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1、直线和圆复习21 .圆7f+y2=4外一点P(2,1)作两条互相垂直的直线AB和C分别交圆丁于A,8和C,D点,则四边形A88面积的最大值为.【解析】解：如图所示，由。作B,8的垂线OE,OF连接OP，BD,记O=4，OF=%,则42+42=5.AE=BE=y4-d,，PE=4-d；=dCF=DF=-d；,PF=5-J22=di,故S四边密scD=SAP80-SAPAC=2PBPDqPAPCTPE+BE).-E)(*CF)=-K4+-d：)(4+4-dj)-(d2-J”：)(4-y4-d22)=2(&Jd；+&44-d；)=4-J12+dx4-J22,(t12+J22)(8-t22)=53=1
2、5.当且仅当4=4时取等号.答案为：15.2 .过圆f+y2=25内一点P(Ji5,0)作倾斜角互补的直线Ae和BD,分别与圆交于A、C和8、。，则四边形B8面积的最大值为()C. 4028023A.403B.迪3【解析】解：如图，设Ae的倾斜角为6(0eg,则AC:)，=Iane(X-i?).设A(%,yl),C(x2,y2),联立归My叫得Ca厉S%-=0.l +X22眄加e1 + tan215se-251 + tan2由对称性可得：Sabcd=2(yl-y2)(-)=tan(x,-x2)2=tan(x1+2)2-4xix2a60tan460心汨一IGO140zaw3+100tan0,nr
3、n=tan例；-7sJ=；abcd(l+toO),则S=,.S=20(2K-I)-(1+K)2(1+2)-.当左(0,亭)时，S0,当上6(当,+00)时，S=辰，则CD方程为y=-1.k联立仁:八叙-5=。得(1+5*一4一=。.设的，力BQ2,y2),4M1J X + X,=勺-l + k2xlx2=_5.则IABI=Jl+JJ。+K2P-以用=S+J.20k；：361+女1+k同理ICol=4p+1CDI2=56.IABI2+CD2=56.设A8=m,Im=，256则，2JS处76,令f=2A8+8=27+”.如图：由图可知，m2+W2=56当直线F=为+过(6,2番)时，/有最大值为1
4、2+2百.故答案为：12+25.4 .点M是ABC内部或边界上的点，若用到A3C三个顶点距离之和最小，则称点M是A3C的费马点(该问题是十七世纪法国数学家费马提出).若4(0,2),8(-1,0),C(LO)时，点MO是A8C的费马点，且已知MO在N轴上，MIAM0+忸M)I+C%的大小等于.【答案】2+JJ【解析】先证：若尸到A8C:个顶点距离之和最小，贝J?APB?APC?BPC120?如图将A8P绕点B逆时针旋转60。得到BDE,则JBDE四坎BP,BD=BP,?PBD60?,所以fiD尸是等边三角形，BP=DP,PA+PB+PC=ED+DP+PC,当反RRC四点共线时取得最小值,此时？
5、APB?EDB120?.同理可得？8PCIAPC120?所以命题得证.点MO是A8C的费马点，且己知MO在N轴上，?AMoB?AMt)C?BMoC120?,2AM0O?OM0C60?,所以忸MOl=ICMJ=乎,oMJ=2与,所以a%+忸M)I+1CMlI=2+L故答案为：2+百5 .定义：曲线C上的点到点户的距离的最小值称为曲线C到点P的距离.已知曲线C：y=L*0)到点XP(,)的距离为士则实数的值为.2【答案】或返【解析】设曲线。上的一点。(X-)，则IPQI=J(X)2+d-)2=Jx2+-2a(x+-)+2a2=J(x+-)2-2ax+-)+22-2VXVXXVXX令E=X+J2(x
6、0),有归=一23+m2-22)当Q2时，I尸Ql=Jf2-2/+2/-2在f=2时,|?Ql取得最小值芈，所以6-2稣2+2/-2=半,解得=-g或=g(舍去)当a2时，IPQl=Jf2-2+2人一2在Fa时IPQl取得最小值芈，所以ya2-2aa+2a22=上2,解得。=或=-(舍去)222综上所述，实数的值为-:或叵.故答案为：或叵.22226 .在平面直角坐标系中，定义d(A8)=maxN-2My-为两点A(XI,凹)、8(电，必)的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点Q,称d(PQ)的最小值为点尸到直线/的“切比雪夫距离”，记作d(R),给出四个命题，正确的是.对任意三点A、B、
7、C,都有d(C,A)+d(CI)Nd(A,8)；到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；已知点P(3,l)和直线L2x-y-l=0,则d(P,)=g;定点七(-a。)、E(G0),动点P(x,y)满足M(Px)-d(P,E)=2.(2r20),则点尸的轨迹与直线y=&(Z为常数)有且仅有2个公共点.G【解析】对任意二点A、B、Cf若它们共线，设A(AVy)、5(孙%)、Ca3，%)，如卜图，结合三角形相似可得d(CA)=4或CN,Q(CB)=CM或8M,d(A3)=M或BK,则d(C,A)+d(C,8)=d(AB);若8、C或A、C对调，可得d(CA)+d(C8)d(A8):若A、4
8、、C不共线，且ABC中C为锐角或钝角，由矩形CMVK或矩形3WK,d(C,A)+d(C,B)d(A,5);则对任意的三点A、B、C,都有d(GA)+d(Gd(C5),命题正确； y a it到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为maxW，y=l,若yx,则M二】：若3忖，则W=1,故所求轨迹是正方形，命题正确;设点。是直线y=2x-l上一点，且Q(X可得d(P,Q)=max,2,由k-32-2解得Txg,即有d(P,O)=3|.当=时，d(R。)取得最小值g；由卜-3|20),可得P不在y上，P在线段66间成立，可得x+c-(c-x)=2tz,解得万=.由对称性可得x=-也成立，即有两点产满
9、足条件；若在第一象限内，满足M(P,6)V(P,g)=2,即为x-y+c=2a,为射线,由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点尸的轨迹与直线y=攵(4为常数)有且仅有2个公共点，命题正确.故答案为：.7 .(多选题)已知圆M:3-I-COSe)2+(y-2-Sine)I,直线/:米-y-4+2=0,下面五个命题，其中正确的是()A.对任意实数攵与6,直线/和圆M有公共点8 .对任意实数人与。，直线/与圆M都相离C.存在实数女与。，直线/和圆M相离D.对任意实数必存在实数。，使得直线/与圆M相切E.对任意实数6,必存在实数女，使得直线/与圆M相切|解：AB选项，由题意知圆M
10、的圆心为M(I+COS心2+sin,半径为r=l,宜线/的方程可以写作y=k(x-l)+2,过定点A(l,2),因为点A在圆上，所以直线/与圆相切或相交，任意实数人与e,宜线/和圆M有公共点，A正确，8错误；C选项，由以上分析知不存在实数化与6，直线/和圆M相离，C错误；D选项,当直线/与圆M相切时，点A恰好为直线,与圆M的切点，故食线AM与直线/垂直,当无=O时,直线AM与X轴垂直，则l+cos6=l,即CoSe=O,解得6=左江十三（左eZ）,存在。使得门.线/与圆M相切;2当人0时，若直线AM与直线/垂直，则COSeWO,直线AM的斜率为KAM=2+sin0-2=包g=3。，1+cos-
11、lcos所以匕2=-1,即tan。=,此时任意的攵，0,均存在实数使得tan。=，则直线AMIjH.线/垂仃,kk综上所述，对任意实数3必存在实数。，使得直线/与圆例相切，。正确.E选项，点M（l+cos9,2+Sin6）到宜线/的距离为d=警sin网,令e=3,当后=0时，J=O;yk2+当女=0时，d=-=即此时cos,sinasin,则AB=2cosa-2cos0+sina-sin/?|=2cosa-2cos?+SiIla-sin=J5sin(+e)石sin(7+e)26，其中。为锐角，且tanQ=2,取二,=,等号成立，D错.故选：AC.9.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过
12、这样个命题：平面内到两定点距离之比为常数0,krl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知尸、Q分别是圆C：(x-4)2+V=8,圆A/+-4)2=1上的动点，。是坐标原点，则I尸QI+孝IPol的最小值是【解析】解：设O(0,0),A(4,0),设尸(x,y),若四I二也喧4：=也,整理得(1Z)2+y2=22,Ipo2+/2由圆C方程得f,=4解得=2.则对于圆上任意一点?，也|P。I=IPA2a-=82因为IPQI+qIPol=IPQI+1PAl=(IAP+P+D)-D.MD-D=22+42-1=25-1,当且仅当O,QfP,A四点共线时，等号成立.故答案为：2#-1.10.“出租
13、车几何”或“曼哈顿距离“(例。力m。入sce)是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系XQy内，对于任意两点A(N，y)、B(x2,y2),定义它们之间的“欧几里得距离”A8=Ja-刊)+(y-必)，“曼哈顿距离”为IlMIITX-WI+|乂-必|，则下列说法正确的是()A.若点尸为线段x+y=3(x,y0)上任意一点，则IlOHl为定值B.对于平面上任意一点A若IlQH=2,则动点P的轨迹长度为4/C.对于平面上任意三点a、b、ct都有M邸Mq+忸qD.若A、H为椭圆V+4)3=4上的两个动点，贝WABIl最大值为JAC【解析】对卜A选项
14、，设点P(X,)，)为线段x+y=3(x,y0)上任意一点,则IlOH=国+3=x+y=3,A对；对于B选项，设点PaM,贝MoH=IX+H=2,当0,丁力0时，则x+y=2；当0,y，0时，则x+y=2；当x0,y0时，则一x-y=2;当XO,y0时,，则x-y=2.作出点尸的轨迹如右图所示：由图可知，点P的轨迹是边长为2近的正方形，故动点P的轨迹长度为8&，B错;对于C选项，设点A(再,y)、B(孙)、。(&，)，由绝对值三角不等式可得|耳-引=1-&)-(X2-)0|内一闻+-王|，同理可得Iy-%区瓦一%|+帆一对,所以，归一到+y-%vN-&I+I再-幻+|%-对+|%一到,即MBI
15、I11AqI+11BqI,C对;对于D选项，设点4(2COSa,sin)、3(2COS尸,sin/),不妨设CoSacos,sinasin,则AB=2cosa-2cos+sina-sin=2cosa-2cos+Sina-sin=5sin(+e)-正Sin(6+e)26，其中。为锐角，且tane=2,取二e,=f等号成立，D错.故选：AC.已知三棱锥A-BCD中，底面88为等边三角形，AB=AC=AD=3,BC=23,点石为CD的中点，点F为BE的中点,若点M、N是空间中的两动点，且姆=4=2,MN=2,则AMAN=()MFNFA.3B.4C.6D.8【解析】解：AB=AC=AD=3,底面88为等边三角形，且3C=2J.8=2,AO=B建立如图所示空间直角坐标系.则8(-6，-1,0),0(0,2,0),C(G,-1,0)，又E为的中点，.E(*,g,O),点尸为跖的中点，F(d，0),设M(x,y,z),由她=她=2,取MB=2MF,:.(-3-x-y-z)=2(-xj-y,-z),MFNF44则X=*,y=g,z=0,.x2+y2+z2=l,.点MXX(0,0,0)为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2,.MN为球的直径，贝JAAN=(AO+OM)AO+ON)=(AO+OM)(AO-O)=AO2-OM?=51=4.故选：B.
