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1、专题26.1反比例函数【八大题型】题型归纳【人教版】1感型兰：比较反比例诙数值或自变量大小5题型四：判断反比例函数象限问题8题型五：一次、二次函数与反比例函数图像问题10题型六：一次函数与反比例函数交点13题型七：根据对称性求坐标18题型八：反比例解析式的求解错误！未定义书签。知识精讲例函数的概念】(1)一般地，形如尸_A_(左为常数，40)的函数，叫做反比例函数.其中X是X自变量，y是函数.自变量X的取值范围是不等于O的一切实数.反比例函数解析式还有其他两种形式：尸在Jd(为常数，0)；xy=k(才为常数，r0).k(2)反比例函数尸一中的成反比例，无论变量y怎样变化，A的值始终等于XX与y
2、的乘积，因此人们习惯上称“为比例系数，若Z),则产0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义.题型一：反比例函数的概念1.(2223上全国单元测试)下列函数中，歹是X的反比例函数的有(填序号)Y5-41(1)y=；(2)y=；(3)y-；(4)xy=；(5)y=x-3(6)y=xi；7%3x6(7)上=4；(8)y=；(9)y=-(。为常数，a5).XxlX【答案】(2)(3)(6)(9)【分析】根据反比例函数的定义求解即可.【详解】由题意可得(2)(3)(6)(9)是反比例函数.故答案为：(2)(3)(6)(9).【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看
3、两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=七(A为常数，Xk0)y=kxi(左为常数，女工0).也考查了次函数的定义.2. (2324上东营阶段练习)下列函数：y=x-2,尸白，y=，尸,x+1Xy=I1,y=-f尸2,上=1其中F是X的反比例函数的有()XXXA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据反比例的三种形式判断即可.【详解】解：反比例的三种形式分别为：y=-(kO),xy=k(kQ)ty=kx-l(kO).X中X的次数是1,是一次函数，不是反比例函数；，是反比例函数；中分母是X+1,故不是反比例函数；是反比例函数；中没有女工0,故不是反比例
4、函数；分母是故不是反比例函数；中X的次数是1,是一次函数，不是反比例函数.故有三个是反比例函数.故选C.【点睹】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.3. (2223下江苏期末)当加=时，函数尸(+2m)-J是反比例函数.【答案】1【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案.【详解】解：=(1+2m)J是反比例函数,故答案为：1.【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键.4. (1819上大连期末)点A(1,6)、B(2,n)都在反比例函数y=&的图象上，则nX的值为.【答案】3【分析
5、】反比例函数图象上的点(X，y)的横、纵坐标的积是定值k,即xy=k,据此可得n的值.【详解】解：点A(1,6),B(2,n)都在反比例函数y=&的图象上，X,l6=2n=k,n=3,故答案为3.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点(x,y)的横、纵坐标的积是定值k.【知识点二：反比例函数的图象和性质】反比例函数y=-(k0)X的符号JcQ图象书Vr性质(1)自变量X的取值范围为杼0；(2)图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随X的增大而减少(D自变量X的取值范围为x0;(2)图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，
6、y随N的增大而增大题型二：反比例函数图像分布象限求参数5. (2223下盐城期中)如图是反比例函数y=(%w)的图像，则上的取值范围X是.【答案】-6k0【分析】由图象可知女0,再根据4(-2,3)在函数图象的上方，可得-g3,即可求得”的取值范围.【详解】解：由图象可知，k0,力(-2,3)在函数图象的上方，当X=-2时，y=-g3,即：-60,故答案为：-6A-2【分析】根据反比例函数的性质得m+20,然后解不等式即可.【详解】解：Y反比例函数V=S的图象在第、三象限，X.m+20,解得m-2,故答案为：m-2.【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=4（w）的图象是双曲线：当0
7、,X双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随X的增大而减小；当女0,解得：tn,2.*.m=2.故答案为：2【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得机的值是解题的关键.8. （1920武汉中考真题）若点4（1,m）,8（0+1,%）在反比例函数y=g（4）的图象上，且必必，则。的取值范围是（）A.a-B.-1a1D.-1或41【答案】B【分析】由反比例函数y=K（%O）,可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随X的增大而增大，由此分三种情况若点A、点B在同在第二或第四象限；若点A在第二象限且点B在第四象限；若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可.【详解】解：反比例
8、函数y=(%必，ala+1,此不等式无解；若点A在第二象限且点B在第四象限，Vyly2tt-l(解得：一1。Y2,可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能.综上，。的取值范围是-ll.故选：B.【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏.题型三：比较反比例函数值或自变量大小9. (2122下南阳阶段练习)若点/(-2,%)，8，；,乃)，C(l,%)都在反比例函数N=一(%为常数)的图像上，则乂，必，%的大小关系为.(用连接)【答案】y2yi0，反比例函数y=的图像在、三象限，在每个象限，V随X增大而减小，XV-2-0
9、l,2；2%必故答案为：y2yyy.【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键.10. （2324上石景山期中）已知反比例函数V=A图象经过4（1,1）X求反比例函数解析式；若点（2,乂），（4,必）是反比例函数图象上两点，试比较必，打大小.【答案】反比例函数的解析式为y=!X（2）y2yi【分析】（1）将X（Ll）代入反比例函数解析式求出上的值即可得到答案；（2）把点（2,乂），（4,8）代入反比例函数解析式，求出M，8的值，比较大小即可得到答案.【详解】（1）解：反比例函数y=图象经过4（1,1）,X1=p.k=If反比例函数的解析式为：y=-
10、：（2）解：点（2,m）,（4,%）是反比例函数图象上两点，当X=2时，必=g，当x=4时，乃=：Q-42二y2%.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，熟练学握反比例函数的性质是解此题的关键.2U.（2122上肇庆期末）若点4（演,必），B（5），。，必），都在反比例函数y=-三的X图象上，并且X0/x3，则下列各式中正确的是（）a.yy2yib.y2yiyc.yly3y2d.y3y2yi【答案】B【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据王0（/与即可得出结论.【详解】解：反比例函数N=-W中左=一20,函数图象的两个分支分别位于二
11、、四象限，且在每一象限内，N随X的增大而增大.*xlOx2O,Oy2y3,%乂故选：B.【点睛】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键.12. （2223下泉州期末）在反比例函数尸-:的图象上有三个点（-3,必）,（Ty2）；JJ，则函数值必,必,外的大小关系为（）a.yiy2b.yly3y2c.y2y3yd.y3yiy2【答案】D【分析】先根据反比例函数判断函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可.3【详解】解：反比例函数的解析式为尸-二其中-30,X 反比例函数的图象位于二、四象限， （-3,必）,（-1,在反比例函数上， （一3jJ,（T,n）在第
12、二象限，XV-3KO，又乃）在第四象限，；必O，：.必必y2，故选：D.【,点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当左0）的图象上，则下列判断正确的是（）A.ahcB.bacC.achD.cb0,且-2023.6f0,c0,在笫一象限歹随着X的增大而减小，：.cb、ac0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随X的增大而减小；当攵0,Z0时，一次函数N=h+b经过第一、二、三象限，当左0,6经过第一、三、四象限，当0时，一次函数N=h+b经过第一、二、四象限，当0,b0时，一次函数y=H+b经过第二、三、四象限.1O15. （2223上石家庄,期末）已知点力（-6,%），B
13、（2iy2）fC（4,乃）在反比例函数y=-工的图像上.（1）该反比例函数的图像位于第象限；（2）凹，J2,必的大小关系是.【答案】二、四乃%【分析】答题空1根据反比例函数性质宜接得到答案：根据反比例函数增减性及所在象限性质直接可得答题空2答案.【详解】解：=-120,12 反比例函数,=-上的图像位于二、四象限，XVA=-120, 二在0,0Wy0,17.Z（-6,%），川-2,%），。（4,乃）在反比例函数y=-亍的图像上. 必必必，故答案为：二、四，必乂0,X 图象位于第一、三象限，故A选项错误；B、V30, 在每一个象限内，y随X的增大而减小；故B选项错误：C、6=3,2 点（；,6）
14、在它的图象上，故选项C正确：D、反比例函数的图象不经过原点，故选项D错误；故选C.【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键.17. （2122上随州期末）已知反比例函数y=，下列结论不正确的是（）X,A.该函数图象经过点（7,1）B.该函数图象位于第二、四象限C.歹的值随着X值的增大而增大D.该函数图象关于原点成中心对称【答案】C【分析】根据反比例函数的图象的性质逐项判断即可.【详解】将尸-1,N=I代入关系式，得1=1,所以该函数图像经过点（Tl）,则A正确；T因为I=TV。所以反比例函数y=二的图象位于第二,四象限，则B正确;X因为反比例函数N的
15、图象在每个象限内函数值y随着X的增大而增大，则C不正确；X因为反比例函数N=二的图象关于原点称中心对称，所以D正确.X故选：C.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，理解并记忆反比例函数图象的性质是解题的关键.即反比例函数y=（AO）的图象是双曲线，且关于原点成中心对称，当0时，X函数图像位于一，三象限，在每个象限内函数值歹随着X的增大而减小；当时，函数图像位于二，四象限，在每个象限内函数值y随着X的增大而增大.题型五：一次、二次函数与反比例函数图像问题18. （2223上六安期中）二次函数y=+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=x+b和反比例函数=在同一直角坐标系中的图象可能是（）
16、【答案】B【分析】根据二次函数图象推出0,b0,c0,0,c0,2a/.b0时和当A0时，反比例函数y=&的图像经过一、三象限，二次函数了=，-履-%X的图像开口向上，其对称轴=g在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，故选项c、D不符合题意；当左O时和,k0时和当上VO时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可.【详解】解：当20时，二次函数y=-A+*的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比k例函数y=图象在第一、三象限，故A、B、C、D选项不符合题意；Xk当0由不等式的性质，得b0.”0,则歹=N图象位于二、四象限，Xh0,则V=云图象位于一、三象限，故选：C.
17、【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出。、匕的值是解题关键.题型六：一次函数与反比例函数交点422. （2324上泰安期中）如图，点尸是双曲线C:y=（x0）上的一点，过点尸作X轴的垂线交直线IB：y=；x-2于点0,连接OP,OQ.当点P在曲线。上运动，且点尸在。的上方时，ZPOQ面积的最大值是.【答案】3【分析】先将双曲线与直线的解析式联立,求出点P在。的上方时X的取值范围，设尸卜贝U0（x，；x-2）,用含X的式子表示出APOO面积，即可求出最值.4【详解】解：联立y=一(X0)1Cy=-x-22整理得丁-4工-8=0(x0),解得x=2+2L当0x2+25
18、时，点尸在0的上方.设尸卜则工一2),pc42)=Hx+2,SdPoQ=g(：gx+2).x=-；(x-2)+3,一；0,022+23当=2时，Sa0取最大值，最大值为3.故答案为:3.【点睛】本题考查求反比例函数与直线的交点，利用二次函数求最值等知识点，解题的关键是用含X的式子表示出APOQ面积.(2223上贺州期末)如图，反比例函数必=2和正比例函数K=口的图象交于X1.4(-1,-3),8(1,3)两点，若以鼠X,则X的取值范围是()XA.-1xOB.-1x1C.x-lcx1D.Ox1【答案】B【分析】利用函数图象法进行求解即可.【详解】解：由函数图象可知，当-lxl时，正比例函数图象在
19、反比例函数图象的上方，即此时k2x,XL.若之A,x,则X的取值范围是lxl,X故选：B.【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的上方时自变量的取值范围是解题的关键.23. (2324上六安期中)若正比例函数=4h与反比例函数y=*AwO)的图象交于点），则左的值是.【答窠】I【分析】将点力（见1）代入正比例函数表示出左的值，再代入反比例函数表示出左的值，根据两个人的值相等列式，最后计算分式方程的值即可求解.【详解】解：.点/）在反比例函数y=%AwO）的图象上，.TM0正比例函数=4h与反比例函数y=勺4工0）的图象交于点/（见1）,1k：,
20、4km=1,则&=,=1,则=加，4mm=?，整理得，=!，4m4,1.w=,2检验：当加=;时，-二M的分母不为零，有意义，24m故答案为：5.【点睛】本题主要考查正比例函数与反比例函数的综合，解分式方程的方法，掌握以上知识及计算方法是解题的关键.25.（2223下长春期中）如图，一次函数六质+W%H）与反比例函数片式加工。）的图象相交于4、8两点，过点8作BC_LX轴，垂足为C,连接/C,已知点力的坐标是（2,3）,BC=2.求反比例函数与一次函数的关系式.根据图象，直接写出不符式履+A%的解集.X点?为反比例函数N=在第一象限图象上的一点，若Sn%=2S襁,直接写出点P的X坐标.【答案】
21、歹=9，尸1X（2）-3x2【分析】（1）根据反比例函数歹=丝过点4（2,3）得反比例函数的关系式为y=9,根据bc=2XX得5的纵坐标为-2,当产-2时，2=%计算得8（-3,-2）,根据4（2,3）,玳3,-2）两点（2女+6=3,在y=h+）上得1人;进行计算即可得；-5k+/=-2,（2）根据函数图象即可得：（3）设P（0,3,根据8C=2得S“肝=5,根据S“=C得SmC=IO,即可得aSmC=；OCdm=I0,进行计算得|月二?，根据点P为反比例函数尸g在第一象限图象上的一点得2=孚，进行计算即可得.a3【详解】(1)解：,反比例函数y=%过点4(2,3),X：?=2X3=6, 反
22、比例函数的关系式为y=9,X.BC=2, 8的纵坐标为-2,当y=-2时，-2=工，X解得x=-3, 5(-3,-2), 4(2,3),8(-3,-2)两点在y=h+上，k=解得：L1Ib=L；一次函数的关系式为y=+.(2)解：根据函数图象得，-3x2(3)解：设尸伍,多,a BC=2,:S2BC=x2x5=5, S4p0c=2S公ABC25=IO, SPa2Sj8cSp“C=io,r3xlll=精，点?为反比例函数y=9在第一象限图象上的一点X,620,厂79a=一,10p（）【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质，一次函数的性质.26.（2324上西安期
23、中）如图，在平面直角坐标系Xoy中，直线/8：M=X-3与反比例函数为=幺的图象交于A，8两点，与X轴相交丁点C,已知点8的坐标为（利,-5）.X求反比例函数的解析式；（2）点尸为反比例函数歹,=上图象上任意一点，若Smc=2S：oc,求点。的坐标；X直接写出不等式必的解集.【答案3X点P的坐标为O）或卜IT（3）v-2或Ocx5【分析】（1）先求出8点坐标，再用带入解析法求出反比例函数的解析式；（2）根据题中两个三角形的面积关系，可得出点尸的纵坐标的绝对值，据此可解决问题；（3）利用数形结合的思想即可解决问题.【详解】（1）解：点5的坐标在直线48上，.m-3=-5,:.w=-2,将点B代入
24、反比例函数解析式得：-5=巨，Ail=IO,反比例函数的解析式为：），=二；X（2）将反比例函数和一次函数解析式联立方程组得：=510，解得：或，_,y=-y=-5y=2X4（5,2）,.q_ePc-Q“oc，.gOCXlJU=2x；XoCXl.|谒=4,点P的纵坐标为4或-4,将y=4代入y=W,得：x=,将V=_4代入y=W,得：x=_：,X2,点P的坐标为（gf或卜,-4,：（3）由图像可知：当V-2或0x5时，一次函数的图像在反比例函数图像下方，即Mvy2,即不等式M%的解集为x2或0xy20的解集为.若点”(孙)在反比例函数图像”上，且它到歹轴距离小于2,请根据图像直接写出的取值范围
25、.【答案】人二8,(-2,-4)(2)x24或-4【分析】(1)先求出点尸的坐标，用待定系数法，即可求出女的值，最后根据关于原点对称点的坐标特征即可写出另一交点坐标；(2)根据图象即可写出解集；(3)把把代入外=得机=&，根据点川到少轴距离小于2,得出斗2时，yHO,故答案为：X2;QQ（3）解：把刊（孙）代入月=2得：=一,XmQ整理得：W=-,n；点”（利）到y轴距离小于2,H2,即讲2,-2,nn解得：4或-4.【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数图象交点及大小比较，解题的关键是要掌握二者的对称性，数形结合比较大小的方法，以及用待定系数法求解反比例函数表达式的方法.30. （22-23
26、上铜仁期中）己知反比例函数必=&与一次函数%=%,X的图象如图所示.X求点B的坐标；请直接写出m必时，X的取值范围.【答案】（T-2）（2）x-lsg0x乂时，X的取值范围X-1或OX1【点睛】本题考查了反比例函数与次函数的交点问题：反比例函数与次函数的交点坐标满足两函数的解析式，数形结合是解题的关键.知识点四：用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：(1)设一一根据题意，设反比例函数的解析式为y=W0)；X(2)代一一把它的一对对应值(&y)代入)，二与中，得到关于女的方程；X(3)解一一解方程，求出常数A；(4)写一一把A的值代入反比例函数的解析式中即可写
27、出解析式.题型八：反比例解析式的求解31. (2324上石景山期中)如图，直线y=H+6与反比例函数y=(x入求出、方的值即可；-Ik+h=4(2)在y=+6中，当y=0时，x+6=0,求出点C的坐标，得出OC=6,最后根据三角形面积公式进行计算即可得到答案.【详解】(1)解：将力(-2,4)代入反比例函数解析式得：4吟,解得：k=-8,Q.反比例函数的解析式为：y=X点8在反比例函数图象上，且点8的横坐标为-4,Q当X=-4时，y=-=2,.8(-4,2),一软+6=2-2k+b=4k=解得：A(，6=6次函数的解析式为：=%+6；(2)解：在y=x+6中，当y=0时，x+6=0,解得：x=
28、-6,.C(-6,0),/.OC=6,：S.Ac=B*M=T64T2.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解此题的关键.32. (2122上雅安期末)如果反比例函数V=A的图象经过点(1,4),那么它一定经过点X(T,),贝Ij=.【答案】-4【分析】由于反比例函数y=的图象经过点(1,2),一次即可确定上的值，然后把X=-I代X入函数解析式中即可求出所经过的另个点的坐标.【详解】解：反比例函数y=的图象经过点(L4),X4=1:.k=4,4y=一，X当X=-1时，y=-4,它一定经过点(-1,-4)./.w=4,故答
29、案为：-4.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握经过函数的某点一定在函数的图象上特征是解题关键.33. （2324上西安期中）如图，一次函数V=H+b的图象与反比例函数y=的图象交于X力（-2,1）,8（1,）两点.试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；求小。8的面积；（3）直接写出去+6-0时X的取值范围.X2【答案】反比例函数解析式为），=-,一次函数解析式为N=-X-IX15一2X1【分析】（1）先把点力坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点8的坐标，再把48坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；（2）设直线48交X轴于点G则C（-1,0）,
30、根据%w=S%+S呐进行求解即可：（3）找到次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可.【详解】（1）解：把4（一2,1）代入中得：1=与， m=-2,2 反比例函数解析式为y=-,X把5（1,）代入y=-4中得：=-2,X6（1,-2）,z./、（2左/=1把N（-2,l）,5（1,-2）代入i+b中得,I+Z?Z=-l%=-l, 次函数解析式为尸7-1；（2）解：设直线48交X轴于点C,则C（-L0）,OC=1,*SaAOB=Sjoc+boc=ll+-12=1.5（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为-2xl,工当Ax+方一竺0,即A
31、x+6”时，自变量的取值范围为-2x1.XX【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键.34. （2223上,红河期末）如图，在平面直角坐标系中，直线V=工+3与双曲线y=（工0）X交于48两点，己知点6的横坐标为-5.求上的值；求“Z48的面积；直接写出关于X的不等式x+3上的解集.X【答案】（I）A=IOSmb=弓（3）-5x2【分析】（1）根据点8的横坐标代入一次函数V=x+3确定8点坐标值，再代入反比例函数即可求得；（2）利用等面积法将aO45的面积换为S皿,.+S-再结合点到轴的距离求得面积.（3）利用数形结合，将不等式转化为图像交点问题，但注意反比例函数的X取值范围；【详解】（I）解：TB在次函数V=工+3上，y=-5+3=
