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1、数学建模基础知识1数学建模的背景及其意义一、数学建模竞赛的由来在中学，有各种层次（国际、国内、省、市）的数学奥林匹克竞赛.在美国，一个历史悠久、影响很大的全美大学生数学竞赛，称为普特南数学竞赛，它开始于1938年，每年举行一次，于每年的12月的第一个星期六，分两试进行，每试6题，每试各为3小时，主要考核大学生数学基础知识和训练、逻辑推理及证明的能力、思维敏捷性、计算能力等.试题中很少应用题，完全不能用计算机，是闭卷考试的.普特南数学竞赛吸引青年热爱数学而走上数学研究的道路，许多获奖者后来成为数学家.但普特南数学竞赛存在以下问题：（I）受训练时间长，获奖队多为名牌大学数学系学生；（三）学生对实际
2、问题有兴趣，而对普特南缺乏积极性；（IH）普特南强调纯粹性、形式方法，缺少应用内容；（IV）普特南不用计算机，更不能查资料.由于普特南数学竞赛的上述问题及数学教学改革的需要，从1983年起，美国的一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性.经过论证、争论、争取资助的过程，终于在1985年开始了美国第一届数学建模竞赛（MathCnIatiCalContestinModeling,简称MCM）.竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办，从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五至星期日举行.1988年，北京理工大学的叶其孝教授访问美国时，应当时MCU负责
3、人B.A.Fusaro教授的邀请，访问了他所在学校，询问了数学建模竞赛的事情，商定了中国大学生组队参赛的有关事宜.于是1989年我国的北京大学、清华大学、北京理工大学等三所大学的学生组队开始参加美国MCM,后来发展到每年有几十所大学参赛，且历年来都取得了较好的成绩.在我国不少高校教师也萌发组织我国自己大学生数学建模竞赛.上海市率先于1990年12月79日举办了“上海市大学生（数学类）数学模型竞赛”，于1991年6月79日举办了“上海市大学生（非数学类）数学模型竞赛”.西安也于1992年4月35日举办了“西安市第一届大学生数学模型竞赛”.由中国工业与应用数学学会举办的“1992年全国大学生数学模
4、型联赛”也于1992年11月27-29日举行，全国有74所大学314个队参加，且决定每年举办一次.原国家教委对这项活动十分重视，决定从1994年起由国家教委（现国家教育部）高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年举办一次.1992年至2011年全国各高校参赛的校数及队数年份92年93年94年95年96年97年98年99年00年01年校数74101196259337373.400460.517529队数3144208671234.168318742103265732103861.年份02年03年:04年0.3年06年07年08年09年10年11年校数572637724795864969102
5、3113711971251队数444854066881849299851174212846150421731719490二.数学建模竞赛的形式、特点规则与特色全国大学生数学建模竞赛是一种通讯赛，由参赛学校负责拿题、寄题（2002年改为网上发布），其它院校监督.竞赛是以团体赛进行的，每个参赛队由三个学生组成.每队配一名指导教师，主要负责学生的赛前培训、指导等工作.竞赛地点是学生所在院校，竞赛时间是每年9月下旬的三天时间，共计72小时，即第一天8：00开题，第四天8：00闭题.竞赛时，队内可以互相讨论，查阅资料（包括实地考察），使用计算机及各种软件（特别是数学软件）.试题与答卷数学建模竞赛题目一般
6、来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化、加工的实际问题.每年分A、B两题，一般一题为连续问题，一题为离散问题，两题中选做一题.1999年又设大专组（C、D题），专科学生、文科及医农类本科学生可选做C、D题.答案应是一篇完整的论文，包括摘要、问题分析、模型假设和建立、计算方法设计和实现、结果分析和检验、优缺点和改进方向等.评奖与公布竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.竞赛充分体现：创新意识、团队精神.体现：学生解决实际问题的能力、数学创造力、计算机使用能力、书面表达写作能力.全国大学生数学建模竞赛获奖名单在全国大学生数学建模竞赛网站上公布.同时由
7、中国数学学会主办的学术刊物数学的实践与认识（2002年改为中国工业与应用学会主办的学术刊物工程数学学报），每年的第期为数学建模竞赛的专辑，专门刊登上一年全国大学生数学建模竞赛试题及评述、获奖名单及部分优秀论文.1992年2011年全国大学生数学建模竞赛题的标题年份A题B题1992年施肥效果分析实验数据分析1993年非线性交调的频率设计足球队排名次1994年逢山开路锁具装箱1995年一个飞行管理问题天车与冶炼炉的作业调度1996年最优捕鱼策略节水洗衣机1997年零件的参数设计截断切割1998年投资的收益与风险灾情巡视路线1999年自动化车床管理钻井布局煤肝石堆积（C题）钻井布局（D题）2000年
8、DAN序列分类钢管订购与运输飞越北极（C题）空洞探测（D题）2001年血管的三维重组公交车调度基金使用计划（C题）公交车调度（D题）2002年车灯线光源的优化设计彩票中的数学车灯线光源的计算（C题）赛程安排（D题）2003年SARS的传播露天矿生产的车辆安排SARS的传播（C题）抢渡长江（D题）2004年奥运会临时超市网点设计电力市场的输电阻塞管理饮酒驾车（C题）公务员招聘（D题）2005年长江水质的评价和预测DVD在线租赁雨量预报方法的评价（C题）DVD在线租赁（D题）2006年出版社的资源配置艾滋病疗法的评价及疗效的预测易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）2
9、007年中国人口增长预测乘公交，看奥运手机“套餐”优惠几何（C题）体能测试时间安排（D题）2008年数码相机定位高等教育学费标准探讨地面搜索（C题）NBA赛程的分析与评价（D题）2009年制动器试验台的控制方法分析眼科病床的合理安排卫星和飞船的跟踪测控（C题）会议筹备（D题）2010年储油皤的变位识别与罐容表标定2010年上海世博会影响力的定量评估输油管的布置（C题）对学生宿舍设计方案的评价（D题）O11件城市表层土壤重金属污染分析交巡警服务平台的设置与调度vll-tF企业退休职工养老金制度的改革（C题）天然肠衣搭配问题（D题）.数学建模与数学教学的改革80年代初,国内一些重点高校就开始开设了
10、“数学模型”课.如清华大学、复旦大学等.在广东华南理工大学很早就开设了数学模型这门课.由于竞赛活动的开展,近年来国内好些高校都相继开设了数学模型课.教育部98年颁布的高等学校专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课.数学建模是数学发展的需要，随着科学技术的发展与社会的进步，特别是近二十多年来电子计算机技术的发展，数学这一重要的基础科学正迅速在向自然科学和社会科学的多个领域渗透.向着应用数学方向发展，表现出了信息时代数学的强大生命力.从数学自身的发展来看，可以说纯粹数学或数学理论已发展到比较深入、完美的地步.今后一段时期重点应放在应用数学上，即应用数学知识解决实际问题.实际问题的需要推
11、动着数学的发展，亦即由实际问题建立数学模型发展数学理论.我们认为：数学发展的两大动力：外部动力（实际问题的推动）与内部动力（对数学美的追求），而归根到底是实际问题的推动，现在的问题是运用数学理论来解决实际问题.传统的数学教学注重于数学理论、内容的教学，以及严格的逻辑推理的训练.有人形容传统的数学理论教学是“烧（鱼的）中段”，也就是说数学理论主要着眼于数学内部的理论结构及其逻辑关系，并没有着意讨论如何从实际问题中提出数学问题（鱼头）以及如何使用数学理论来解决实际问题（鱼尾）.在数学教学中我们不仅要给学生“烧中段”，而应该给他们“烧全鱼”.作为高等师范院校数学系的学生，学习数学的意义在于：（1）学
12、习数学是数学素质的培养，是数学方法、思维、能力的培养；（2）学习数学是一种知识储备，是为了站得更高，更好地看清中学数学的来龙去脉；（3）学习数学是具有现代科学知识的前提和条件，是进一步自学、进修的基础.一般大学数学教育应包括三方面的内容：（a）基本知识的传授、基本方法的训练；（b）数学索质的培养、进一步自学能力的培养；（C）应用数学知识解决实际问题的能力（包括计算机的应用能力）的培养.应该说我们过去的数学教学在传授知识方面是比较成功的，但自学能力和解决实际问题的能力的培养上是不够的.现在，开设数学模型课、数学实验课，举行数学建模竞赛就是以“烧头尾”来弥补在数学教学上“烧中段”的不足，使我们的学
13、生不但要学数学，而且要用数学.2数学模型与数学建模1 .原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型，按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.形象模型直观模型如玩具、照片等物理模型如某一试验装置模型思维模型如某一操作抽象模型符号模型如地图、电路图数学模型2 .数学模型引例（航行问题）：甲乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需3 0小时，问船速、水速各为多少？用X、分别代表船速和水速,可以列出方程（x+y）3O=75O50=750此方程组就是航行问题的数学模型.其解为X=20（公里/小
14、时），）=5（公里/小时）.对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.按本德（E.A.Bender）的观点：数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构.例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式F=w来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.模型忽略了物体形状和大小,抓住了物体受力运动的主要因素.又如描述人口N(f)随时间f自由增长过程的微分方程处=W(Z).它忽略dt了性别、年龄、社会经济、自然界等因素,揭示了人口成等比级数增长的结论.它是一个描述人口N()随时间/变化的数学模型.数学模型不
15、是新事物,很久以来它就一直伴随在我们身边,使用数学语言、方法去近似刻划一个实际问题的数学结构就是此问题的数学模型.数(自然数、整数、有理数、实数等)、几何图形、导数、积分、数理方程以及广义相对论、规范场等都是非常成功的数学模型.运筹学以及统计学的大部分内容都是关于数学模型的讨论与分析.数学模型是架于实际问题和数学理论之间的桥梁.由实际问题建立了数学模型,然后对数学模型(可以多个模型)建立定义、公理、性质、定理、公式等,并从数学美的角度发展成为数学理论或数学分支.即可以说我们的数学都是这样演变的.欧儿里得儿何学、概率论、微积分学不正是这样吗？3.数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数
16、学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题，为了一个特定的目的，运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型)，运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为:关于数学模型的几点说明：数学模型是对实际问题的抽象、简化而建立的，它只反映了实际问题某一数量规律.既然是一种模型，它就不可能是现实问题的一种拷贝.它忽略了此问题的许多与数量无关的因素，有时还忽略一些次要的数量因素，因此模型的检验是重要的.不同的实际问题，往往有不同的数学模型.即使对同一实际问题，也可能
17、从不同的角度或根据不同精度的要求，运用不同的数学方法、工具，而归结出不相同的数学模型.另一方面，同一个数学模型又往往可同时用来描述表面上看来亳无关联的几个自然现象或社会规律.例如，抛物型方程S是热的传导、物质的扩散等实际问题的数学模型；又如导数r（）=,吧）+弋一“）是切线斜率、瞬时速度、电流强度、物质比热、线密度等实际问题的数学模型.数学模型的实际问题（即数学建模题）与“数学应用题”有着显著的差别.主要表现在：（I）数学建模题的来源领域非常广泛；（II）数学建模题需要抽象、简化、假设，由建模者理解、观察、分析的不同，而有不同的数学模型；（In）同一数学建模题，作不同的假设、抽象，运用不同的数
18、学工具，所得的结果可以不尽相同，各有千秋.无所谓绝对的“对”与“错”之分，它们都是从一个侧面反映了实际问题.只有通过实践检验才能评判出他们的优劣；（IV）评价数学建模的好与坏，重在建模者的想象力、洞察力、判断力和创新意识.3数学模型的分类与特点（一）.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有:人口模型交通模型环境模型（污染模型）L按模型的应用领域分类数学模型生态模型城镇规划模型水资源模型再生资源利用模型2.按建模的数学方法分类数学模型初等数学模型几何模型微分方程模型图论模型组合数学模型概率模型规划论模型3.按模型的表现特性分类数学模型确定性模型以（考虑随机因素的影响）随机性模型数
19、学模型静亦模型;二欣皿（考虑时间因素的影响）动态模型数学模型线性模型:U小皿（考虑模型的基本关系）非线性模型数学模型离散模蛰二4（模型中的变量为离散还是连续的）连续模型大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，我们往往把它转化为确定、静态、线性的问题.而确定、静态、线性、连续的模型便于利用微积分求解析解，作理论分析；又离散模型便于利用在计算机上作数值计算.4.按建模目的来分类描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型、控制模型白箱模型（相当清楚、确定）5.按对模型结构的了解程度分类数学模型-灰箱模型（尚不十分清楚）黑箱模型（很不清楚的现象）（二） .数学模型的特点 .模型的逼真性和可行性（逼近
20、于研究对象,越逼真越复杂,但未必可行、实用）. .模型的渐进性（建模要多次反复、不断完善,如牛顿力学到相对论）. .模型的强健性（好的模型应有下述意义的强健性：当观测数据（或其它信息）有微小改变时,模型结构和参数只有微小变化,求解的结果也微小变化）.模型的可转移性（一方面建模借用己知模型，另一方面所建某领域的模型应用于其它领域）.模型的非预制性（问题千变万化,事先没有固定的答案） .模型的条理性（从建模角度考虑问题可以使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具有条理性）. .模型的技艺性（建模是一门技术又是一门艺术,它有助于建模者想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等的提高）. .模型的局限性
21、（第一,虽然具有通用、精确性,但它是抽象、近似、简化、假设的理想化产物；第二,实际问题内容机理复杂,影响因素众多,加上测量手段不够完善,很难得到实用价值的数学模型）（三） .数学建模的步骤1 .模型准备（背景、目的、现象、数据、特征）2 .模型假设（合理性、简化性.但过份简单、过份详细都不对,或反映不了原问题或无法表达模型,要充分发挥想象力、洞察力、判断力,不断修改或补充假设）3 .模型构成（建立数学结构）4 .模型求解（包括推理、证明、数学地或数值地求解）5 .模型分析（数学意义分析、合理性分析、误差分析、灵敏性分析）6 .模型检验（接受实际检验、往往在假设上）7 .模型应用（取决于建模的目
22、的）4数学建模的举例一、建模示例之一：椅子摆放问题问题的提出把椅子住不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了.试建立一个数学模型,给出椅子能在不平的地面上放稳的数学解释.模型假设1 .椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2 .地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面（放稳条件）；3 .对于椅脚的间距和椅脚的长度而言.地面是相对平坦,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.（对假设2的进一步加强，排除出现深沟或凸峰的情况）问题的分析中心问题是用数学语言
23、把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来.用变量表示椅子的位置.注意到椅脚连线呈正方形,且为中心对称图形.设此正方形为ABCD.B4建立坐标系：对角线Ae与X轴重合.用中/Af心点。的转角。表示椅子的位置.c/用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，v/1X注意到对称性及有三个脚同时着地,故用距离C之和来表示.，模型的建立设A、。两脚与地面距离之和为7(e),B、。两脚与地面距离之和为g(e).显然/g(e)o.由假设2,/),g)都是夕的连续函数.由假设3,veo,2%(e),g(e)少有一个为零，即V6gr(6)g(6)=0.为讨论方便起见,不妨设g(0)=0(0)A0于是引进了变量。及函数/
24、0)、g(e)模型的假设条件就可用简单、精确的数学语言表述.另夕卜，由假设1,将椅子旋转90(%),对角线AC与BD互换.由g()=0,(0)A0,得至喏1。J图=0.而同时着地可表述为：三/w0,2乃,使g()=(%)=0这样椅子放稳问题可归结为如下命题(数学模型)：设/、g)是o,2M上。的非负连续函数.若e(),2句,有0,且g(0)=OJ(O)A0,g(W)AOJu=O,则m%0,24,使/.(%)=g0)=0,乙)模型的求解命题的证明：令Me)=/)g(e),则Mo)=/(o)-g(o)=f(O)A 0,y0.再由f(og(e)的连续性,得到Me)是一个连续函数.从而Me)是0,3上
25、的连续函数.由连续函数的介值定理：3o,.22使MeO)二0.即K，使/(%)=g(%)又因为Ve0,2方,有/(e)g(e)=0.故/o)=g(%)=0.注释】结论指出至多旋转90就可找到放稳点；问：四条脚不一样长能否放稳？(否)此模型的巧妙,关键所在是：变量。及距离之和/也)、ge).而正方形的中心对称性及旋转90并不是本质的.二、建模实例之二：商人过河问题问题的提出三名商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳二人，由他们自己划行.随从们密约,在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？问题的分析用逻辑思索可得到解决
26、.给出建模示例，由此解决更广泛的问题.此虚拟问题已理想化了，不必再作假设.采取多步决策,确定状态变量,建立状态转移方程.模型构成记第4次渡河前此岸的商人数为与，随从数为九，Z=1,2,；4，=0,1,2,3.视二维向量SA=(S,yt)定义为状态,安全渡河的状态集合(允许状态集合)：S=(居y)I%=0,y=0,1,2,3;X=3,y=0,1,2,3;X=y=1,2(1)记第k次渡船上的商人数为uk,随从数为b.将二维向量4二(%,以)定义为决策.易得允许决策集合为D=(m,v)m+v=1,2=(0,l),(LO)(U)(2,0),(0,2)由于左为奇数时船从此岸向彼岸，左为偶数时船由彼岸回此
27、岸.所以状态X随决策认变化的规律是S*=4+(-1),4称为状态转移方程(律).于是安全渡河方案归结为如下多步决策问题：求决策。,(欠=1,2-),使状态*w5按状态转移方程(3),由初始状态4二(3,3)经有限步到达状态ST=(0,0).模型求解方法一：对(1)一(3),用计算机编程求解.方法二：用图解法.OI2X建立平面方格坐标系,允许状态集合S是用圆点标出的10个格子点.允许决策或是沿方格线移动1或2格.Z为奇数时向左、下方移动.Z为偶数时向右、上方移动.要确定一系列的4使由4=(3,3)经过那些圆点最终移至原点(,)上图给出了一种移动方案.经决策4,义,4，最终有号2=(，)，容易把这
28、一结果翻译成渡河方案：(3,3)一(3,l)3(3,2)二(3,0)3(3,l)一(1,1)3(2,2)(0,2)(0,3)(0,l)(0,2)(0,0)评注1 .考虑四名商人问题.2 .用此方法来解决“狼羊白菜问题”.设人、狼、羊、菜分别为i=1,2,3,4令_1,当i在此岸为=0,当i不在此岸状态%=(x1,x2,x3,x4),反状态4=(l-x1,l-x2,l-x3,l-x4).状态集合S=(u,l,IMU,1,0),(1,1,0,1)(1,0,1,1),(1,0,1,0)以及它们的5个反状态.7.口,当i在船上、，Z又令Io,当坏在船上决农Z=(%mmm)决策集D=(1,0,1,0),
29、(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)状态转移方程3+=3+(1)%).3 .考虑上述两问题的图论求解(有向图的最短路问题).三、建模实例之三：人口增长问题1 .固定增长率离散变化人口公式设今年人口为与，人口的年增长率为，且保持不变，上年后人口为与，则人口公式为Xk=x0（1+r）（存在很大的局限性和误差）2 .指数（固定）增长模型（马尔萨斯人口模型）马尔萨斯iMalthus,1766-1834）英国人口学家.假设人口的增长率是常数，即单位时间内人口增长量与当时的人口数成正比，比例系数为几现考察一个国家或一个地区的人口数.记时刻/的人口数为MZ）（一般是很大的整数），且设M
30、f）为连续可微函数.X/）I,=。=任给时刻/及时间增量八则Z到&内人口的增量为（由假设知）：x（t+r）-x（r）=M）.两边除以加，并令A70,得到MO）=0这是一个常系数齐次线性微分方程的初值问题（柯西问题），其解为=XOe注：将，以年为单位离散化,并设YVl,则。1+几得到Ml）x0（l+r）,就是前面的离散公式,即前面的公式就是指数增长模型离散形式的近似表示.考虑美国人口变化问题.3 .阻滞增长模型4%sHc模型）假设人口增长率r为常量,所得模型与实际不相符合,设人口增长率函数为r（x）（是X的函数），则所得方程为dx(t)/、/、，dtX(O)=由实际情况分析知：将r表为x(t)的函数r(x),且设NX)是X的减函数.最简单的情形：r(x)为X的线性减函数r(x)=r-sx,r,5-0.这里一相当于X=0时的增长率称为固有增长率,又设最大人口容量(即自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量)为为广则r(x,J=O,即r-sxm=0,s=.r(x)=r1-或r(x)=r.得到阻滞增长模型(LogiStiC模:型)：也二Z,力ImjX(O)=X0这个非线性微分方程是可分离变量微分方程.由分离变量法,求得其解为J_、-+-dx=rdt1XXX1+-1l)
