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1、数值计算方法试题一一、填空题(每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程V+x-4=0在区间U,2内的根精确到三位小数，需对分()次。2、迭代格式XM=S+(-2)局部收敛的充分条件是取值在()oX30xlS(X)(x-1)3+a(x-l)2+/?(x-l)+clx33、 2是三次样条函数，那么a=(),b=(),c=()。4、/Oa)/(x),J(X)是以整数点%,为,为节点的Lagrange插值基函数，那么4U*)=SXklj(Xk)=C力+湿+3Xta)=氏=o(),%。(),当2时氏=o()。5、设/(x)=6/+2/+3/+1和节点=4/2/=0,1,2,-,那么/%,石,%=和AN
2、=6、5个节点的牛顿柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为O7、r*)2是区间0上权函数Pa)=X的最高项系数为1的正交多项式族，其中%()=L那x-ax2=28、给定方程组 敛。,且0。2时，SOR迭代法收-ax.+x2=b2fQ为实数，当Q满足.9、解初值问题y, = f(,y).ya。)=%的改良欧拉法W?=K+(“)2小和”)+小,孀)是.阶方法。10、设对角线元素( = 123)满足(二、二、选择题(每题2分)1、解方程组AX =人的简单迭代格式(I) P(A) 1(2)夕 1,(4) P(B) 1)。/(x)JxS-a电Cwf(Xi)r(n)2、在牛顿-柯特斯
3、求积公式：“-O中，当系数a是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)8,(2)nlt(3)n10,(4)6,3、有以下数表XO0.5I1.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次4、假设用二阶中点公式一+Wn-On+-M%)求解初值问题V=-2Xy(0)=1,试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为()。(1)0Zz2,(2)0%2,(3)02,(4)0A2三、1、(8分)用最小二乘法求形如y=。+匕/的经验公式拟合以下数据:Xi19253038K1
4、9.032.349.073.3exdx2、(15分)用=8的复化梯形公式(或复化SimPSOn公式)计算J。时，(1) (1)试用余项估计其误差。(2)用=8的复化梯形公式(或复化SimPSon公式)计算出该积分的近似值。四、1、115分)方程/一工-1=。在X=I.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(I)X=FXT对应迭代格式Xe=V%+1；(2)V+工对应迭代格式VXn；X=X3-1对应迭代格式X用=舅一L判断迭代格式在=15的收敛性，选一种收敛格式计算1=L5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立SteffenSen迭代法，并进行计算与前种结果比拟，说明是否有加速效果。
5、2、(8分)方程组AX=/,其中(1) (1)列出JaCObi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) (2)求出JaCobi迭代矩阵的谱半径，写出SoR迭代法。五、1、U5分)dy_ dx取步长=oi,求解初值问题I N) = 用改良的欧拉法求y(D的值；用经典的四阶龙格一库塔法求六)的值。2、(8分)求一次数不高于4次的多项式P(X)使它满足P(XO)=f(0),P(Xl)=U1),P()=ff(o),p,(xi)=(XI),p(x2)=f(2)六、(以下2题屐选一题，4分)1、1、数值积分公式形如XfMdxS(x)=V(O)+Bf(I)+Cf,(O)+Dft()(1) (
6、1)试确定参数AaCO使公式代数精度尽量高；(2)设/()eC4J,推导余后八/R(X)=位了心一S(X)_项公式J。，并估计误差。2、2、用二步法+!+%t+hf(xn,yrt)+(1-o)fixn_x,yn,x)卜=*,y)。时，如何选择参数a。，夕使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：(共16分，每题2分)1、假设A是X阶非奇异阵，那么必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使A=LU唯一成立。()2、当8时，NeWlon-COteS型求积公式会产生数值不稳定性。()bf(x)dxAif(xi)3、形如，=1的高斯(Gauss)型求积公式具
7、有最高代数精确度的次数为2+1。(214、矩阵的2范数Mb= 9。f2aa0、A=0a05、设I00a),那么对任意实数40,方程组Ar=力都是病态的。(用ML)()6、设ARX,QgR,且有(单位阵)，那么有同2=侬L()7、区间上以上关于权函数W(X)的直交多项式是存在的，且唯一。()8、对矩阵A作如下的DOOIittIe分解：223W1O0Y223、1-2二、填空题：1、设/O),那么“的值分别为 =2, b=2. (A=477=210081(共20分，每题2分)=9/+3/+21/+1,那么均差,/30,3,39=2、设函数/(X)于区间LU上有足够阶连续导数，PGLU为了(X)的一个
8、加重零点，NeWlOn迭代/()f (XQ的收敛阶至少是+l=Xk-fn-3、区间口，同上的三次样条插值函数Sa)在上具有直到阶的连续导数。(7-24、向量X=(IL2)二矩阵1-3那么IIxIIi=,Cazd（八）OO=o5、为使两点的数值求积公式：Llx)rss)+*)具有最高的代数精确度，那么其求积基点应为XI=,x2=o6、设ARX,Ar=A,那么P（八）(谱半径)MR2。(此处填小于、大于、等于)O 1 - 2 1-21-47、设三、简答题：（9分）Iim Ak = 那么1、1、方程x=4-2v在区间1,2内有唯一根X*,假设用迭代公式：XAT=M（4-）ln2伏=，2，），那么其产
9、生的序列卜人是否收敛于r?说明理由。2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，般为什么要用选主元的技术？、I-COSxf（x）=23、3、设X=O.001,试选择较好的算法计算函数值Xo四、（10分）数值积分公式为：fhhC,试确定积分公式中的参数力,使其代数精确度f(x)dx-/(0)/（八）+h2f(0)-f(h)尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、18分）求（）的迭代公式为:8+1=彳+-）&=0,1,22Xk证明：对一切Z=1，2,，/,且序列昆是单调递减的,从而迭代过程收敛。33（x）d-/（1）+/（2）六、（9分）数值求积公式J02是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？
10、七、（9分）设线性代数方程组AX=中系数矩阵A非奇异，X为精确解，匕0,假设向量X是AX=rIlYlIcndM的一个近似解，残向量-=6-AX,证明估计式：IIIIn（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10分）设函数/3）在区间，可上具有四阶连续导数，试求满足以下插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H（X）,并导出其余项。i012xi012/(Xi)-113/()3九、（9分）设%（）是区间他向上关于权函数Mx）的直交多项式序列，再（=1,2,+1）为W”X（X）的零点,1.（x）（=l,2,n,+l）是以xi为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数，b/(x)w(x)dxAk/
11、(xjt)I为高斯型求积公式，证明：rr+1“7y-A必(七)%G)二(1) (1)当%JMWJ时，汩Z(x)(X)Mfr=O(kj)(2) JaW+1bFbV(lhx)w(x)dx=w(x)dxyjala十、(选做题8分)假设=%(X)=(X-JC0)(X-Xl)-(X-Xn)tXia=OJ互异，求/1%0，再,p的值，其中p+数值计算方法试题三一、(24分)填空题(1) (1)(2分)改变函数/(%)=GT-4(XAl)的形式，使计算结果较精确(2) (2)(2分)假设用二分法求方程,(H=在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，那么需要对分次。/=卜(2分)设Ix2J,那么r(6=S(
12、X)=F！xl(4) (4)(3分)设B+r+法+，Yx2是3次样条函数，那么a=,b=,C=。(5) (5)(3分)假设用复化梯形公式计算J。,要求误差不超过10F,利用余项公式估计，至少用个求积节点。x1+1.6x2=1(6) (6)(6分)写出求解方程组l4+/=2的GaUSS-SeideI迭代公式,迭代矩阵为，差。(3) (3)(10分)求/(%)=在区间0,1上的1次最正确平方逼近多项式。/=画区dx(4) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分JoX的近似值，要求误差限为().5W5o(5) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:x1+4x2+2x3=24,3
13、x1+x2+5x3=342xl+6尤2+匕=27(6) (6)1(8分)求方程组U(8分)常微分方程的初值问题:的最小二乘解。dydx=x/y,1x1.2MI)=2用改良的Euler方法计算Ml2)的近似值，取步长h=0,2o三.(12分，在以下5个题中至多项选择做3个题)(1) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式P(X)满足：P(I)=I5,PQ=20,3=30,P=57,=72(2) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:xfxdxA)A0)x2),那么/(月一S(X)=厅，xl(12) (4)(3分)设H+r+bx+c,lx2是3次样条函数，那么a=
14、,b=,c=o(13) (5)(3分)假设用复化梯形公式计算J。“八，要求误差不超过Io,利用余项公式估计，至少用个求积节点。xl+1.6x2=1(14) (6)(6分)写出求解方程组卜04%+%=2的GaUSS-Seidel迭代公式,迭代矩阵为，此迭代法是否收敛OA=F4(15)(4分)设【43人那么%=,CondR（八）=。(16)(8)(2分)假设用EUler法求解初值问题y=-l%X0)=1,为保证算法的绝对稳定，那么步长h的取值范围为(64分)(8) (1)(6分)写出求方程4x=coS(X)+1在区间0的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(9) (2)(12分)以100,121,
15、144为插值节点，用插值法计算J而的近似值，并利用余项估计误差。(10) (3)(10分)求/(%)=在区间0,1上的1次最正确平方逼近多项式。/=皿U(11) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分JoX的近似值，要求误差限为().510-5o(12) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:x1+4x2+2x3=243x1+x25x3=342x1+6x2+x3=27(13) (6)(8分)求方程组UU的最小二乘解。(14) (7)(8分)常微分方程的初值问题：dydx=xy,lx1.2MI)=2用改良的Euler方法计算X12)的近似值，取步长h=0,2o三.(12分，
16、在以下5个题中至多项选择做3个题)(6) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式P(X)满足：P(I)=I5,(1)=20,3=30,P=57,=72(7) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:MxA(g)+AJ4、（）192252312382/=19.032.349.0733解方程组ATAC=A7y其中解得:ArA =433913391 3529603八 0.9255577-C =0.05010252、（15 分）解:A7 y =173.6179980.7所以 a = 0.9255577,Rrlf=-h2f)Z? = 0.0501025L12 82,0 =
17、 0.001302 768L7丁=-/()+2工f(xk)+/0)2A=I=/1+2x(0.8824969+0.7788008+0.60653066+0.5352614+0.47236655+0.41686207)+0.36787947=0.6329434,1-四、1、(15分)解：3一+D,P,(1.5)|=0.181,故收敛；)=2xV1+x,15)=0.171,故发散。选择(1)：=L5,再=1.3572,x2=1.3309,x3=1.3259x4=1.3249x5=1.324766=132472(xk)-xk)2xjt+1=xkSteffensen迭代：(xk)-2(xk)+Xk(也+
18、If.-Xk厂/1”VNXk+1+1-xk+1+1计算结果：=L5,Q1324899,=1324718有加速效果。2、（8分）解：JaCobi迭代法:工）=；（24一3只幻）El）=；（303幻+石幻）婢川=*24+%夕）攵=0,L2,3,琛川二；(24一3Xy)4A+,)=-(30-3xa+o+x)4u)=l(-24+)Gauss-Seidel 迭代法:A=O,1,2,3,0-0P(BJ )=属(或乎)=0.790569当LU)=-%O%一0%XrT)=(I&)xf+?(243后幻)SOR迭代法:=(-)x+-(30-3x1+xk)老华)=(1制)+?(24+4钊)%=0,1,2,3,斓=y
19、n-f-hf(n，)=91+01h五、1、（15分）解：改良的欧拉法:y,+=+-)+(+，yi)=0905yf,+0.095所以NO）=%=；经典的四阶龙格一库塔法：h+=+2&+2勺+&6k=/（，”）=+l）.C,hh.+于丹+产）3=f（Xn+h,yj+hk3）k=k2=k3=k4=O,所以y（0.1）=y=1,H3（xi）=f（Xi） =0所以122-h3ym(xn)主项：12J该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案一、一、判断题：（共10分，每题2分）)7、(1、（X）2、（V3、（X4、（V）5、（X）6、（V8、（X）二、二、填空题：（共】0分，每题2分）、9x8!、O2、二3
20、、二4、16、905、7、O三、三、简答题：（15分）1、1、解：迭代函数为e（x）=ln（4-x）l112I O)=X/(x)=Y时，J。322-、3f3=-0+3+-i20-3A2f(x)=/时，Jo4212.一、4f4=-0+z4+-20-4z3=-/(x)=/时，J。52126.所以，其代数精确度为3。xk- = 4a Z = OJ,2 Xk1z4、1C1=+-)2五、五、证明：2Xk故对一切2=1，2S五。-lj-=I(1+-)(1+1)=1(I又Xk2Xk2所以XN即序列任/是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。(X) = X/ +六、六、解：是。因为丁(功在基点1、2处的插值多项式
21、为1-2f p(x)tZx = (l) + (2)jo2。其代数精度为1。x-12-1(2)七、七、证明：由题意知：=b,AX=b-rA(X-X)=r=X-X=ATr=X-XATMl又AX=LAXH唧冈=向喟所以八、解：设H(X)=N2(x)+ar(x-1)(尢一2)N2(X)=/(O)+AOja-0)+/0,l,2(x-O)(X-l)=l-2x-l(x-O)(X-1)H(x)=-2x-x(x-1)+ax(x-I)(X-2)所以2由(0)=3得：aH(x)=x3x2+3x1所以44令R(X)=f(x)-H(x),作辅助函数gQ)=/(O-HQ)-Z(X)产(t-IXf-2)那么g(r)在，引上
22、也具有4阶连续导数且至少有4个零点：t=x，L2反复利用罗尔定理可得：”(幻=(%,(g=)所以R(X)=f(x)-H(x)=k(x)x2(x-IXx-2)=f(x)w(x)dxyAkf(xk)八、九、址明：形如I的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精度2n+l次，它对/(X)取所有次数不超过2nl次的多项式均精确成立Ech,Aik(xj)j(x,)=Jk(x)j(x)w(x)dx=O1)OijJ(j(x)=1.2)因为。(幻是n次多项式，且有U=JM+1Ik(x)lj(x)w(x)dx=Ailk(xi)lj(xi)=O.所以占MJ)223)取/(x)=6(x),代入求积公式：因为4(X
23、)是2n次多项式，p/,M+1li(x)w(x)dx=ZAjf(xy)2=Ai所以“2w+pt,+1PbZJ/；(x)mx)Jx=Z4=w(x)dx故益嬴立。pn30,4,XJ=S7-=Mn(DJ=O川T)/小，J=一4z=(n+1)!数值计算方法试题三答案一.(24分)/(X)=(1)(2 分)1l +yx(2) (2 分)10(2玉2x2j1 (5) (3 分)477(3)(2分)I“2x)(4)(3分)3-3X，+D=I-L6x?4=0(0-1.6(6)(6分)=2+0.4吐=0-0.64)收敛(7)(4分)991(8)(2分)1)0.2二.(64分)八%+1=0(Z)=Il+cos(x
24、,Jn=0,l,2,.(1)(6分)4,M=一卜in(x)-(/,必)=fep()公=61(/2)=xexp(x)Jx=lr11/2YClL(CfJO.8731、J/21/3JIC2厂1)fQ厂l690=0.8731+1.690XO(X)=4e-10+(18-6e)x=0873127+1.69031x(4) (10分)X2 + 4 6 + 8-3+35+V-或利用余项：,()X2 X4172! 9x4!r,(2880 n41尸(编2880 X 5n-().51()-5r c4, n2f lS2 =(5) (10分)3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.3
25、33312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333233334.33330.00000.00001.93759.6875X=(2.0000,3.0000,5.0000)(一 1.3333X -I 2.0000勺6丫叽(8、(6) (8分)(Azb=A%1614x2J-l2J假设用Householder变换，那么:1.73205(Ab) 0、0-3.464104.61880-0.36603 -1.52073-1.36603 -2.52073,J 1.732050、0-3.464101.414210- 4
26、.61880、2.828430.81650 j最小二乘解:(-1.33333,2.00000).(7) (8分)k、=/(xo,yo)=O.5jk2=/(x1,%+力幻=1.1/(2+0.20.5)=0.5238095M=凡+夕匕+他)=2+0.1X(0.5+0.5238095)=2.1071429三(12分)(1)差分表:2215151557572020427215223078p(x)=15+2(x-l)+15(x-l)2+7(x-l)3+(x-1)3(x-2)=5+4x+3x2+2x3+x4其他方法：设P(X)=I5+20(X-l)15(x-l)2(x-l)3(ax+b)令p(2)=57,
27、p0.05_J10.05v二.JO994O%E=o2碑=(%#2)=10.110,“一队-10.1090,W)-邛I=0.002V0.050.99400.1090(4)局部截断误差=)(*)一%1=A)+Ay(x,.)+yy,(x,.)+o(3)-yU)A,U)ZV?y&)-42了，&)+咐)=(-A)-6MQ)+aV2,U)+O(Y)131令a=。,5+得凡=5,=F,计算公式为2八卯力一九)i=0,123yu(.)+(4)(局部截断误差=12)(5)记力=S-)N,W=+/Pj=P(XJZ=qxiri=rxi)%=y&),i=o.NJT(-i-2必+)+Pj(y,+-Z-I)+qiM=-r
28、ihIh,i=l.N-l(1-4亿)W+(-2+2,)+fl+p,+=h2ri即I2JV27,i=l.N-l(l)-3九+4%一%=0,与(1)取i=的方程联立消去y2得(-2-2PJyo+(2+*%+2hpl)yl-h2rxVn二,与取i=N-l的方程联立消去yN得(3)Pn-2卜N-2+(-2+力n-1,n-I=rN-所求三对角方程组：方程(2),方程组(l)(i=l.N2),方程(3)此迭代法是否收敛O(5G(4分)设143人那么ML=,Condx（八）=。(8)(8)(2分)假设用EUIer法求解初值问题y=-lHX0)=*1,为保证算法的绝对稳定，那么步长h的取值范围为二.(64分)(1)(1)(6分)写出求方程4x=cos(x)+l在区间1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算布亍的近似值，并利用余项估计误
