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1、第二十六讲比拟与估在前面的章节中，同学们已经对分数的计算有了一定的熟悉,也学习了很多比拟分数大小的方法.今天我们将继续研究一些较复杂的分数比拟大小和估算的问题.例题1.现有7个数,其中5个是3.&、31、6、3.限3卫.如果根据从小到大排列的第三737273个数是“6,那么位于最中间的数是多少？37分析这是一个比拟多个数大小关系的推理题,虽然其中有着两个数未知,但是我们还应该先比拟数之间的大小关系,再利用其他条件来推理出题目的结果.练习1.有8个数,0.&、2、5、宓”是其中的6个.如果按从小到大的顺序排列时,394725第4个数是0.51&.那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数？例题2.
2、在不等式2_3的方框中填入一个自然数,使得不等式成立.34分析分子相同,分母大的分数小.但分子不一样怎么比拟大小呢？练习2在不等式2-的方框中填入一个自然数,使得不等式成立.那么方框中最大可以填多少？7在算式的估算中，有一种方法比拟常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值,但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符合题意.例题3.算式33.333x33.333计算结果的整数局部是多少？分析此题需要计算两个较复杂的数相乘,但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的整数局部就可以了.我们可以从以下两个方面考虑：(1)估算结果的大致情况,推出整数局部.(2)计
3、算出准确结果,确定整数局部.那大家想一想应该怎么办？练习3.算式66.666X66.666计算结果的整数局部是多少？算式的缩放是估算问题中经常用到的方法.缩放的方法有很多.在放缩的时候要注意不可将范围放缩得过大,这样将无法起到放缩本来应该有的作用.例题4.算式2+2+2+L+-2计算结果的整数局部是多少？Il121320分析此题显然不能硬算,不然太麻烦.如果能将该算式稍加变形,使它不仅变得好算，还能确定大小范围,那就可以求出它的整数局部是多少了.练习4.算式一+一+L+计算结果的整数局部是多少？20212229例题5.999999999910000000000的计算结果的整数局部.求吃一+22
4、999+L+p100+100O!分析同例题4,需要对算式稍作变形,加以放缩来确定大小范围,进而求出整数局部.例题6.(1)两个小数的整数局部分别是4和5,那么这两个小数乘积的整数局部共有多少种可能的取值？(2)将两个小数四舍五入到个位后,所得到的数值分别是7和9.将这两个小数的乘积四舍五入到个位后共有多少种可能的取值？分析注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围,那么乘积也一定有一个连续的取值范围.等号与不等号的历史一、等号,不等号为了表示等量关系,用表示相等，这是大家最熟悉的一个符号了.说来话长,在15、16世纪的数学书中,还用单词代表两个量的相等关系.例如在当时一些公式里,常常写着a
5、equ或aequaliter这种单词,其含义是“相等的意思.1557年,英国数学家列科尔德,在其论文?智慧的磨刀石？中说：“为了防止枯燥地重复isaequalleto（等于）这个单词,我认真地比拟了许多的图形和记号,觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段,意义更相同了.”于是,列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段表示“相等叫做等号.用替换了单词表示相等是数学上的一个进步.由于受当时历史条件的限制，列科尔德创造的等号,并没有马上为大家所采用.历史上也有人用其它符号表示过相等.例如数学家笛卡儿在1637年出版的?几何学?一书中，曾用“8”表示过“相等”.直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹,
6、在各种场合下大力倡导使用“二，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认.顺便提一下，是表示“不相等关系的符号,叫做不等号.“旷和，的意义相反,在数学里也是经常用到的,例如a+IW/5.二、大于号,小于号现实世界中的同类量,如长度与长度,时间与时间之间,有相等关系,也有不等关系.我们知道,相等关系可以用”=表示,不等关系用什么符号来表示呢？为了寻求一套表示“大于或“小于”的符号,数学家们绞尽了脑汁.1629年,法国数学家日腊尔,在他的?代数教程?中,用象征的符号“ff”表示大于，用符号表示“小于”.例如,力大于5记作：“A/力T4小于5记作“45”.1631年,英国数学家哈里奥特,首先创用符
7、号”表示”大于，“”表示小于，这就是现在通用的大于号和小于号.例如53,-2b,mn.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号.例如，1631年,数学家奥乌列德曾采用0”代表“大于；用“二代表小于”.1634年,法国数学家厄里贡在他写的?数学教程?里,引用了很不简便的符号,表示不等关系,例如：a6用符号2b表示；沃a用符号及3a表示.由于这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了.只有哈里奥特创用的”和“一直广为使用.作业I.下面的分数中，最大的是哪个？_326_11925作业2.下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个？11B=*27,+一，1426作业3.算式1-+
8、3-+5-+L+11的整数局部是多少？35723作业4.6.6666x9.9999的整数局部是多少？作业5.小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8x9=72,那么原算式结果的整数局部有多少种可能？第二十六讲比拟与估算例题L答案：3卫273详解:我们把所有的数化为小数后比拟比.&3.1414L,3-二3.1428L,U3.1351L,7373.66=3.1515L,3卫二3,1355L.经比拟,有3卫3.修33.&注意到273372737“6是7个数中从小到大排列的第3个,说明另两个没有写出的数比”6小,为最小的3737两个数.那么可知7个数中位于中间的数是3卫.273例题2.答案：7详解：通分
9、子卢万30,所以45口义640,只能填7.45匚40例题3.答案：Illl详解：我们发现33.33333比拟接近33.&,而33.&二33l.因此我们可以尝试利用33.&古3算结果,再把小数化成分数计算：33.33333x33.33333-33x33,=100x,0=,000=Illl1.因此33.33333X33.33333333399计算结果的整数局部是1111.例题4.答案：1122221详解：-X10）-+-+-+L+-XIO,结果介于12之间,所以整数局部是1.例题5.答案：9详解：通过放缩可得：X10一+理+L+9999999999）.o,所以结果介99-+oooioooooooo
10、ooio于9到10之间，整数局部是9.例题6.答案：（I）10；（2）17详解：（1）设两个小数分别为.和bi由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是4和5,所以考虑到小数点的情况,可得44x5=20,axb5x6=30.所以两个小数乘积的整数可取20到29之间的任何整数值,一共有10种可能的取值.（2）设两个小数分别为a和b,由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是7和9,所以考虑到小数点的情况,可得6.56,5x8,5=55.25,axb9,5X7,5=71.25.所以两个小数乘积的整数可取55至U71之间的任何整数值,一共有17种可能的取值.练习1.答案：0.5&1&简答：的
11、六个数从小到大的顺序是空、0.5&、（）.&、A5、2.说明不知道的数一定是最小的和第二小的，由此可知第四大的数1o.5?l&.练习2.答案：17简答：通分子,得|。事,方框中最大可填17.练习3.答案：4444简答：66.666x66.66666.666x?蜕=4444,4,所以整数局部是4444.练习4.答案：1简答：302xi-+-+t+-lO=1.5,可知整数局部是L29292021222920作业1.答案：-3简答：把分子都变成6.作业2.答案：AfC简答：A=ff,B=,C=,.分子都是40,根据和同近积大,可知A的分母最小,C的分母最大.作业3.答案：36简答：l+3+5+L+11=36,-x62+2+l+-x6,2313152313即12.+.+l+-VI.可知原式的整数局部是36.简答：原式X231315作业4.答案：66X9.9999=66.666.整数局部是66.作业5.答案：18简看：设两个乘数分别为A和B,那么4在7.5与8.5之间,B在8.5与9.5之间.那么它们的乘积在63.75与80.75之间.整数局部可能是63-80,有18种可能.
