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1、重难点06求直线方程的十四大方法汇总题型解读/ESi满分技巧!技巧一.由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个,写出形式适当的方程即为直接法。技巧二.由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程,再求解方程，称为公式法。技巧三.过两直线交点的直线系方程过直线A：A+By+C=0:A2x+B2y+C2=O,交点的直线方程为Ax+By+C+入(A2+B2y+C2)=0(为参数，不包含h)技巧四.当所求直线与已知直线+By+C=0平行时,可设所求直线为4v+By+A=0(/1为参数目l。，再结合其他条件求出A,即得所求直线方程.技巧五.当所求直线与已知直线X+By+C=O垂直时，可设
2、所求直线为Bx-Ay+=O(为参数)，再结合其他条件求出入即得所求直线方程.公勤题型提分练/题型1直接法【例题U(2023秋高二课时练习)已知直线，在y轴上的截距为4,倾斜角为且COSQ=|.求直线的方程.【答案】y=3+4【分析】根据三角函数的转换求出直线的斜率，带入点斜式即可求解.【详解】解：由题意得：3Va0,7r),cos=-4sina4sna=,tana=-5cosa3设斜截式方程为y=+b4k=tana=-,b=4故直线方程为y=g%+4【变式1-11.(2022秋甘肃嘉峪关高二统考期末)三48C中,8。边上的高所在的直线的方程为久-2y+1=0,角4的平分线所在直线的方程为y=0
3、,若点8的坐标为(1,2).(1)求点4的坐标.(2)求直线BC的方程.【答案】Q)(T,0)(2)2X+y-4=0【分析】(1)通过联立方程组求得4点坐标.(2)利用点斜式求得直线HC的方程.【详解】(1)由广黄：二解得仁工，则4(T0).(2)直线X-2y+l=O的斜率为I所以直线BC的斜率为-2,所以直线BC的方程为y-2=-2(x-1)=-2x+2,2x+y-4=0.【变式1-12.(2020浙江高二统考期末)已知48。的顶点A(5,l),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,NB的平分线BN所在直线方程为-2y-5=0.求：顶点B的坐标；直线BC的方程.【答案】Q)B(T
4、,-3)(2)6x-17y-45=0【分析】(1)设BaO,y0),由AB中点在2x-y-5=0,B在直线X-2y-5=0,联立方程求出B的坐标；(2)求出A关于-2y-5=0的对称点为4(HV)的坐标,即可求出BC边所在直线的方程.【详解】(1)设8(%o,yo),由AB中点在2%-y-5=。上，可得2X-5=0BP2x0-y0-1=0,Xx0-2y0-5=0,联立管匚二；1S，解得二；，即B(T-3)；(2)设A点关于X-2y-5=0的对称点为H(N,y),(a2l=.1(/=竺则有力息.5=。解得/二即225-三+3-BC边所在的直线方程为y+3=79-(x+1),即6xVly-45=0
5、.T+1【变式I-1】3.(2023春重庆沙坪坝高一重庆南开中学校考期末)已知A8(2,5)在直线Lt.Q)求直线/的方程；(2)若直线2】倾斜角是直线/倾斜角的2倍，且与/的交点在y轴上，求直线匕的方程.【答案】Q)2-y+l=0(2)y=-x+l【分析】(1)首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程；(2)设直线/的倾斜角为8,则tanJ=2,利用二倍角公式求出tan28,再求出直线，与y轴的交点,再由斜截式得到直线匕的方程.【详解】(1)因为-1,-1)、8(2,5)在直线/上，所以以8=右=2，所以直线，的方程为y-5=2(x-2),SP2x-y+l=0.(2)设直线I的倾斜角为8,
6、则tanJ=2,所以tan28=与嚓=当=-,l-tan2I-Z23所以直线。的斜率=tan20=-g,对于2%-y+l=0,令X=0得y=1,即直线,与y轴交于点(0,1),所以直线/】的方程为y=-+l.【变式1-14.(2023江苏高二专题练习)直线I的倾斜角是直线5x12y-l=0倾斜角的一半，且直线I与坐标轴所围成的三角形的面积为10,则直线I的方程可能是()A.5x+y-10=0B.y=-gx+1c+1D.5%-y-l=0【答案】C【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】5%+Yly-I=O=y=-%+)所以直线5x+12y-l=0的斜率为负值，因此直
7、线5x+12y-l=。的倾斜角为钝角，设直线I的倾斜角为。，则(0曰).因为tan2=；=-3所以tana=5或tana=，(舍去).设直线I的方程为y=5x+t,则直线I与坐标轴的交点分别为(-g,0),(0,0,由与一/Vl=10,得t=10，故直线I的方程可能是y=5x10.,显然ABD不符合，y=5x10=2+=1,或竟=1,故选：C题型2截距式法【例题2(2020秋黑龙江高三黑龙江实验中学校考期末)已知直线过点(1,2),且纵截距为横截距的两倍，则直线I的方程为()A.2xy=0B.2x+y-4=0C.2xy=0或X2y2=0D.2xy=0或2%+y4=0【答案】D【分析】考虑截距是
8、否为0,分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.【详解】由题意设直线与X轴交点为(。,0),则与y轴交点为(0,2),当=0时，直线过原点，斜率为三=2,故方程为2%-y=0;当Q0时，直线的斜率然=-2,0-故直线方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0f故选：D【变式2-11.侈选)(2023秋高二课时练习)已知直线，过点P(4,5),且直线，在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程为()A.Sx-4y=0B.xy+l=0C.x+y-9=0D.x+y+l=0【答案】ABC【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为y=匕，；+?=1,：一：=1
9、,结合过点P(4,5)可得答案.【详解】当直线/过原点时，设直线方程为y=kx,因过点P(4,5),则直线/的方程为y=%,即5x-4y=O,故A正确；当直线/截距相等时,设直线方程为:+?=1，因过点P(4,5)，则3=I=Q=9,则直线/的方程为X+y-9=0,故C正确；当直线1截距互为相反数时，设直线方程为三-：=1,因过点P(4,5),则=I=Q=-1,则直线Z的方程为X-y+l=0,故B正确.故选：ABC.【变式2-12.(2023秋福建莆田高二莆田华侨中学校考期末)直线1过点P(3,2)且与短由、y轴正半轴分别交于4B两点.若直线，与2%+3y-2=0法向量平行，写出直线，的方程；
10、(2)求A408面积的最小值；【答案】Q)3x-2y-5=012【分析】(1)利用两直线垂直设出一般式，代入点P即可求出直线方程；(2)设直线截距式为?+(=l(,b0),代入点P得到:+2=1,利用基本不等式即可求出面积最小值；【详解】(1)解：由题设直线h3x-2y+C=0,将点(3,2)代入得9-4+C=0,C=-5,故直线上3x-2y-5=0；(2)设直线/的方程为:+=l(a,b0),将点(3,2)代入得:三=12Jpl=20,则b24,所以S08=bi24=12r当且仅当?=/即=6,b=4时等号成立.所以4。8的面积最小值为12.【变式2-1】3.(2023全国高二随堂练习)直线
11、1与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2,两截距之差为3,求直线1的方程.【答案】X+4y4=0或4x+y-4=0【分析】设好+看=130,b0),分别讨论Q-b=3和b-=3的情况，利用三角形面积构造方程求得结果.【详解】由题意可设直线/方程为：；+(=l(0,b0),若a-b=3,则gab=a(a-3)=2,解得：a=-1(舍)或a=4,.b=1,直线，：；+y=1,即+4y-4=0;若b-a=3,则Tab=a(a+3)=2,解得：q=-4(舍)或q=1,.b=4,直线x+=l,即4x+y-4=0；综上所述：直线，方程为+4y-4=。或4x+y-4=0.【变式2-14.(2022秋山东
12、青岛高二山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)已知直线，过点P(-3,4)(1)它在y轴上的截距是在X轴上截距的2倍,求直线，的一般式方程.(2)若直线，与X轴负半轴、y轴的正半轴分别交于点4,B,求4408的面积的最小值.【答案】Q)2x+y+2=。或4%+3y=0(2)24【分析】(1)用截距式设出，的方程，根据，经过点P,解方程即可；(2)设出截距式方程，根据/经过点P列出等式，用基本不等式得出三角形面积公式中乘积的范围即可得到面积最小值.【详解】(1)设1的方程为升方=1,”过点P(-3,4),.代入方程得=-1,.的一般式方程为2%+y+2=0,当/经过原点时，设L：y=H,将点P代入
13、直线得k=-，综上的一般方程为2%+y+2=0或轨+3y=0；(2)设吟+”1(q0),一过点P(-3,4),-3.4Y三+=1,-ab2JS-当且仅当5=巳即=-6,b=8时等号成立,-QD,-ab48,SAAoB=4IaiIbl=Wa匕，Sf08min=24.【变式2-15.(2023秋全国高二期中)过点2(2,1)作直线/分别交汇/的正半轴于48两点.(1)求4480面积的最小值及相应的直线Z的方程;当I。川+|。Bl取最小值时，求直线Z的方程.【答案】4,+2y-4=0(2)x2y-2-2=0【分析】(1)由题意可设直线，的方程为:+f=l,又点P(2,l)在直线，上,所以;+/1,注
14、意到SMBo=ab.结合基本不等式进而求解.(2)fi(l)中分析可好+3=1,且注意到|。川+0B=+力，由乘T法结合基本不等式即可求解.【详解】(1)显然直线，斜率存在且不过原点，由题意可设直线/的方程为:+=Kalb0),又点P(2,l)在直线/上，所以;i=lf由基本不等式可得:+3=1N2患，即Qb8,当且仅当Q=4,b=2时取等，注意到S“so=0A0B=ab,所以SAA8o=0A0B=ab8=4,当且仅当Q=4fb=2时取等,此时相应的直线/的方程为X+2y-4=0.(2)由(1)可知;+；=l(,b0),又注意到|0川+0B=+b,所以|0川+0B=+=(b)Q+=3+j,对其
15、利用基本不等式得|0川+0B=3+3+22f当且仅当Q=2+2,fc=2+1时取等，此时相应的直线1的方程为K+2y-2-2=0.题型3点斜式法【例题3(2021秋陕西渭南高一统考期末)已知圆C过点(2,6)且与y轴相切,圆心C在线段y=2x(1x4)上,过点4(1,0)的直线I与圆C相交于M,N两点.求圆C的方程；若IMNl=23,求直线I的方程.【答案】Q)(X-2)2+(y-4)2=4(2)x=1或15x-8y-15=0.【分析】(1)设圆心C(m,2m)(lm4)t由圆与y轴相切易得C方程为(X-m)2+(y-2m)2=m2,(2)讨论直线I的斜率，结合点线距离、圆的弦长公式求参数，即
16、可确定直线方程.【详解】(1)设圆心C(m,2m)(lm4),.圆C与y轴相切，二圆C的半径r=m,则圆C的方程为(X-m)2+(y-2m)2=m2.又点(2,6)在圆上，.(2n)2+(6-2m)2=m2,即zn?7m+10=O,解得m=5(舍)或Tn=2.，圆C的方程为(X-2)2+(y4)2=4.(2)当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为X=1,圆心到直线I的距离为1,半径为2,则IMNl=23,符合题意；当直线I斜率存在时，设直线I的方程为y=k(%-1),即匕一y-k=0.由弦长IMNI=23,半径为2,得圆心C到直线I的距离为止2-(遥)2=1.即,解得A=?.直线I的方程为15
17、%-8y-15=0.综上，直线I的方程为X=1或15x-8y-15=0.【变式3-11.(2023秋江西宜春高二江西省丰城中学校考期末)已知圆C:(x-l)2+(y-I)2=2.(1)若直线/过点AG，0)且被圆C截得的弦长为近，求直线/的方程；若直线，过点B(3,0)与圆C相交于P,Q两点，求仆CPQ的面积的最大值，并求此时直线1的方程；【答案】Q)%=T或6x+8y-9=O(2)最大值为1,y=。或4x+3y-12=O【分析】(1)求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线I的距离，然后分直线I的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；(2)设直线I的方程为y=Kx-3
18、),求出圆心C到直线I的距离，从而可求出CPQ的面积的最大值，进而可求出直线方程.【详解】(1)圆C:O-1)2+(y-I/=2,圆心C(L1),半径r=2当直线，的斜率不存在时，I的方程为：=此时圆心C(Ll)到直线的距离d=则相交弦长为2衍W=2=7,符合题意；当直线1的斜率存在时，设/的方程为：y=k-,即2kx-2y-3k=0此时圆心C(Ll)到直线的距离d=,则相交弦长为2位胃=2一(耦J=7,解得：A=-：所以此时直线，的方程为：-gx-2y+q=0,即6x+8y-9=0.综上，直线的方程为=T或6%+8y-9=0(2)8在圆外，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：y=AQ-3),
19、则圆心C(l,l)到直线的距离d=需，所以弦长IPQl=2r2-d2=22-d2,所以SACPQ=：PQId=2d2-d4,当d2=1时S最大，即d=1,即耨=1,解得k=。或k=-.5acpq的最大值为1.所以直线/的方程为：y=0或钮+3y-12=0【变式3-1】2.(2023秋重庆长寿高二重庆市长寿中学校校考期末)已知以点力(-1,2)为圆心的圆与直线l1:X+2y+7=0相切，过点8(-2,0)的直线I与圆A相交于M,N两点，Q是MN的中点lMN=219.(2)求直线I的方程【答案】Q)(%+l)2+(y-2)2=20(2)%=-2或3%-4y+6=0【分析】(1)计算出圆A的半径,可
20、得出圆A的标准方程；(2)利用勾股定理计算出圆心A到直线1的距离为d=1,然后对直线I的斜率是否存在进行分类讨论，在直线11X轴时，直接验证即可；在直线，的斜率存在时，设出直线，的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线，的方程.【详解】(1)设圆A半径为R,由圆与直线。：x+2y+7=0相切，则点4(-1,2)到直线匕的距离等于半径R,得R=Ll2=25.圆A的标准方程为&+I)2(y-2)2=20.(2)由(1)知，R=2g,IMNl=219,则圆心A到直线，的距离d=AQ=Jr2_(嘤)，=y20-然Y=20-19=1.当直线I与X轴垂直时，即=-2,此时圆心A到直线1的距
21、离为1,符合题意；当直线I不与X轴垂直时，设方程为y=k(x+2),即依-y+2k=0,rf=t三r=三=1解得k=1二直线I为：3x-4y+6=0.综JtJ斤述，直线I的方程为=一2或3%-4y+6=0.【变式3-13.(2023秋全国高二期中)在MBC中，4(3,4),F(-l,3)，C(5,0).(1)求BC边的高线所在的直线的方程；过点A的直线I与直线BC的交点为D,若B、C至II的距离之比为1:2,求D的坐标.【答案】(l)2x-y-2=0(2)(-7,6)或(1,2)【分析】(1)先求直线BC的斜率，根据垂直关系可得高线所在的直线斜率，进而可得结果；(2)先求直线BC的方程，分类讨
22、论直线I的斜率是否存在，利用点到直线的距离公式可得直线I的方程，进而可求交点坐标.【详解】(1)由题意可知：直线BC的斜率为Mc=辞=-1则BC边的高线所在的直线斜率为=2,所以BC边的高线所在的直线方程为y-4=2(x-3)l即2-y-2=0.(2)由(1)可知直线BC的方程为：y-0=-4%-5),即x+2y-5=0,若直线I的斜率不存在，则直线：x=3,可知B、C到I的距离分别为4,2,不合题意；若直线I的斜率存在，设为k,则直线I:y-4=k(%3),即依一y+4-3k=0,由题意可得：*募MICT=殁皆，即k=一E或k=1,当k=,则直线I：%+5y-23=0f联立方程/二式，解得二
23、7，即F)；当&=1,则直线I:x-y+1=O,联立方程，解得=1,即o(l,2)；综上所述：D的坐标为(-7,6)或(1,2).【变式3-14.(2023秋福建宁德高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知直线，经过点M(L2).(1)若直线，到原点的距离为1,求直线2的方程；(2)若直线/与X轴、y轴的正半轴分别交于48两点，求SMoB的最小值，并求此时直线/的方程.【答案】Q)%=1或3x-4y+5=0(2)4,2x+y-4=0【分析】(1)分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果；(2)设出直线方程y-2=k(x-1),令X=0,得到y=2-k,令y=0,得到X=1-，从
24、而得到SAAoB=2+(-+(-k),再利用基本不等式即可求出结果.【详解】(1)因为直线，经过点M(l,2),当直线斜率不存在时,直线方程为X=1,此时，直线，到原点的距离为1,满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为y-2=k(-1),即以一y-A+2=0,因为直线!到原点的距离为1,所以瑞=1,解得k=J此时，直线/为3%-4y+5=0所以直线I的方程为X=1或3x-4y+5=0.(2)由题意知，直线斜率存在且不为0,设直线方程为y-2=k(x-l)t令X=0,得到y=2-k,令y=0,得到=1-p(2-k0由题知，1_20,得到k0,Ik0=(2-c)(l-=(2-k+2)=2+i(-
25、+()2+24=4r当且仅当t=A,即k=-2时取等号，此时直线方程为2%y-4=0.【变式3-15.(2023秋高二单元测试)已知直线，的方程为：(2nl)x+(m+l)y-7n-4=0(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线匕，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求。的方程.【答案】(1)证明见解析(2)x+3y-6=O【分析】(1)将直线方程改写成m(2x+y-7)+x+y-4=O形式，解方程组二;即可.(2)设出直线。的方程，分别令X=0、y=0求出相对于的y值、X值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果.【详解】(1)证明：由(2m+l)x+(m+
26、l)y-7m-4=0可得：m(2x+y-7)+x+y-4=0,y(2x+y-7=0(X=3YX+y-4=0=y=l，所以直线1过定点M(3,l).(2)由(1)知,直线匕恒过定点M(3,l),所以设直线L的方程为y=Kx-3)+Kk0),令X=0,则y=1-3k；令y=0,贝卜=3-所以S=(l-3c)(3-=(-9fc)(-)+6(2J(-9c)(-)+6)=6,当且仅当-M=/,即k=-(时，三角形面积最小，此时。的方程为+3y-6=0.题型4结构式法【例题412023春上海普陀高二上海市晋元高级中学校考期中禽3%+401=1302+402=1月团1,则经过团(团鸟)、(3(%J)的直线日
27、的一般方程为【答案】313+40-I=O【分析】根据0(团I，%)、团(团2,团2)都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程.【详解】若30+401=1,302+402=I1则点团（团1，团）在直线3团+40-1=0,点团（团2，团）在直线30+40-I=O上即团网,团1）、团（团,团2）都在同一直线30+40-1=0因为两点确定一条直线,所以由日（瓦,明）、团（团,团2）确定的直线即为3团40-1=0故答案为：30+40-1=0【变式4-1】1.（2020浙江杭州高二期末）已知直线6+ft1yl=0和直线散+b2y+1=0都过点4（2,1）,则过点片（。1，瓦）和点
28、。2（。2/2）的直线方程是（）A.2x+y+l=0B.2xy+l=0C.2x+y-1=0D.x+2y+l=0【答案】A【分析】把力（2,1）坐标代入两条直线QlX+b1y+1=0和a2%+y+1=0得2%+瓦+1=0,22+1=0,求出23-a2）=b2-Ql,再用两点式方程求过点匕31，8）/2（&，尻）的直线的方程.【详解】把4（2,1）坐标代入两条直线a/+瓦丫+1=0和+b2y+l=（得2a1+瓦+1=0,2az+b2+1=0,2（a1-a2）=b2-bll过点B（%,bDP2（a2,b2）的直线的方程是：涔=罟，02-DlU2,uy-b1=-2（x-a1）,K!2x+y-（2a1+
29、瓦）=0,.2a1+瓦+1=0,2a1+瓦=1,所求直线方程为：2x+y+1=0.故选：A.【变式4-1】2.（2023春上海黄浦高二格致中学校考期末）已知P3,A）与P2（a2,b2）是直线V=x+l（k为常数）上两个不同的点，则关于X和y的方程组自；:K二的解的情况是（）A.无论Api、P2如何，总是无解B.无论k、pi、P2如何，总有唯一解；：.存在1、pi、P2,使之恰有两解D.存在k、小、p2l使之有无穷多解【答案】B【分析】根据题意，可得函与西不共线，得到血a2bll进而得到:然；一定有唯一解，即U2X十o2ya可得到答案.【详解】因为P（%,瓦）与P2（2,b2）是直线y=1（k
30、为常数）上两个不同的点，且直线y=kx+1斜率存在,且不过原点，所以两与两不共线，可得。仍2a2b1,所以关于无和y的方程组黑：二：，一定有唯一解.故选：B.【变式4-1】3.（2022高二课时练习）若3.-4y=2,3x2-4yz=2t则过Aal,yj、-（如力）两点的直线I的方程为【答案】3x-4y-2=Q【分析】根据皿/1）、次如力）都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性和得直线方程.【详解】若3%1-4%=2,3x2-4y2=2则点Aal,yj在直线3%-4y-2=0上，点以孙/2）在直线3x-4y-2=0即4（不,%）、8（%2,y2）都在同一直线3%-4y-2=0上因
31、为两点确定一条直线,所以由AaI,%）、8（心,力）确定的直线即为3%-4y-2=0故答案为：3x-4y-2=0【点睛】本题考查了直线方程的意义,两点确定一条直线,属于基础题.【变式4-14.（2022全国高三专题练习）已知两直线/+b1y-1=0和做+b2y-l=0的交点为P(l,2),则过Q(%,瓦)，Q2(2,b2)两点的直线方程为【答案】X+2y-1=O【分析】根据两直线QlX+b1y-l=O和a2%+y-l=O的交点列方程，对比后求得直线Q2的方程.【详解】依题意两直线+b1y-1=O和+b2y-1=O的交点为P(l,2),所以Ql+2b1-l=0ta2+2b2-l=O,Q1,Q2在
32、直线X+2y-1=O上，所以过心(。1,瓦)，Q2(2,b2)两点所在直线方程为X+2y-1=0.故答案为：%+2y-1=0题型5交点系方程法【例题5】(多选)(贵州省2023-2024学年高二上学期阶段性联考(一)数学试题)已知直线，过直线占y=-扛+10和，2：3x-y=0的交点,且原点到直线/的距离为3,贝的方程可以为()A.%=3B.4x-3y-15=0C.4x-3y+15=0D.3x+4y-15=0【答案】AC【分析】先求得。和的交点坐标，然后根据直线，的斜率是否存在进行分类讨论，结合原点到直线，的距离确定正确答案.【详解】由卜=T+1解得X=3,y=9,即交点为(3,9),当直线1
33、的斜率不存在时，直线/的方程为=3,此时原点到直线，的距离为3,符合题意，A选项正确.当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y-9=k(x-3),SPkx-y+9-3k=0,由个需y=3解得kT.直线，的方程为-y+9-4=0,4%-3y+15=0,C选项正确.故选：AC【变式5-11.(2023全国高二随堂练习)已知直线I过直线丸3x+4y-2=0与，2：2x+y+2=0的交点,且平行于“X+2y-5=0,求直线I的方程.【答案】x+2y-2=0【分析】根据两直线的交点坐标的求解方法和两直线平行与斜率的关系求解.【详解】联立匿鲁;二解得。I,即/2的交点为(-2,2),设所求直线方程为+2y
34、+C=0,因为所求直线过点(-2,2),所以-2+4+C=0,解得C=-2,所以所求直线方程为X+2y-2=0.【变式5-1】2.(2023全国高二随堂练习)(1)求经过直线匕:X+3y-4=0,2:5x+2y+6=0的交点,且过点4(2,3)的直线的方程；(2)求经过直线。:X-3y-4=0和：2x+y-1=0的交点,且与直线片：3x-4y+5=0垂直的直线的方程.【答案】(1)X-4y+10=0；(2)4x+3y-1=0【分析】(1)利用两直线的交点坐标公式以及直线的点斜式方程求解；(2)利用两直线的交点坐标公式以及两直线垂直与斜率的关系求解.【详解】(1)设口，2的交点为8,联嗨;,S所
35、以匕/2的交点为8(-2,2),所以以8=羞=最由点斜式可得，y-2=；(%+2)整理得X-4y+10=0.联立鼠二常，解需二,所以匕/2的交点为C(l,-1),设所求直线方程为轨+3y+M=0,因为直线4x+3y+M=0过点C(l,-1),所以M=-1,所以所求直线方程为轨+3y-l=0.【变式5-13.(2023秋福建宁德高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知?!BC的顶点为4(0,4),8(-2,6),C(-8,0).求AC边上的中线B。所在直线的方程；(2)求经过两条直线-y-3=OffiZ2:x+y+5=0的交点，且垂直于4C方向向量的直线方程.【答案】(l)2x-y+10=0；(2)
36、2x+y6=0.【分析】(1)求出线段4。的中点,再求出直线8。的斜率，进而求出直线方程作答.(2)求出直线匕/2的交点坐标，再求出过该交点且垂直于AC方向向量的直线方程.【详解】(1)依题意，线段AC的中点D(-4,2),于是直线8。的斜率k=-=2,所以直线80的方程为y-6=2(x+2)l即2%-y+10=0.(2)依题意，直线4C的一个方向向量H=(-8,-4),显然沅=(1,一2)满足而n=0z因此垂直于4C方向向量的直线的方向向量为沅=(1,-2),由匕二:二：U，解得X=Ty=T,即直线，的交点坐标为(一1,一4),所以所求直线方程为y+4=-2(x+1)l即2x+y+6=0.【
37、变式5-l4.(2022秋山东日照高二统考期末)已知直线，i：x+y+3=0直线，2在y轴上的截距为-1,且。，2,(1)求直线。与，2的交点坐标；(2)已知直线，3经过ZI与的交点，且坐标原点。到直线G的距离等于2,求直线。的方程【答案】（1）/（一1,一2）；（2）丫+2=0或4%+3）/+10=0.【分析】(1)根据垂直和截距得到直线%的方程为y=-l再联立方程解得交点.(2)设直线方程为y+2=k(xl),再利用点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】(1)直线公X+y+3=0,则/1的斜率为T,又直线，2在y轴上的截距为-1,且，CI2,的斜率为1/直线%的方程为y=-l即X-y-1
38、=0；,x+y+3=0fegzs(x=-1，直线，1与的交点坐标为尸(-1，-2)；(2)由题意，直线，3的斜率存在，设方程为y+2=k(x+1),即匕-y+k-2=0,且原点O到直线%的距离等于2,d=悬=2,化简得3炉+4k=0,解得k=0或k=当k=0时ly+2=0,当k=-g时，y+2=-g(%+1),化为Tg式是4x+3y+10=0f.直线，3的方程为y+2=0或轨+3y+10=0.【点睛】本题考查了直线方程，直线交点，意在考查学生的计算能力.题型6对称问题【例题6(2023春上海杨浦高一上海市杨浦高级中学校考期末)设直线，i：x-2y-2=0与，2关于直线lt2x-y-4=。对称,
39、则直线，2的方程是()A.Ilx+2y-22=0B.Ilx+y+22=0C.5x+y-11=0D.10x+y-22=0【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式,求直线，2上一点，即可求解.【详解】联立展仁常，得取直线h%-2y-2=0上一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线上2x-y-4=0的对称点为(,b),则(b+l_1直线%的斜率k=-y,所以直线%的方程为y=-y(x-2),整理为：llx+2y-22=0.故选：A【变式6-11.(2022春安徽宣城高二统考期末)点火3,-4)与点以-1,8)关于直线/对称，则直线/的方程为【答案】x-3y+5=0【分析
40、】根据A和B关于直线，对称可得直线A8和直线，垂直且48中点在直线比,从而可求得直线(的斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】由4(3,-4),8(-1,8)得：%8=*=-3且48中点M坐标为(1,2)4和8关于直线/谢:kABkl=-1且M在上二k=g的方程为：丫一2=*工1),即：工一3丫+5=0本题正确结果：工一3y+5=0【点睛】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.【变式6-12.(2022春湖北黄冈高二统考期末)已知直线匕；+2y-4=0与直线%：%-y-1=0的交点为A,直线Z经过点A,点
41、PQ,-1)到直线/的距离为2,直线，3与直线Ll关于直线对称.(1)求直线/的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)/=1或4%+3丫-11=0；(2)2xy-5=0.【分析】(1)利用过两直线交点的直线系方程求解，即设过点A的直线/lx+2y-4+(x-y-l)=0,由点到直线距离公式求得参数心得直线方程；(2)设直线，3上任一点M(%y)关于直线对称的点为N(xzz,则3n1MN连线中点在G上，且N在，1上,用“表示出My(xy)代入21方程即得，3方程【详解】解：(1)设过点A的直线Z:%+2y-4+(x-y-1)=0,即(1+)x+(2-)y-4-A=0.点P到直线1距离d=啜，=
42、Ju=2解得2=-1或I,分别代入直线，方程中，V(l+J”+(2一Y4-4+5/所以直线，；y=1或4x+3y-11=0(2)设直线G上任一点May)关于直线对称的点为NGly,),则IMNH21MN连线中点在上，且N在，1上.Iy-y，aiSl_解得后二二；，点代入直线L+2y-4=0中，得y+l+221一2(%-1)-4=0,整理得2%+y-5=0,即为所求直线%的方程.【点睛】本题考杳求直线方程，考杳过两直线交点的直线系方程过两直线九月6+B1y+C1=0和%：&%+B2y+C2=。的交点的直线系方程为AlX+B1y+C1+A2x+B2y+C2)=0(不含直线%),与，平行的直线系方程
43、为4%+Biy+m=0,与，1垂直的直线系方程为aX-A1y+zn=0.【变式6-13.(2020秋湖北荆州高二统考期末)已知点Pla,P2(%2J2)满足1,与，M，7依次成等差数列，1,%,%，8依次成等比数列，若,P2两点关于直线/对称，则直线!的方程为()A.x+y+l=OB.x-y-l=OC.x+y-7=0D.2x-y-5=0【答案】C【解析】根据所给的两个数列，写出数列中出现的字母，即得到两个点的坐标，根据要求得直线与这两个点的连线垂直，求出直线，的斜率，再根据直线过两点连线的中点，根据点斜式写出方程即可.【详解】vl,石，必，7依次成等差数列、Xj-3I%2=5,1,乃，2,8依
44、次成等比数列，%=2，%=4， .P1(3,2),P2(5,4),P,P2两点关于直线以寸称，RPz两点连线的斜率是B=1， 直线，的斜率是-1,直线，过点(4,3), 直线，的方程为y-3=-1X-4),即直线，的方程为X+y7=0.故选：C【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、直线与直线垂直斜率之间的关系、直线的点斜式方程，属于基础题.【变式6-1】4.(2020秋陕西延安高一校考期末错光线沿倾斜角为120。的直线射向X轴上的点A(2,0),经舛由反射，则反射直线的点斜式方程是()A.y=-y(x-2)B.y=3(x-2)C.y=-3(x-2)D.y=y(x-2)【答案】B【分析】根据题意先写出反射光线的倾斜角和斜率，再应用点斜式写出直线的方程即可.【详解】光线沿倾斜角为120。的直线射向X轴上经X轴反射，则反射直线的倾斜角为60。,反射光线斜率为攵=ta60o=V5,且反射光线过点/1(2,0),这反射光线所在直线方程为点斜式方程是y=3(x-2).故选:B.题型7参数法【例题7(2023秋浙江嘉兴高二统考期末)已知直线Z与直线公2x-y+2=0和：x+y-4=0的交点分别为4B,若点P(2,0)是线段48的中点，则直线48的方程为【答案】X+4y-2=Q【分析】设力(打,2.
