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1、22.1二次函数的图像和性质（一）一、学习目标1.知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点1 .重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；2 .难点：理解二次函数的概念。三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为X,表面积为y,写出y与X的关系。问题2：边形的对角线数d与边数之间有怎样的关
2、系？问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加X倍，那么两年后这种产品的数量），将随计划所定的X的值而定，y与X之间的关系怎样表示？问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点？小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5：什么是二次函数？形如O问题6：函数y=a2+bx+c,当a、b、C满足什么条件时，（1）它是二次函数？它是一次函数？（3）它是正比例函数？(三)尝试应用：-2例I.关于X的函数y=(mI)Xln-Tn是二次函数，求m的值.注意：二次函数的二次项系数必须是的数。例2.已知关于X的二次函数，当X=-1时，
3、函数值为10,当x=l时，函数值为4,当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式.(待定系数法)(四)巩固提高：1 .下列函数中，哪些是二次函数？(l)y=3-l;(2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2;(4)y=2x2-2x+l;(5)y=x2-(l+x);(6)y=x-2+x.2 .一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径R之间的关系式。3、n支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。4、已知二次函数y=2+px+q,当x=l时，函数值为4,当x=2时，函数值为-5,求这个二次函数的解析式.(五)小结：1.二次函数的一般形式是，,
4、2.会用法求二次函数解析式。(六)作业设计22、1二次函数y=ax的图像和性质(二)1、会用描点法画出y=a2与y=a2+k的图象，理解抛物线的有关概念。2、经历、探索二次函数y=a2与y=a2+k的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。二.学习重、难点：1 .重点：画形如y=a2与y=a2+k的二次函数的图象。2 .难点：用描点法画出二次函数y=a2与y=a2+k的图象以及探索二次函数性质三.教学过程：（一）创设情境、导入新课：复习提M：次函数的图象是,反比例函数的图象是o我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。（二）自主探究、合作交流：做一做
5、：1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2、y=2xy=2的图象。X32101237 y=x-.9410149y=2x21 2 y=2x讨论：观察并比较三个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（小组讨论、交流结论）结论：.想一想：函数y=-2、y=-2x2y=一2的图象有什么共同点？又有什么区别？（小组讨论、交流结论）结论：O结合上述二次函数的性质总结函数y=a2的图象的性质：1 .函数y=a2的图象是一条,它关于对称，它的顶点坐标是o2 .当a0时，抛物线y=a2开口,在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边,曲线自左向右是抛物线上位置最低的点；当a0时开口向当aVO时开口向对称轴是
6、o顶点坐标是=IaI越,开口越小。练一练：1.分别写出函数y=%,y=*+2,y=*-2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。2.分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=%得到抛物线y=%+2和y=%-2?(三)小结：1.抛物线y=a2与y=a2+k的图象有哪些相同点与不同点？抛物线y=ax2抛物线y=ax2+k当a0时开口向当a0时开口向_,当a0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随X的增大而减小，在对称轴右侧，y都随X的增大而增大，当X=时函数有最小值，是；a0时，向_平移;当h0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随X的增大而减小，在对称轴右侧，y都随X的增大而增大，当X=时函数有最小值，是；a0时
7、，向_平移；当h0时向平移;当k+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2 .会用公式确定y=2+h+c(。0)对称轴和顶点坐标。二、学习重点和难点:重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴。难点：配方法的推导过程。三、学习过程：(一)创设情境、导入新课:1、填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=ax1+k(a0)y=a(x-h)2(a0)2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：y=+-9)+2(2)J=一0.7(X+1.2)2一2.1(3)j=15(x+10)2+20(4),A3、用配方法把下列函数化为y=)2+的形式：(Dy=X2+4x5(2)v=-x2+2xJ4(二)自
8、主探究、合作交流：思考：怎样画函数丁=，+4工+5的图象？1、首先用配方法将函数y=/+4x+5写成y=(-/if+A的形式。.y=2+4x+5=(x24x+4)+1=(+2)2+12、根据顶点式确定抛物线开口方向向对称轴是,顶点坐标是.3、根据函数对称性列表。X5一432101,y=(x+2)2+11052125104、画对称轴，描点，连线：作出二次函数y=(+2)2+1的图象归纳：二次函数y=a2+bx+c的图象画法，可分三步：用配方法把函数化为y=o(x-0+%形式，利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，利用对称点描点画图。问题：对于二次函数的一般形式y=02+b+c(w),
9、怎样求对称轴、顶点坐标？= r2 + for + c = fl(x2 + + )二次函数y=a2+bx+c（aW0）的图象的性质是：1 .对称轴是,顶点坐标是2 .当a0时，开口向，当X=时，函数有最值为；当a+k则匕、k的值分别为（）（八）0.5（B）0.1（C）4.5（D）4.1【答案】C2. （2010甘肃兰州）二次函数y=_3/6x+5的图象的顶点坐标是（）.（-1,8）B.（1,8）C.（-1,2）D.（1,-4）【答案】A3. （2010甘肃兰州）抛物线）,=/+法+图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为,=/_23_3，则从的值为（）A.b=2,c=2B.b=
10、2,c=0C.b=-2,C=-1D.b=-3,c=2【答案】B4. （2010甘肃兰州）抛物线y=v2+c图象如图所示，则一次函数）,=_云_4*+/72与反比例函数y =空纪:在同一坐标系内的图象大致为（）)C. 3个D. 4个【答案】D5. （2010江苏盐城）给出下列四个函数：y=x；y=x；y=；y=x2（xD.k且Z04444【答案】B10. （2010河北）如图5,已知抛物线y=i+云+c的对称轴为=2,点a,8均在抛物线上,且A8与X轴平行，其中点A的坐标为（0,3）,则点8的坐标为（）A.（2,3）B.（3,2）C.（3,3）D.（4,3）【答案】D11. （2010山东莱芜）
11、二次函数y=o2+c的图象如图所示，则一次函数y=法+。的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D12. (2010年贵州)函数y=r+历和y=r2+云+c在同一直角坐标系内的图象大致是()【答案】C.13. (2010年贵州)把抛物线产/+6+c.的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为)=33x+5,则()A.b=3,c=lB.h=6,c=3C.b=-9,c=-5D.h=-9tc=2【答案】A.14. (2010湖北荆州)若把函数y=x的图象用E(x,x)记，函数y=2x+l的图象用E(x,2x+l)记，则E(x,X2-2x+l)可以由
12、E(x,X2)怎样平移得到？A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位【答案】D15. (2010北京)将二次函数尸f-2x+3,化为y=(-2+4的形式，结果为().y=(+1)2+4B.y=(1)2+4C.y=(+1)2+2D.y=U-l)2+2【答案】D16. (2010山东泰安)下列函数：y=-3x；y=2x-；=-(x0)；y=-丁+2x+3,其中y的值随X值增大而增大的函数有()A、4个B、3个C、2个D、1个【答案】C17. (2010江苏徐州)平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x2009)(x2010)+4的图象，使其与X轴交于两点，且
13、此两点的距离为1个单位，则平移方式为A.向上平移4个单位B.向下平移4个单位C.向左平移4个单位D.向右平移4个单位【答案】B18. (2010甘南)向空中发射一枚炮弹，经X秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒【答案】B二、填空题1. (2(Ho湖南株洲)已知二次函数y=(x-2y+(-l)(为常数)，当。取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当=-l,=0,a=l,=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析
14、式是），=.【答案】-l22. （2010浙江宁波）如图，已知。P的半径为2,圆心P在抛物线y=gf-i上运动，当。尸与X轴相切时，圆心P的坐标为.【答案】（、用,2）或（一6,2）（对一个得2分）三、解答题1.（2010湖北省咸宁）已知二次函数y=V+法-C的图象与X轴两交点的坐标分别为（加，0）,（3m,0）（zz0）.（1）证明4c=3Z;（2）若该函数图象的对称轴为直线x=l,试求二次函数的最小值.【答案】（1）证明：依题意，加，一3是一元二次方程+法C=O的两根.根据一元二次方程根与系数的关系，得+（-3m）=一力，m（-3nt）=-c.*.b=2tn,c=3n2.*.4c=3Z?2
15、=12n2.（2）解：依题意，一2=1,，/?=2.2由（1）c=-b2=-（-2）2=3.44/.y=x2-2x-3=（x-l）2-4.二次函数的最小值为-42. （2010云南楚雄）已知：如图，抛物线y=0？+r+c与X轴相交于两点A。，。），吕0）.与y轴相交于点C（0,3）.（1）求抛物线的函数关系式；7（2）若点D（,）是抛物线y=办2+C上一点，请求出机的值，并求出此时AABO的面a+b+c=0【答案】解：（1）由题意可知9a+30+C=O解得c=3a=1b=-4,所以抛物线的函数关系式为y=f-4+3.c=37775（2）把O（n）代人函数解析式y=-4x+3中，得m=（）2-4
16、xj+3=.所以之即=?（3-1）XAi3. （2010黑龙江哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD。设边AB的长为X（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）（1）求S与X之间的函数关系式（不要求写出自变量X的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且ABAD,请求出此时AB的长。ADXBlIC（第24题图）【答案】解：（1）根据题意AQ 二30-2xS = X(15 -x) = -X2 15x（2）当S=50时，-+i5=5O,整理得12-15无+50=0解得M=5,=10当AB=5时，AD=IO;当AB=IO时
17、，AD=5,VABADAB=5答：当矩形ABCD的面积为50平方米且A3A。时，AB的长为5米4. （2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价X（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.（1）设李明每月获得利润为犷（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
18、（成本=进价X销售量）【答案】解：（I）由题意，得：w=（-20）y二（L20）（-10x+500）=-IOx2+700x-10000bX=352a答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.3分（2）由题意，得：-10/+700X一10000=2000解这个方程得：Xi=30,X2=40.答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.(3)法一：Va = -100,抛物线开口向下.当30xW40时,卬22000.Vx32,.当 30WXW32 时,w2000.设成本为P (元)，由题意，得:P = 20(-10x + 500)= -200x + 10000. = -
19、200 v0,，尸随X的增大而减小.，当工二32时,P最小=3600.6分法二：Ya = TOcO, 抛物线开口向下. 当 30WXW40 时，w22000.2xW32, .30x32 时,卬）2000. y =-IOx +500, A = -IOvO, ；v随工的增大而减小. 当 = 32时,y小=180. 当进价一定时，销售量越小， 成本越小，/. 20180 = 3600 （元）.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元.课题：22.1.1二次函数学科数学年级八年级课时L课时主备课人应到人数6实到人数备课时间使用时间学习目标L理解二次函数的概念，掌握二次函数的一
20、般形式。2.会建立简单的二次函数模型，并能够根据实际问题确定自变量的取值范围，根据题意求相应的函数值与自变量的值。教学重点结合具体情景体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念和解析式教学难点1 .能根据生活的实际情境，构建二次函数关系2 .重视二次函数解析式中0这一隐含条件教学方法启发自学、体验过程、学习互助、精讲达标教学过程二次备课一、创设情境激情投入复习反思1 .【温故知新】回顾函数的定义、一次函数、正比例函数2 .【课堂引入】问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方Jy,显然对于X的每一个值,y都有一个对应值,即J体关系可以表示为？教师引导学生思考问题，列出方程.导入新课教学杉的棱长为
21、X,表面积为,是X的函数,它们的具1二、学案引导自主学习目标反思问题2n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数In与球队数n有什么关系？问题3某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加X倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的X的值而确定，y与X之间的关系应怎样表示？思考：函数有什么共同特点？板书二次函数一般地，形如y=or?+法+以。,40是常数，0)的函数，叫做二次函数.其中，X是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.三、聚焦主题合作探究问题反思提出问题,学生合作交流1 .等号左边是变量y,右边是关于自变量X的.2 .a,b,c为常数，且一,为什么？3 .等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.4 .没有特殊要求的话，X的取值范围是二次函数的特殊形式：当b=0时，y=当C=O时，y=当b=0,C=O时，y=【反思节点1】二次函数必须满足的条件是什么？四、展示点评点拨升华达成反思例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(l)y=x2-2x+3S=3-2产(3)y=4xX(4)y=3x2(5)x=x21(6)y=X2+X3+25(7)y=mx2+nx+p(tn,niP为常数)(8)y=3(x-l)3-3(9)y=
