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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I)数学(理科)一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1已知集合A=xx2-2x0B=x-y5x60)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为+27=111、已知函数二ln(x + l),xO,若II2，则的取值范围是.(-oo,0.(-,14-2,11.-2,012、设44BG的三边长分别为斯,狐c，Z4BC的面积为S”，=1,2,3,1-C+Qnb+Gn,.若ba,b+c=2,斯+1=。，bt+=2，G+=,则()A、&为
2、递减数列B、a为递增数列C、,-I为递增数列，S2为递减数列D、S2为递减数列，S2“为递增数列二.填空题：本大题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量b的夹角为60。，c=t+(l-t)b,若bc=O,则尸.2 114、若数列的前项和为S=4+，则数列的通项公式是=.3 315、设当广。时，函数/(x)=sinx-2cosx取得最大值，则CoSO=16、若函数=(l-2)(f+r+力的图像关于直线=-2对称，则的最大值是,三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、(本小题满分12分)如图，在aABC中，ZABC=90o,AB=3,BC=I,P为V1 )xD-2，刁、m,
3、 若NAPB = I50。，求 tanNPBAABC内一点，ZBPC=90o/若PB=4求PA；18、(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-AlBlCl中，CA=CB,AB=AA1,NBAAi=60。.(I)证明AB_LAC;(Il)若平面ABC_L平面AABB,AB=CB=2,求直线AIC与平面BBlClC所成角的正弦值。19、(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检
4、验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。20 .(本小题满分12分)己知圆：(x+l)2+y2=i,圆：(xi+y2=9,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(II)是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时，求AB.21 .(本小题满分共12分)已知函数=%2+奴+，=ex(c
5、x+d),若曲线y=(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2(I)求，的值；（三）若2一2时，kg(x),求的取值范围。请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定C的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B,点C在圆上，NABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。(I)证明：DB=DCx = 4 + 5cosf , （为参y = 5+5snr(II)设圆的半径为1,BC=,延
6、长CE交AB于点E求aBCF外接圆的半径。(23)(木小题10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0(I)把Cl的参数方程化为极坐标方程；(11)求Cl与C2交点的极坐标(P0,0-1,且当-g,L时，,求的取值范围.22参考答案及评分标准一、选择题1、【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(,0)U(2,+),AUB=R,故选B.2、【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知二4故Z的虚部为一，故选
7、D.54+3i42+32(3+4z)34.=II3-4/(3-4/)(3+4/)553、【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，,即2=gQ,.”二1,.2=L,.的渐近线方程为y=2,42442a224a22故选.5、【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当ET,1)时，s=3f-3,3),当Il,3时，$=今一产3,4,；输出s属于-3,4,故选.6、【命题意图
8、】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R2则R2=(R-2)2+42,解得R=5,球的体积为4及5,普E故选A.7、【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知4)=0,=一=一(一)=-2,2=-=3,，公差=-=1,3=-2+z.=5,故选C.8、【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为L224+
9、4x2x22=16+8)，故选.9、【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.-ur,13(2n)!7(2n+1)!【解析】由题知二,=13=7,即二,tntn(m+)m解得:6,故选B.10、【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设4(王，凹),3(戈2，%)，则%+%2=2,y1+y2=-2,22a2 b222J=a2b1一得区+工2)(/一%2)+(X+0)(y-丁2)=O,a1h2=-呼X+电)=；,又=Qll=L,，4=L,又9=/一/，解得=9,=18,椭圆方xl-X2。(y+)a3-12a2X2V2程为1-1故选D.189
10、11、【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。r.,.c-X2-2x,x0(x0fxO【解析】VH=,，由IIe得，7且，ln(x+l),x0X-2xaxln(x+l)6xx0由、可得x-2,则2-2,排除A,B,X-2xax当=1时，易证In(X+1)VX对恒成立，故=1不适合，排除C,故选D.12、【解析】B二.填空题：13、【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】=)70+(1Z)=S力+(1F)/=t1/=1t=0,解得=.2214、【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.2 1【解析】当
11、=1时，=q+，解得=1,3 3212122当22时，=S-Sl=_aH(ClH)=_du,即=_2q”,nW-13勿33-1333-I是首项为1,公比为一2的等比数列，二(一2严.15、【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析1*=sinX2cosx=5sinxcos)令二,Sm(P=-,WJ=V5(sinxcos+sincosx)=5sin(x+),当=2%)+,女z,即=2乃+,左z时，取最大值，此时=2&4+5-0,%2,Kn、25二cos(2攵4+-)-16、【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析
12、】由图像关于直线二一2对称，则O=/(-1)=/(-3)=l-(-3)2J(-3)2-3a+bt0=/(1)=/(-5)=l-(-5)2(-5)2-5a+b,解得=8,=15,=(1-x2)(x2+8x+15),()=-2x(x2+8x+15)+(1-x2)(2X+8)=-4(x3+6x2+7x-2)=-4(x+2)(x+2+5)(x2-5)3(-oo,-2-5)U(-2,-2+5)W,(x)0,(-2-,-2)U(-2+5,+)H,(x)0,0,)田(一1,0,0),则=(1,0,),=(-1,0,),=(0,9分设=(x,y,z)是平面C88G的法向量，x3z = 0_,可取=(,1, -
13、1),x+yj3y = 0nBC=0则nBBl-0/M-八ACMcos/I,A.C),/nAiC5，直线AC与平面BBlGC所成角的正弦值为亚12分519、(本小题满分12分)【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)U(CD),且AB与CD互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P（八）P(B|A)+P(C)P(D|C)=C(g)2xgxgy+gy=-.-6分（三）X的可能取值为400,500,800,并且P(X
14、=400)=l-C(g)3g-g)4=,P(X=500)=-j,P(X=800)=C：(；)3xg=；,.X的分布列为X400500800P1116116410分八11八ICIEX=400+500800-=12分16164(20)(本小题满分12分)【解析】由己知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(LO),半径=3.设动圆的圆心为(,),半径为R.(I)圆与圆外切且与圆内切，PM+PN=(R+Q+(&-R)=4+G=4,由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程(II)对于曲线C上任意一点(，)，由于IPM卜IPNI=2上一2
15、W2,.RW2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2.，当圆P的半径最长时，其方程为(x-2+y2=4,当的倾斜角为时，则与轴重合，可得IAB=.当的倾斜角不为时，由WR知不平行轴，设与轴的交点为Q,则建巴二K,可求得Q(-4,0),设:IQMIy=A(x+4),由于圆M相切得尸=1,解得Z=Wi7F4当二农时，将y=也x+代入+=1(彳工一2)并整理得7工2+8工一8=0,解得二土还，4”4437IABj=y/1+&2J1X2I=.当=一正时，由图形的对称性可知IABI=，471Q综上，IabI=或IAB=.7(21)(本小题满分共12分)【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线
16、的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.【解析】(I)由已知得/(O)=Zg(O)=2J(0)=4,g(O)=4,三fx)=2x+b,=ex(cx+d+c)t=4,=2,=2,=2；4分(II)由(I)知，/(x)=X2+4x+2,g(x)=2e(x+l),设函数=依(X)-/(x)=2女e(x+l)-x?-4-2(x-2),F(x)=2kex+2)-2x-4=2(x+2)(r-l),有题设可得20,即，令F(X)=O得，=-ln,=-2,(1)若1Z0,即在(-2,不)单调递减，在(X，+0。)单调递增，故在=取最小值户(XJ,而尸(玉)=2+2-M-
17、4玉2=-(+2)20,当22时，20,即WZg(X)恒成立，(2)若k=e2tPliJF,(x)=2e2(x+2)(ex-e2),，当22时,尸(X)20,在(-2,+8)单调递增，而尸(-2)=0,当22时，20,即W依(X)恒成立,若女/,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e2(k-e2)OtZBCE,当一2时，依(X)不可能恒成立，综上所述，的取值范围为1,.(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.【解析】(I)连结DE,交BC与点G由弦切角定理得，Zabf=ZBCE,vzabe=zcbe,zcbe=BE=CE,XVDB
18、BE,DE是直径，ZDCE=,由勾股定理可得DB=Dc(II)由(I)知，ZCDE=ZBDe,BD=DC,故DG是BC的中垂线,设DE中点为O,连结BO,WJZBOG=,NABE=NBCE=NCBE=,/7CFBF,JRtZXBCF的外接圆半径等于N-.(23)(本小题10分)选修4一4：坐标系与参数方程【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.X=4+5cost【解析】将一消去参数，化为普通方程*-4)2+(y-5)2=25,y=5+5sin/0,fx二夕CoSe-r即：x2+-8x-10y+16=0,将qP
19、代入工？+/-8-10y+16=0得，y=PSinep1一82CoSeIOpsinO+16=0,，的极坐标方程为p1一82COSe-Io9sinO+16=0；(II)的普通方程为f+V-2y=0,X2+y2-8x-10y+16=0,IX=I-(X=O-一lilL兀由,二J解得/或，与的交点的极坐标分别为(J5,),(2,-).x2+y2-2y=0Iy=Iy=242(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.【解析】当=-2时，不等式化为2%-l+2x-2-x-3v,设函数二|21一1|+|2%-2|一尢一3,-5x,-X-2,3x-6,1x2xl其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x(0,2)时，0,x0x2.(II)当一巴，L)时，=,不等式&化为l+%+3,22xQ-2对-W,L)都成立，故一色，即w,4的取值范围为(-L-.3原不等式解集是
