方程；,例求uA、iB,解：节点、的电位分别为(20-6iB)和-6iB，因此，只要对节点、列写方程：,所得节点方程由于有受控源，同样会造成G12 G21,特例4 具有运算放大器的电阻电路,一、利用运放特性及KCL、KVL分析,分析时用理想运算放大器代替实际运算放大器，带来的计算误差很小，所以通常可利用理想运放的“虚断”、“虚短”以及KCL、KVL来分析含运放的电路,例1：倒向比例运算电路如图，,解：由虚短,由虚断,例2：倒向比例运算电路如图，,解:,例3 已知,试求uo的表达式,式解出ub，因虚短 ua=ub代入式得,可见输出与两输入之差成正比，因而被称作差动运算电路。,解：,二、含理想运放的节点法,1列写运放两输入端节点方程时考虑到“虚断”特性；,2不列写其输出端节点方程；既是输入端又是输出端，按输出端处理,3补充“虚短”方程。,例4.（P.49例2-17）试求uo ui.,解：节点和的方程分别为：,节点和：不列写！,由虚短得,于是可得：,
