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1、专题4.1数列的函数特征【考点1：数列的周期性】1【考点2：数列的单调性】4【考点3：数列的最大(小)项】7【考点4：数列中的恒成立问题】12【考点1：数列的周期性】【知识点：数列的周期性】周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和.1 .(2022黄冈质检)己知数列为J满足+2=XImJ(EN),若即=L%2=(
2、l,0),且xzl+3=%对于任意的正整数n均成立，则数列4的前2017项和S2oi7=()B. 673D. 1 345A.672C.1342解：Vx=1,jQ=(Wl,o0),/.X3=Ix2-xI=-1=1at.*.xX2X3=1(1叉Xn+3=x”对于任意的正整数均成立，数列4的周期为3,所以数列4的前2017项和S2O17=S672X3+1=672X2+1=1345.故选D.2 .(2022广东四校联考j数列满足m=2,I=T一(三N),则20i8=()B. -1A.-2C.2解：数列为满足 =2, rt+=-(N+),。2=占1 ClnIZh S=L(Ll)11C5，。4=r=2,.
3、1-2可知此数列有周期性，周期T=3,即。+3=斯，则。2018=。672a4=1=22a23Rn+3=1-=1=10n+=J=an,n+2an+11an+11I-嬴T故数列an为周期数列，且周期为3,所以，Q202I=a3673+2=。2=星故答案为：8. (2020山东青岛二中高三期中)已知数列an满足的=l,a2=2zan+1=an+an+2(nN)则a2019+a2020=【答案】0【分析】根据题意多写出几项,发现规律,找到周期,求出七019和Q2020即可.【详解】解:由题知,Sa】=l,a2=2zan+1=an+an+2(nN)EIa3=1，同理可得=-1,。5=一2,。6=1,。
4、7=1，。8=2,历数列j为以6为周期的周期数列，。2019+。2020=%+04=故答案为：09. (2022陕西西北工业大学附属中学高三阶段练习(理)若P(n)表示整数n的个位数字，Qn=P(M)-PQm,数列%的前几项和为Sn，则$2023=.【答案】1012【分析】根据题意可推得n为周期数列,求得其周期为10,计算出，0,求得+0时喷11=数列%是单调递增数列；骑Lio数列“是单调递减数列；骑1=1O数列斯是常数列,lo数列%是单调递减数列；噬IVlO数列“是单调递增数列；骑i=lQ数列呢是常数列1. (2022陕西礼泉县第二中学高二阶段练习)若数列41是递增数列，则4l的通项公式可能
5、是()A.Qn=，Ban=n28nC.an=2nD.an=(-n)n【答案】A【分析】根据数列通项公式的函数性质即可判断.【详解】对于A,斯=-；(nN),易知j是递增数列；A正确；对于B,an=n2-8n=(n4)2-16(nN*),当ln4时，数列o7l递减，当九4时，数列21递减，B错误；对于&an/,故数列%是递减数列，C错误；对于D,n=(-n)n,数列n是摆动数列，不具单调性，D错误.故选：A2. (2022山西忻州高三阶段练习)已知0r为递增数列，前项和配=2n+2712+九则实数；1的取值范围是()A.(,2B.(,2)C.(,4D.(,4)【答案】D【分析】由题意先算为,再利
6、用Sn=2+2M+九求出2时的通项公式，再利用数列的单调性，即可解决问题【详解】当n=1时，1=S1=4+当n2时，an=Sn-5n.1=2n+2n2+-2n-1+2(n-I)2+=2n1+4n-2,由4l为递增数列，只需满足取。1，即84+九解得;IV4,则实数;I的取值范围是（-8,4）,故选：D.3 .已知数列小的通项公式为6），则数列痣中的最大项为（）AacIiD.125243【解析】法一(作差比较法)：,+-=(n+l),+停)=i(f)，当n0,即an+an当=2时，+1an=0f即Un+1=Clnt当n2时，an+-anOf即an+an.所以3a4a5allf所以数列他”中的最大
7、项为。2或。3,且6=43=2XGU故选A.法二(作商比较法)：令誓1,解得2;令誓=1,解得=2：令i*vl,解得2.Cln又40,故。1。2=。3,。3网。54”，所以数列对中的最大项为。2或。3,且42=S=2X仔=/故选A.4 .已知数列”的通项公式为fl=2n2+加+1,若小是单调递增数列，则实数，的取值范围是（）A.（-6,+）B.（-,-6）C.（一8,-3）D.（一3,+）【解析】法一：因为斯是单调递增数列，所以对于任意的N,都有4+1小，即2(+l)2(n+l)+l2+z+1,化简得/-4-2,所以-4w-2对于任意的N都成立，因为一4一2一6,所以。-6.故选A.1IO法二
8、：设yO?)=22+/+i,其图象的对称轴为=一；,要使”是递增数列，则一；0,且Wl),若数列斯满足(七N),且斯是递增数.ax，x2列，则实数的取值范围是()A.(0,1)B.3)C.(2,3)D.(1,3)3-a0tI解析】选C因为分是递增数列，所以1,解得2a3,所以实数4的取值范围是(2,3).(3-)X2+2an=?对VnN*恒成立，化简整理得，。71(71+1)对必1旷恒成立，因为当=1时，n(n+l)有最小值，即n(+l)min=1x2=2,所以Q0,故皿=5+i)步严=竺X1,ann()n13n令皿=3Wl,解得n?令皿XWV1,解得心Man13n3an13n3故？3时，an
9、+lan;n4时，an+10,故On取最大值时，一定有n19,设Qn为数列2l的最大项，(naf(20-n)(一)n(19-n)(邛”贝喷温即311；解得17兀18,tnn1(20-n)()(21-n)()ol8则n=17或18,此时a”-%8=五7，故答案为:17或18.3.(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中数学试题)己知数列Qr的通项公式On=IOn-2n,前项和是货,对于VnNZ都有SnSzt,则A=.【答案】5【分析】结合y=10x,y=2的函数图象和特殊值的思路，得到数列0z正负情况，即可得到当九=5时,Sn取得最大值，即k=5.【详解】如图，为y=10%和y=2”
10、的图象，设两个交点为A,B,因为%=10-2=80,所以0VxAV1,因为。5=50-32=180,6=60-64=-40,所以5xb2n,即0n0,当九W6,+8)时，IOn2n,BPan0,解不等式求出所对应的n的取值范围，即可得到数列苞%的取值情况，从而得到其前3项和取得最小值，代入计算可得.【详解】解：因为r=Qn+2n-7(n2,nN*),所以时-1=2n-7,即。2Qi=-3,a3a2=1a4-a3=，anan1=2n-7,又Ql=-5,所以r=(2-al)+(。3一。2)+(。4一。3)+,+(an一Qn-I)+aI=-3+(-1)+l+(2n-7)-5-3+(2n-7)(n-l
11、)-2r=ii/i-5=n4-6n,2所以40n+35=4(n2-6n)+35=4n2-24n+35=4(n-3)2-l,令44l+350,即4(一3)2-10,解得nO,n=3时4%+35=-14时4qzi+350,所以lnW2时1三0,当n=3时不三=一1,当114时不三0,4n+354an+354n+35所以数列旨由的前3项和取得最小值，最小值为2+；-1=-.故答案为：一段5. (2022北京首都师范大学附属密云中学高三阶段练习)数列即中，如果存在以，使得“例见.1且耿以+1”成立(其中*2,kN*),则称以为a的一个峰值.若“=-2几2+11几，则即的峰值为；若On=-Zn?+),且
12、ar不存在峰值，则实数的取值范围是.【答案】15(-8,6【分析】令(n)=22+r,利用数列的函数特性，可判断函数的单调性及最值问题；若册=2/+切，11.%不存在峰值，即满足为Q2且Qkac+,其中2,kEN”,从而结合函数单调性求出实数t的取值范围.【详解】解：令(7i)=2+in开口向下，且对称轴为n=?,但由于mN*,几=2时，顼=14,n=3时，畋=15，所以对于任意的nENt都有每15,所以an的峰值为15；因为%=-2n2+tn,且a7l不存在峰值，令g(n)=2112+tn,因为g(n)开口向下，所以数列ar是满足ac且以/+1，其中k2,kN*,所以，即t6,所以实数t的取
13、值范围是(-8,6.故答案为：15；(-8,6.6. (2022全国高三专题练习)已知定义在R上的函数/0)满足+1)=2f(x)+1,当x0,1)时,f(x)=N.设/(%)在区间MG+1)(nND上的最小值为期.若存在11N,使得乂41+1)2兀一7有解，则实数A的取值范围是.【答案】(-8身【分析】先利用换元法分别求出当1,2),x2,3),，W珥几+1)时的f(x)的解析式，进而求出即=2-1,由存在nN，使得入(%l)2n-7有解得到/1竽有解，进而转化为;I笔,再通过竽zLZJmaXz的单调性进行即可求解.【详解】当0,1)时，fM=x3,因为定义在R上的函数/G)满足FG+D=2
14、fM+1，所以/(%+1)=2/(%)+1=2x3+1,令口=X+1,则=t1-1,当01,2)时,有f(3=2(t1-I)3+1,即当1,2)时，/(x)=2(x-1)3+1,又f(x+1)=2/(%)+1=4(%-I)3+3,令12=%+1，则%=12-1，0W2,3),有/(O)=4(O-2)3+3,所以当2,3)时，f(x)=4(x-2)3+3,同理可得，3,4)时，/(x)=8(x-3)3+7,根据规律，得当XW几几+1),f(x)=2n(x-n)n+2n-l,且此时的/(x)在九,九+1)单调递增，又因为每为/G)在区间几几+1)上的最小值，所以为=1,2=3,3=7,，an=2n
15、-It若存在nNZ使得；1(%1)2m-9即层互,即Tm*即b最大；2m2m+i所以当”=5时，Mma=所以a5故答案为：(-8,分【点睛】易错点晴：本题的易错点在由；IM恒成立，三(x)minM；若f(%)M有解,则/(X)maxM.【考点4：数列中的恒成立问题】【知识点：数列中的恒成立问题】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解.1. (2022河南一模(理)已知数列即的通项公式为时=黑Cosnm若对于任意正整数m都有句+。2+。3+Q2n+m?-2m-4,则实数Tn的取值范围是().A.(1,3)B.1,3C.(3,1)D.3,1【答案】B【分析】根据余弦函数的周期性可化简通
16、项公式为以二(-1尸端黑=(-yG+W),采用裂项相消法可求得由+23+fl2n-l+2n一1，由此可构造不等式求得结果.【详解】当n=2k(kN*)时，COSmr=1；当n=2kl(kN*)时，cosn=-1,=三cosn=(T)”-怒=(T)”-G+).01+2+03+2n-l+=-l-l+l+l-7-=-1-1.m2-2m-4-1,解得：-lzn3,即实数m的取值范围为-1,3故选：B.2. (2022全国高三专题练习)已知定义在R上的函数/(%)满足Fa+1)=2(x)+1,当0,1)时，f(x)=N.设/()在区间m,7l+)(nND上的最小值为期.若存在N,使得;l(7l+1)V2
17、/一7有解，则实数入的取值范围是.【答案】(-呜)【分析】先利用换元法分别求出当1,2),X2,3)Xn,n+1)时的/(%)的解析式，进而求出n=2n-1,由存在N*使得;l(7ll)2n-7有解得到A竽有解，进而转化为/隹,再通过。ZiIZJmaxi的单调性进行即可求解.【详解】当X0,1)时，/(x)=x3,因为定义在R上的函数/(%)满足fG+1)=2fM+1,所以/(%+1)=2(x)+1=2x3+1,令口=%+l,则%=0-1,当t1,2)时，有f(t)=2(t1-I)3+1,即当1,2)时，/(x)=2(xI)3+1又fG+1)=2f(x)+1=4(x-I)3+3,令亡2=刀+1
18、，则=匕一1，t22,3),有/(亡2)=4(22)3+3,所以当2,3)时，/(x)=4(%-2)3+3,同理可得，X3,4)时，/(x)=8(%-3)3+7,根据规律，得当%n,n+l),/(x)=2n(x-n)n+2n-l,且此时的f(x)在壮九+1)单调递增，又因为On为/G)在区间m,n+1)上的最小值，所以为=1,&=3，3=7,.,On=2-1,若存在nN,使得;I(Qn+1)V2n-7有解，则有/IOZ有解，进而必有入竽,NL/jmax令%=等,设%最大，喷或；12m-72m-9空;黑，即m三,即坛最大；2m-2m+1所以当n=5时，有冏LX=M所以aV。.32故答案为：(一8
19、,分,要注意不等 min【点睛】易错点睛：本题的易错点在由/gn?有解得到入，而不是4M恒成立，则f(%)minM:若F(X)M有解,则Q)maxM.3. (2022贵州黔东南高二期中)已知数列时的前Ti项和Sn=念品，且的=4.求数列%的通项公式；若不等式2/一九一3V(5-Qan对任意riN*恒成立，求义的取值范围.【答案】(I)On=2n+l)【分析】（1）利用n2时，Sn-SnT=Qrp得到工=2x5,然后利用累乘法求通项;n-n（2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求苗的最大值即可.【详解】（1）由题意得Sn-ISn=含Qn中OnT,2迎3即1,上= 2x5,n- n-得Sn-SnT=含m一Dan-I，an=anan=-2-a1=222-4=2n(l)(n2),QnTQnT11tl-121=4符合此式,.*.an=2n(n+1).(2)2n2-n-3=(n+l)(2n-3)2；口3对任意TlN*恒成立，记br=故&=0,沪=汜，所以空=j即质82，Uji4n61122当？3时,=17q=a：即入1.888
