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1、专题22：任意角和弧度制及三角函数的概念（4知识点+5题型）知识点一：任意角的概念(1任意角的概念题型一：任意角有关概念的理解题型二：终边相同的角题型三：角所在象限的确定一条射线正角O负成的角题型五：三角函数的定义及应用线没有做任何旋转形成的角象限角与终边相同的角题型四：扇形的弧长及面积公式角的强卷：用PJ以育成平面内条射线绕着它的端点旋转所成的图形.任意角和弧度制及三角函数的概三角函数的定义戏相同的角的角象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合， 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于任何一个象
2、限终边相同的 角所有与角以终边相同的角，连同角”在内，可构成一个集合S=/W=a+A360。，AZ, 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角。与整数个周角的和1 ）豕PR用rr心伸I，（2）象限角的集合表示（3）轴线角的集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角A360oa360o+90o, AZ第二象限角A360o+90oA360+ 180o, AZ第三象限角A360+180oA360o+270o, AZ第四象限角A60o+270oA360o360o, AZ角终边的位置角的集合表示在X轴的非负半轴上=A360o, AZ在X轴的非正半轴上aa=A360o180o, AZ在轴的非负半轴上aft=3
3、60o90o, AZ在轴的非正半轴上a=360o+270o, AZ在X轴上aa=180o, AZ在J，轴上aa=A180o+90o, AZ在坐标轴上aa=A90o, kZ知识点三：弧度制（1）弧度制的概念弧度制定义：以弧度为单位来度量角的单位制;1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|=-,/是以角。作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.（2）角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360o=2rad2rad=360180o=radrad=1801=rad0.01745rad1801rad=l
4、Jo57.30o度数X总=弧度数IoO弧度数X图。=度数（3）扇形的弧长及面积公式弧长公式在半径为，的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角大小为m则同=4变形可得/=IaIr,此公式称为弧长公式，其中Qr的单位是弧度.扇形面积公式由圆心角为Irad的扇形面积为色=52,而弧长为/的扇形的圆心角大小为rad,故其面积为S=x=r,将22rr22/=|即代入上式可得5=r=r2,此公式称为扇形面积公式.知识点四：三角函数的定义（1）任意角的三角函数定义，设夕是一个任意角，角。的终边与单位圆交于点P（x,），那么点P的纵坐标叫角”的正弦函数，记作Sina=点P的横坐标叫角的余弦函数，记作COSQ=H点P的
5、纵坐标与横坐标之比叫角的正切函数，记作tan=E.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐X标的比值为函数值的函数.（2）将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y=sinx,xR;余弦函数y=cosx,xR;正切函数y=tanx,xk（kZ）.（3）设以是一个任意角，角”的终边任意一点尸（X,y）t那么设r=/?+体,则Sina=COSa=；tan”=上.rrX题型一：任意角有关概念的理解解题思路：利用角的概念及象限角和终边相同角理解辨析例1.下列命题中错误的是（5A.三角形的内角必是第一、二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角不一定是负
6、角D.钝角比第三象限角小【答案】AD【分析】根据任意角、象限角的定义判断各项的正误.【详解】A：由三角形内角范围为（0,兀），内角为5不是第、二象限角，错；B：由任意角定义，始边相同而终边不同的角一定不相等，对；C：如?为正角且在第四象限角，故第四象限角不定是负角，对；4D：钝角范围为q,兀），而-牛是第三象限角，此时钝角大，错.故选：AD例2.下列各命题正确的是（）A.第一象限角都是锐角B.三角形的内角必是第一，二象限角C.不相等的角终边必不相同D.相等的角终边相同【答案】D【分析】取反例可判断ABC,根据角的相关概念可判断D【详解】390。为第一象限角，显然不是锐角，A错误：90。为轴线角
7、，不属于第一，二象限角，B错误；30。与390。的终边相同，C错误；两角相等终边相同，D正确.故选：D例3.下列说法错误的是（）A.终边与始边重合的角是零角B.终边与始边都相同的两个角一定相等C.小于90。的角是锐角D.若。=-120。，则是第三象限角【答案】ABC【分析】根据象限角的相关定义即可结合选项即可逐一求解.【详解】对于A.终边与始边重合的角的集合为=36（TA,%eZ,故A错误，对于B,终边与始边都相同的两个角不定相等，比如30,390的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误,对于C,锐角为（0。,90。）的角，所以小于90。的角不一定是锐角，故C错误，对于D,a=-120,则。
8、是第三象限角，故D正确，故选：ABC变式训练4 .下列选项不正确的是（）A.终边落在第一象限的角为锐角B.锐角是第一象限的角C.第二象限的角为钝角D.小于90。的角一定为锐角【答案】ACD【分析】根据象限角、锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A,终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400的角终边位于第一象限，但不是锐角，A错误：对于B,锐角是0。90。之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B正确；对于C,终边落在第二象限的角不定是钝角，如510的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C错误；对于D,小于90。的角不一定是锐角，如-30。的角小于90，但不是锐角，D错误.故选：A
9、CD.5 .下列说法中正确的是（）A.锐角是第一象限角B.终边相等的角必相等C.小于90。的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角【答案】A【分析】利用角的定义一一判定即可.【详解】锐角是指大于0。小于90的角，故其在第象限，即A正确：选项B.终边相等的角必相等，两角可以相差360整数倍，故错误；选项U小于90。的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D.根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第象限角可以为正角，此时第二象限角小于第象限角，故错误.故选：A题型二：终边相同的角解题思路：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=B|B=a+k-360。，kZ,即任一与
10、角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和例1.TOOO。的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】应用终边相同的角即可求解.【详解】ToOo。的终边与-IOo0。+360。*3=80。相同,则终边在第一象限.故选：A.例2.下列各角中，与1850。角终边相同的角是（）A.40oB.50oC.320oD.-400【答案】B【分析】根据1850o=50+5360即可得到答案.【详解】对选项A,1850。-40。=1810=5x36（T+l（r,故A错误.对选项B,因为18500-50=1800=5x360，故B正确.对选项C,1850o-320=153
11、0=4360c+90o,故C错误.对选项D,1850。一(一400)=2250=6x360+90,故D错误.故选：B例3.将885。化为h360。+(0o360,%wZ)的形式是.【答案】(-3)360+195【分析】根据条件直接计算即可.【详解】因为-885。=-1080o+195=(-3)X360+195,故答案为：(-3)360+195变式训练4 .下列各角中，与43角终边重合的是()A.137B.143C,317D.-343【答案】C【分析】根据角的终边相同的集合判断选择即可.【详解】与43角终边重合的角为：=43。+h360(AeZ),则当A=T时，a=-317S故C正确.经检验，其
12、他选项都不正确.故选：C.5 .与-457角终边相同的角的集合是.【答案】a0=263+%360,女2【分析】终边相同的角相差360。的整数倍.【详解】由于一457”=一1x360。-97=-2x360+263，故与一457。角终边相同的角的集合是a=263+%360,%Zj.故答案为：a=263+4360,6Z6 .已知集合4=66为锐角,8=68为小于90。的角,C=816为第一象限角,6=。|6为小于90。的正角,则下列等式中成立的是()A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D【答案】D【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果.【详解】因为力=。|6为锐角=司00690。,D=为小
13、于90的正角=。|0。90),对于集合3,小于90。的角包括零角与负角，对于集合C,C=6J为第一象限角=网360/。,故选：D题型三：角所在象限的确定解题思路：(1)已知。所在象限，确定”或4所在象限Il用不等式表示。的范围，再确定或且的范围，再判断角所在象限；n数形结合法，等分象限，确定角所在象限.(2)先变式。的范围，在根据不等式性质求相应角的范围。例1.已知是锐角，那么2是().A.第一象限角B.第二象限角C.小于180。的正角D.第一或第二象限角【答案】C【分析】由题知仁)，故2aw(0),进而得答案.【详解】因为是锐角,所以。中总,所以2(0),满足小于180。的正角.其中D选项不
14、包括90。，故错误.故选：C例2.已知。为第二象限角，则?所在的象限是()2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第一或第三象限【答案】D【分析】由象限角的定义可得出9(T+h36(18(r+k36(r(iz),求出多的取值范围，对上分奇数和偶数两种情况讨论，可得出?的终边所在的象限.2【详解】因为为第二象限角，则90+h36(r18(r+h36(r(keZ),所以，45+k18(g90+%1800Z),当上为奇数时，设*=2+l(Z),jlJ45o+(2w+l)180oy90c+(2w+l)180o()lZ),即225+n360270+n360(wZ),此时y为笫三象限角
15、；当加为偶数时，设上=2(eZ),则45。+36039(+360(AcZ),此时W为第象限角.综上所述，1为第一或第三象限角.2故选：D.例3.若是第二象限角，则()A.一。是第一象限角B.W是第一或第三象限角2C.与+是第二象限角D.2是第三象限角或2是第四象限角或2的终边在y轴负半轴上【答案】BD【分析】由已知可得三+2%a+2,AwZ,然后逐个分析判断即可【详解】因为。是第二象限角，所以可得三+2左兀+2左,%eZ.对于A,-2E-及兀火eZ,则一。是笫三象限角，所以A错误；对于B,可得f+%W+”XZ,当人为偶数时，是第一象限角；当无为奇数时，二是第三象限角.所以42222B正确；Xj
16、-TC,2+2k+a-+2k.k三Zf即2(4+l)V苧+书+2(攵+1)兀，左Z,所以三+是第象限角，所以C错误；对于D,兀+4E22兀+4板屋Z,所以2的终边位于第三象限或笫四象限或y轴负半轴上，所以D正确.故选：BD.变式训练4 .角g的终边在第三象限，则。的终边可能在()A.第一象限B.第二象限C.y轴非负半轴D.第三或四象限【答案】ABC【分析】由角g的终边在第三象限可得180。+h360270+k360,ZreZ,进而可求360+k7200540“+k720”,ZeZ则。的终边所在象限可定.【详解】:角的终边在第三象限，/.180+k360y270+h360”，Z,.360+720
17、540+k720,)Z.的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴.故选：ABC.5 .已知是锐角，则()A.180+是第三象限角B.2。是小于180的正角C.2。是笫一或第二象限角D.三是锐角2【答案】ABD【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解.【详解】由题知，因为是锐角，所以(T9(r,对于A：所以180180+27(T,故A选项正确；对于BC：O2a180，故B选项正确，C选项错误；对于D：0c-45o,故D选项正确；2故选：ABD.6.设是第二象限角，则蓝的终边在（）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限【答案】D【分析】III
18、2+2+Z,得到也+色区也+色,门Z,对左赋值判断.236333【详解】解：因为。是第二象限角，所以2E+a2k,+兀,左Z,22k,兀/2A,.t+,k1Z,36333当=0时，7T在第一象限；633当女=1时，y|,在第二象限；当=2时，=三C=2OC=4,则扇面（曲边四边形48。C）的面积是.【答案】专/予乃【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得.【详解】120o=y,由题意可得，扇形水用的面积是!x=x62=12九，扇形CoZ）的面积是!x=22=2九.则扇面（曲边四边形力）C）23233的面积是12-g=孚.33故答案为：苧.题型五：三角函数的定义及应用解题思路:F-已知角鹰近F点
19、P的坐标，则可先求出看R到原点的距离Z然后利用三角函数的定义求解二（2）已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.(3)三角函数定义应用问题已知角的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理,取射线上任意一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sin=,余弦值COSa=I:,正切值tana=ga2b2b例L已知,：角。的终边过点P(1,2),
20、q:Sina=,则夕是4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由Sina二翅5,则。终边可能落在第一或三象限，则由两个方向的是否推出关系可得.5【详解】若角。的终边经过点P。,2),则Sina=-JW=半，故充分性成立，l2+225若Sina=2叵，设。的终边上一点为P(x,y),5y252则147=可二不妨设y=2z0,则y=后，2+y2=5”,x=tx=-t解得，或，y=2ty=2tx=-t显然当C时，。的终边不过点尸(1,2),故必要性不成立.Iy=2/综上，。是夕的充分不必要条件.故选：A.例2.已知角。的顶点与原点重合，始边与
21、X轴的正半轴重合，点尸(1,-3)在角。的终边上，则Sina=()or10r310n31010101010【答案】D【分析】根据三角函数正弦定义相关知识可求.【详解】因为角。的顶点与原点重合，始边与X轴的正半轴重:合，点尸(1,-3)在角的终边上，故选：D例3.已知角。终边上有一点P(Sin3-,857)，则+是()B.第二象限角D.第四象限角A.第一象限角C.第三象限角【答案】B【分析】首先由点P的坐标确定角终边的位置，再确定冗+a所在象限.【详解】sin=即尸鸟,二，323222)点P在第四象限，即角的终边在第四象限，+的终边为角终边的反向延长戊，那么+的终边在第二象限.故选：B变式训练4
22、.设是第二象限角，尸(x,l)为其终边上一点，且COSa=则tana=()A.-22B.一也C.-克D.一也248【答案】C【分析】按三角函数的定义计算即可XX【详解】依题意有cos。=r=KxD=y,AZAOB=y,.所求弧长为4=与.故选：D.8 .己知集合N=Ial2+(2而+,AeZ),=ak+ak+,kt贝IJ()A.ABB.BAC.A=BD.ArB=0【答案】A【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.【详解】当=2,eZ时，B=27+aCB.BUC=CC.BIA=BD.A=B=C【答案】BC【分析】根据各集合所表示的角的范围分析即可.【详解】对于A选项，力PIC除了锐角，还包括其
23、它角，比如-33（T,所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于90。的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，从民。中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC.11.若是第二象限角，则（）A.-。是第一象限角B.W是第一或第三象限角23JrC.三十是第二象限角D.2是第三象限角或2是第四象限角或2a的终边在歹轴负半轴上【答案】BD【分析】由已知可得+2k+2左兀,4wZ,然后逐个分析判断即可【详解】因为是第二象限角，所以可得:+2Aa+2A冗,AeZ.对于A,-2A-aA及以Z,则一。是笫三象限角，所以A错误；对于B,可得f+4q+%,左Z,当上为偶数时，W是
24、第一象限角；当k为奇数时，W是笫三象限角.所以42222B正确；对于C,2+2y+ay2,Z,即2（%+l）多+2（2+1）兀，Z,所以与+是第一象限角，所以C错误；对于D,+422+4ZrZ,所以2a的终边位于第三象限或笫四象限或y轴负半轴上，所以D正确.故选：BD.12,下列说法正确的是（）A.角。终边在第二象限或笫四象限的充要条件是tanOOB.若某扇形的弧长为圆心角为:，则该扇形的半径是2C.经过4小时时针转了120。D.若角。与终边关于V轴对称，则+4=1+2E,kZ【答案】AB【分析】根据任意角的三角函数值在各象限的符号来判断A选项；根据弧度数公式Ial=B判断B选项；根据角的定义
25、判断C选项；根据终边关于轴对称的角的关系判断D选项.【详解】对于A：若角。终边在第二象限或第四象限，则tane0,是真命题，充分性成立；若tan6sin=【答案】BD【分析】根据三角函数的定义、象限角、函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若角。的终边过点P(3,n),则sina=，/二，所以相0，所以A选项错误.9+m2139+w213B选项，若。是第三象限角，BP2k+a2k+-,keZ,2则E+50且wl,函数y=f+2ar+2-l的开口向上，对称轴为X=-。1,且(-2f+2x(-2)+2-l=4-4+2-l=3-20,解得l4C4=sin,所以D选项正确.故选：BD三、填空题14.已知函数/(x)=SirnLr,(X0)一,(X0)X则力图的值是.【答案】-2【分析】分段函数中，由自变量的取值，选择对应解析式求函数值.【详解】因为/(X)=sinx,(x 0)一,(X 0) X有/(T) = Sing = T,所以/ /(I) =/(一1)故答案为：-2.
