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1、4.2导数的应用基础篇考点一导数与函数的单调性考向一求函数的单调区间1.(2022长沙明达中学入学考,7)已知函数/(x)=xlnx,则/U)()A.在(0,+8)上单调递增B.在(0,+8)上单调递减C.在(0,3上单调递增D.在(0,J上单调递减答案D2. (2022山东烟台莱州一中开学考,3)函数f(x)=-2lnxx9的单调递增区间是()A.(0,+)B.(-3,1)C.(l,)D.(0,1)答案D3. (2022河北衡水中学模拟，15)已知一元二次不等式加+b+cO的解集为U-lx5,则函数/V)%3+，/+以的单调递增区间为.答案(-1,5)4. (2023届哈尔滨师大附中月考，1
2、7)设函数/(工)=111(1+0)+区,且(%)习6：)-加.(1)若a=ih=-t求函数/G)的单调区间；若曲线y=g(x)在点(1,In3)处的切线与直线1lx-3=0平行,求,b的值.解析(1)由题意知/(x)=In(I+x)-x,定义域为(-1,+),求导得/(x)=A-1=搭，令/(X)=O,得户0,当140,当Qo时JQ)0,所以/Cr)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间为(0,oo).(2)g(x)=f(x)-br=n(1+ax)+bx-bx2,求导得g(x)=-jfb-,2bxt因为曲线产g(x)在点(Ijn3)处的切线与直线IN3产。平行,所以gl)=E+b-2b=-
3、y,(1)=In(1+a)+h-h=n3,解得a=2fh=-3.5. (2022福建泉州质量监测二，17)已知函数G)=xsinX的图象在点(Oj(O)处的切线方程为y=-x.求。；求在0,2冗上的单调区间.解析(1)对/(x)=x-sinX求导得/(X)=I-acosx,则,(0)=l-acos0=1-,根据f(x)=X-tzsinX的图象在(OJ(O)处的切线方程为y=-x,有l-=-l,解得a=2.(2)由可得,(x)=l-2cosx在区间0,2冗上，由f(x)=0,解得X=T或=y.当()4竹或MV2时Jq),则单调递增.综上可得J(X)的单调递减区间为(,旨2n,单调递增区间为停号)
4、.考向二利用单调性比较大小、解不等式1. (2023届江苏南京、镇江学情调查,7)设函数/(X)=-SinX+ln(jKI+x)+x,则满足/(x)4(3-2x)0的X的取值范围是()A.(3,+oo)B.(1,+)C.(-oo,3)D.(-oo,1)答案A2. (2021湖南郴州质检三,8)已知a=41n3,Z?=31n4,c-41n3,则aih,c的大小关系是()A.cbaB.hcaC.hacD.abbcB.cabC.acbD.cba答案B4.(2022全国甲文，12,5分)已知9,=1(),a=W,-,b=S,-9t则()A.a0bB.ab0C.ba0D.b0a答案A5. (2022广东
5、汕头一模,5)已知斫乎,b=ic#,则以下不等式正确的是()2e5K.cbaB.abcC.bacD.bca答案C6. (2023届广东六校联考，16)若不等式(x+l)eZr0有且仅有一个正整数解,则实数的取值范围是.答案)考点二导数与函数的极(最)值1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考，11)设。WO,若x=4为函数1)R(、/261)的极小值点,则(A.4lC.aa2答案C2. (2022海南海口四中期中，14)若函数/(x)=-+r-4在x=2处取得极值,则a=_.答案33. (2022沈阳三十一中月考，13)写出一个同时满足下列要求的函数/(x)=一(功的表达式中至少含有ex(N*
6、)InX中的两个;存在一个极值点x=3.答案宗或e(x-4)(答案不唯一)4. (2021新高考/,15,5分)函数/(1)=|2片1卜2瓜工的最小值为.答案15. (2023届重庆八中入学考，18)已知函数/(x)=ax+b+cosx(afZR),若曲线/Cr)在点(OJ(O)处的切线方程为卢夕+2.求f(x)的解析式；求函数/(x)在0,2冗上的值域.解析(1)因为/(功=0+匕+85%(。,/，所以/G)=-sin,f()=b+cosO=2,(b+1=2,11由题意得.n1即J1所以a=6=1,则/(x)=+l+cosx.广(O)=Q-SmO=&,(a=-,2j2(2)由(1)得f(x)
7、=x+1+cosx,f,(x)=-sin%,由广(X)20且x0,2可得(Xw或詈f式，函数/(x)在区间。用和片,2上单调递增，由*0且x0,2兀可得VxV当函数g)在区间停泮)上单调递减;因此当W时,函数取得极大值段)=TXHl+COS3=1+工+今当L金时,函数取得极小值/(第=TX詈+1+cos=1+工一冬又/(0)=2,/(2)=2+l+cos2=1+1=2+,1+瑞一苧V2V1+曰(),证明:/在定义域内是增函数；若/(x)在口,e上的最小值为|,求a的值.解析证明：由题意知/O的定义域为(o,+8)j(x)W+爰=誓.必)，广o,故/(x)在(0,+8)上是增函数.由可知JG)=
8、詈.若。2-1,则x+20,即/(x)20在l,e上恒成立,此时/(x)在1,e上为增函数，V)min=/=-,=卷(舍去)；若a-e,则x+a0,即/(x)WO在1,e上恒成立,此时/(x)在口，e上为减函数，V(x)min=,(e)=l-=|,.=q(舍去);若e7-1,令/(x)=0,得x=-at当-ax0,/./G)在(Ue)上为增函数，当14。时Jq)O,SS单调递增，所以S的最小值为S(2)=32.综合篇考法一利用导数研究函数的单调性考向一含参函数的单调性问题1. (2023届福建部分名校联考,21)已知函数/(x)=+x2(1)讨论八x)的单调性；(2)若/(x)20恒成立,求a
9、的取值范围.解析(1)因为G)=aex+x-2=x-2,所以广(工)=三券若WO,则尸(x)0恒成立；若0,则当x(-,Ina)时J(x)O.故当a0时Ja)的单调递增区间为(。,+8),无单调递减区间；当a0时J(X)的单调递增区间为(In+oo),单调递减区间为(。,In加.(2)f(x)20等价于2(2x)e,令函数gG)=(2x)e,则gG)=(lx)e*,当x(-8,1)时,gO,g(x)单调递增；当x(1,+00)时,/(功O对任意x(0,+00)恒成立，所以函数在区间(o,)上单调递增；(2)当。0时，由/G)0得心多由/G)0得0x0时J(X)的单调增区间为&+8),单调减区间
10、为(0,53. (2022浙江舟山中学质量检测,20改编)已知函数/(x)=x2-2x+lnx,当a0时,求函数/(x)的单调区间.解析/(x)=x1-2x+anx的定义域为(O,+),(x)=2x-2+=卒-j+Q(v)j令/G)=0,可得2x2-2x+a=0U0),当J=4-80,即。若吐/Cr)20对于x(0,+8)恒成立,所以/(x)在(O,+oo)上单调递增.当=4-840,即0a0可得0上手至或XW三至，由/G)0可得匕笋x0,讨论函数g(x)J!?M的单调性.解析设(x)=f(x)-2x-ct则h(x)=21nx-2x+1-c,其定义域为(0,+oo),h,(x)=-2.当Oa0
11、;当Ql时,0.所以z(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(l,+)上单调递减从而当ml时,/?取得最大值,最大值为=-l-c.故当且仅当-I-C0,即c-l时，f(x)2x+c.所以C的取值范围为-1,+00).取c=-l得力(X)=21nx-2x+2,Zl(I)=O,则由(1)知，当x1时，/?金)0,即1-x+lnXVo.故当x g(x)x-ax-a,x (0, a) U (a, +oo) .g(x)=-2(+lna-lnx)21+in()2()2 ,(0,a)U(a,+oo)时，1-三+In0,从而g(x)0),aR.(1)讨论/Cr)的单调性；(2)若对任意x(0,+),均有/(
12、x)0,求a的值；(3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81,若其1()次投篮全部命中的概率为p,证明:pe.解析函数/(x)的定义域为(0,+8),广三亲=鬻.若。W0,则广0,由/乂)可得040时，函数/在(0,4a2)上单调递增,在(402,+)上单调递减.当W0时，函数/6)在(0,+oo)上为减函数,且/(1)=0,当OaVl时,f(x)y=0,不合题意.当0时，由(1)知f(x)na=(42)=Hn(4a2)-2a+l=2aln(2a)-2a+l0,令t=2a,t0,可得rlnt-t+0,即Inr-l+0,令g(r)=lnr+-l,其中r0,则g，SW-*=詈.当0r1时
13、,g(f)时,gSO,此时函数g(f)单调递增.所以,g(r)mi11=g(I)=0,则g(f)2g(l)=0,又g()0,所以g(r)=O,所以2a=r=l,解得a=.(3) 由题意可得P=O.8/,由(2)可知，当a=,iy-x+l0,即Inx2(x-l),所以InO.81,o=lOIn0.8120(0T-1)=-2,因此,0;当x(,9时，x(x)0.故/a)在(-00,0),&+8)单调递增,在(Om单调递减.若a=0,/(x)在(-,+)单调递增.若。oSx(p),o.(一8,(0,+oo)单调递增,在,0)单调递减.满足题设条件的。存在.当W0时,由知,f(x)在0,1单调递增,所
14、以/(x)在区间0,1的最小值为/(O)=A最大值为/(l)=2-+6.此时,b满足题设条件当且仅当b=-f2-a+b=f即=0,b=-.当时，由(1)知，/V)在0,1单调递减,所以/Cr)在区间0,1的最大值为/(O)=A最小值为了=2-+.此时a,。满足题设条件当且仅当2-a+b=-,/?=!,即=4,b=.当03时，由知，/(x)在0,1的最小值为/Q)=-最大值为b或2a+b.若-，/?=-1,b=,则a=3V,与()5或=(),与00,Wl)在区间(后,0)内单调递增，则a的取值范围是.答案M5. (2022湖南衡阳一中周测，18)已知函数=0r-l(6ZR).(1)若函数/(x)
15、在R上单调递增,求实数a的取值范围；(2)若函数/(x)的单调递减区间是(1,1),求实数a的值；(3)若函数/(x)在区间(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.解析(l)r=3.因为/(x)在R上单调递增,所以r(x)20恒成立,即3x2恒成立,故(3x2)min=().经检验，当=O时,符合题意，故实数。的取值范围是(8,O.由(1),得f(x)=3x2-,因为/(x)的单调递减区间是(1,1),所以不等式3x20)的最小值为1Cj(X)=X-InX(X0)的最小值为1D.(x)=xe(x0)的最小值为1答案AC4. (2018江苏，11,5分)若函数/(x)=2P-0r+1(。WR
16、)在(0,+8)内有且只有一个零点,则/(x)在-L1上的最大值与最小值的和为.答案-35. (2018课标/理，16,5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则/(x)的最小值是.答案等6. (2022江苏盐城四校联合检测，15)函数/(x)=-3对InXI+3的最大值为.答案2-ln37. (2021北京，19,15分)已知函数/(X)=急.若=0,求曲线月G)在点(l,f(l)处的切线方程;(2)若/Q)在户-1处取得极值,求/2的单调区间，并求其最大值与最小值.解析当斫。时,/埸-；/(x)=+*所以f(l)=l,尸(1)=4所以曲线产/G)在点(1,/(1)处的切线方程为y-
17、l=-4(x-l),即=-4x+5.由/(x)得/G)JU段第2%)=写奇丝由题意知.(=o,所以(-1)2-当=4时,/U)=洋,1(x)3(-l)-=().故a=4.X(-00,-1)-1(-1,4)4(4,+oo)f,(x)+0-0+/114/-2(xl)(x-4)(X2+4)2*Jra)与人功的变化情况如表:因此，/U)的单调递增区间是(8,1)和(4,+8),单调递减区间是(-,4).当Jt-8时,)一0,当f+8时,)-0,所以/(-1)=1是f(x)的最大值,/(4)二是f(x)的最小值.8. (2022湖北重点中学联考,21)已知函数/(x)=(如Oet求f(x)的极值；(2)
18、求f(x)在区间0,1上的最小值.解析(1)由/(x)=(X-QeX可得/)=(x-l)e,令/G)=O,得=hi,随X变化J(X)与尸(X)的变化情况如表：X(-00,hl)kA(hl,oo),-0+F(X)-e*lZ所以f(x)的单调递减区间是(-8,hl),单调递增区间是(hl,+8),所以/(x)有极小值f(k-无极大值.(2)当hl0,即AWl时JG)=Cr/+1)廿20在工W0,1上恒成立,则函数/(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(O)=-A;当0匕V,即1&0),W1,4,/(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=()A.-B.-C.-D.-3
19、333答案C2.(2()22湖南岳阳一中入学考,7)若函数/(尤)=2加(0)在区间e,等)上有最大值，则实数4的取值范围为()A.-2,0)B.(-00,-2C.-4,O)D.(-00,-4答案D3.(多选)(2022山东济宁实验中学开学考，12)已知函数/G)二胃二,则下列结论正确的是()A.函数/金)存在两个不同的零点B.函数/(x)既存在极大值又存在极小值C.当-e0且1)的极小值点和极大值点.若x0恒成立，/(x)在R上无最小值,不符合题意令/G)=0,得x=na,令g(x)=0,得x=k易知/(x)min=(lna)=a-anatg(x)min=1g()=l+lna,.*.a-cd
20、ntz=l+lna,即Ina=-令力(X)=InX-岩(QO),2 x2+l(X+l)2 - x(x+i)2-0,在(O,+00)上单调递增，则最多有一个零点又Zz(I)=InI-I=O,方程有且仅有一解,为斫1,即为所求.(2)证明：由(1)知，f(x)=ex,g(x)-lnx,当x0时，f(x)单调递减，当Q()时，/单调递增；当04Vl时,g(x)单调递减，当Qd时,g(x)单调递增.不妨设直线)，=/?与y=f(x)的图象的两交点的横坐标分别为Xi,孙与y=g(x)的图象的两交点的横坐标分别为X2,孙且XlX2f(2)B.函数f(x)的最大值为1C.若方程/(力?二0恰有两个不等的实根
21、,则实数m的取值范围为(OjD.若/3)=/3)(X1WX2),则X+X20答案ABD2.(2022全国甲理,21,12分)已知函数f(x)=-lnx+x-.(1)若f(x)20,求。的取值范围；证明：若/(X)有两个零点Xi,必则XX2e+l.Vy,=ez+10,y=et+t-a为增函数,.*.x-lnxf-lnXi.由G-InX得ET=号,令六0,得E广的变化情况如下：X(0,1)1(1,+8)V-0+t1/证法一：不妨设OX1X2,则有X1%2,所以XIX21E等价于隼工In包，InQTnxl%X2Xj只需证全仇也.叵设?=也(m1),从而只要证勺=lnm(n1).XiVm设g(m)=-
22、lnm(n1),则g，(加=等等Z=空普，2mmm2nm.g(l)=0, 孙一#* *lnx2-l rl%2 成立.121.证法二:不妨设Ox1X2,FU)=fx)Q),0r1,则F(x)=f,(x)4/，(：)=妥(e*+x)+点r-(疝+：)=裳(/+、-1-Xe书1设(X)=ex+x-l-xefx(0,1),则，(X)=e+l-e*：e妥)=ex+1e=ex+1+e.00,3(x)在(0,1)上单调递增，(x)W(I)=0,又要0,F(x)在(0,1)上单调递增.FG)F=0,(x)Q).9f(x)=f(x)1,1,；12一,xxI.*.XX2l3. (2023届河北衡水部分学校月考,2
23、1)已知函数/(x)=ln(x+2)+y-2x,其中。为非零实数.(1)讨论/(x)的单调性；若f(x)有两个极值点XbX2,且元|2x.解析(1)函数/(x)的定义域为(-2,+),x)=+x-2=学2当-40,即。4时JG)0,函数在(-2,+00)上单调递增；当4*-40,即0-2,x2=4,则当x(-2,-4)U(4,+)时J(x)X),当x(-4,4)时J(x)0,故/G)在(-2,-4a)和(二花+8)上单调递增,在(-4,4)上单调递减；当a0时,x=-4aO,当x(-2,4-a)时J(x)4时J(X)在(-2,+oo)上单调递增；当0a4时J(X)在(-2,-4)和(T=S,+
24、oo)上单调递增,在(-4,T=H)上单调递减；当0时J(X)在(-2,4)上单调递减,在(4,+)上单调递增.(2)证明：因为f(x)有两个极值点xy2i由(1)知02xl=y(x2)-2rl0OOaln3+2)+-x2O(4-%2)11te+2)+y-x2O(2+x2)ln(x2+2)-0,令g(x)=(2+x)In(x+2)(0xZn2+10,所以g在(0,2)上单调递增,且g(O)=2ln20,故g(x)g(O)0,BP/(-Xi)+,()2x.4. (2021新高考/,22,12分)已知函数f(x)=Ml-Inx).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设,力为两个不相等的正数,且bna
25、-an力二。也证明：2v+0,解得Oavl,令f()令X1=*x2=,则即,也为/Cr)=A的两个实根，当Xfo+时J(X)O,当Xf+8时，/()f-8,且/=1,故左W(0,1),不妨令Xi(O,1),X2(1,e),则2-xI,e-x1l,先证明X+X22,即证X22-Xf即证/(x2)=U)O恒成立,.*h(x)为增函数，(x)(1)=0.*(x2)2-X,xi+X22.再证x+Me,即证%2(e-x).令夕(x)=,(x)(e-x),x(0,1),则,(x)=-lnx(e-x),fO时,(x)-+8,lW=-n(e-1)0,(x)单调递增，当XW(X0,1)时，930+,又(l)=(
26、l)(e-l)0,(x)0恒成立，.f(x2)f(e-x),.X2e-x,x+x2e.综上，2-+e成立.5. (2018课标/文,21,12分)已知函数/(x)=aer-lnx-l.(1)设m2是/G)的极值点,求a,并求/(x)的单调区间；证明:当心；时,f(x)20.解析(DfG)的定义域为(O,+oo),尸(X)二洲3由题设知，/(2)=0,所以“看.从而f(x)=ev-InX-1,(x)=7ex当OaV2时,广G)2时,广G)0.所以/(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+oo)上单调递增.证明：当时，f(x)-lnx-1.设g(x)=-lnx-l,则g(%)-p当(KXVI时,g
27、x)l时,g,(x)O.所以41是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)2g(1)=0.因此,当*时,/U)20.考向二不等式中的恒成立(能成立)问题1.(2022福建漳州一中测试,6)已知f(x)=2alnx+x2,若x,及(O,)且xX2,都有曲4,则a的取值范围是()A.(1,+)B.l,+)C.(0,1)D.(0,1答案B2.(2022湖南临澧一中月考,8)己知函数/(x)=2+2ox+5,gG)二个*若VXl-2,-1,3x2-1,1,使得f(x)gG2)成立,则实数a的最小值是()A.3B.-C.2D.34答案C3. (2022湖北重点中学联考，15)已知函数/3=如)/2+5赭(4)=尔-法-4,45是函数86)的极值点,若对任意的Xie,1,总存在唯一的X2(-8,3),使得/(x1)=g(x2)成立,则实数的取值范围是答案(-00,0)4. (2020新高考/,21,12分)已知函数/(x)=eX-lnx+Ma(1)当=e时,求曲线产/G)在点(l,f(l)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；若/CO21,求。的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+oo),*=-,A当=e时,/W=ejr-lnx+l,(l)=e-l,曲线
