《专题04圆的方程及直线与圆圆与圆的位置关系（考点清单）（原卷版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04圆的方程及直线与圆圆与圆的位置关系（考点清单）（原卷版）.docx（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、专题04圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练6考点清单01：二元二次方程表示曲线与圆的关系6【考试题型U二元二次方程表示曲线与圆的关系6考点清单02:求圆的方程6【考试题型1】求圆的方程6考点清单03:由圆的方程确定圆心和半径7【考试题型1】由圆的方程确定圆心和半径7考点清单04：圆过定点问题8【考试题型1】圆过定点问题8考点清单05：直线与圆的位置关系8【考试题型1判断直线与圆的位置关系8【考试题型2】由直线与圆的位置关系求参数9【考试题型3】直线与圆交点坐标9考点清单06：直线与圆相交（韦达定理应用）10【考试题型H直线与圆相交
2、（韦达定理应用）10考点清单07:圆的切线问题11【考试题型1过圆上一点作圆的切线11【考试题型2】过圆外一点作圆的切线11【考试题型3】切线长12【考试题型4】已知切线求参数12【考试题型5】切点弦及其方程13考点清单08：直线与圆综合13【考试题型1】圆的弦长13【考试题型2】已知圆的弦长求方程或参数14【考试题型3】圆的中点弦问题14【考试题型4】直线与圆的实际应用15【考试题型5】直线与圆的定点定值问题16【考试题型6】直线与圆的位置关系中的最值问题17考点清单0%圆与圆的位置关系18【考试题型1判断圆与圆的位置关系18【考试题型2】由圆与圆的位置关系求参数18【考试题型3】圆的公切线
3、条数19考点清单10:圆与圆相交19【考试题型1】相交圆的坐标19【考试题型2】相交圆的公共弦方程20【考试题型3】相交圆的公共弦长20一、思维导图圆与圆的位置关系二、知识回归知识点OL圆的标准方程我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为A(ayb)半径为r的圆的标准方程.知识点02：点与圆的位置关系判断点M(XO,%)与OA：-+(yP=)位置关系的方法:几何法:设M(X,为)到圆心A3,。)的距离为d,则d=IMAIdO则点M(x0,y0)在QA外d=zO则点M(Xo,%)在OA上dvr。则点M(Xo,%)在OA内知识点03：圆上的点到定点的最大、最小距离设OA的方程*一。)2
4、+(y-力2=r2,圆心A(4),点M是OA上的动点，点P为平面内一点；记d=X;若点P在外，则IPMlmaX=d+r；IPMImin=d-r若点P在OA上，则IPMlnm=2r；IPMImm=O若点P在LA内，则IPMmax=d+r-PMImin=d知识点04：圆的一般方程对于方程/+2+以+4+尸=0（）,民/为常数），当2+石2一4尸0时，方程/+,2+及丫+或+尸=（）叫做圆的一般方程.当O?+E2-4/0时，方程表示以今，-1）为圆心,以7加+-4建为半径的圆;2当O?+1-4尸=0时，方程表示一个点,9l）当2+石2-4尸O.知识点05：直线与圆的位置关系:几何法图象Q位置关系相交
5、一相切判定方法C.(x-a)2+(y-b)2=r2iI:Ax+By+C=O。圆心CmB)到直线/的距离：,IAa+M+CCl=oVa2+B2d=圆与直线相离。知识点06：直线与圆相交记直线I被圆C截得的弦长为IABl的常用方法1、几何法（优先推荐）弦心距（圆心到直线的距离）弦长公式：AB=2yr2-d22、代数法直线/：Ar+By+C=O；圆MX2十丁十6+6+产=。的一元二次函数02 +bx+c = O消去“ y ”得到关于“ X”Ar+By+C=Ox2+y2+Dx+Ey+F=0弦长公式：AB=Vl+/:2J(Xl+W)?-4XM2知识点07：直线与圆相切(1)圆的切线条数过圆外一点，可以作
6、圆的两条切线过圆上一点，可以作圆的一条切线过圆内一点，不能作圆的切线(2)过一点与(小,%)的圆的切线方程(OM:(xa)2+(yb)2=/)点E)(XO，%)在圆上步骤一：求斜率：读出圆心M3。)，求斜率除M,记切线斜率为&,则.,“我=-InA步骤二：利用点斜式求切线(步骤一中的斜率+切点(%,%)点4*0,%)在圆外记切线斜率为左，利用点斜式写成切线方程)，-%=以n-%)；在利用圆心到切线的距离d=r求出上(注意若此时求出的&只有一个答案；那么需要另外同理切线为X=Xo)(3)切线长公式记圆M:(x)2+(y-32=/；过圆外一点尸做圆M的切线，切点为“，利用勾股定理求P；知识点08：
7、圆上点到直线的最大(小)距离设圆心到直线的距离为d,圆的半径为当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：d-r；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2最小距离为：0；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：0；知识点09：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设。G：(x-ai)2+(y-hi)2=LlC2：（x-a2）2+（y-b2）2=r联立作差得到：Ar+By+C=O即为两圆共线方程三、典型例题讲与练考占清单01：二元二次方程表示曲线与圆的关系【考试题
8、型11二元二次方程表示曲线与圆的关系【解题方法】D2+E2-4F0【典例1（2023上湖北武汉高二华中师大附中校考期中）“无4”是“方程f+y2+H+-2）y+5=0表示圆的方程的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【典例2】（多选）（2023上江苏泰州高二泰州中学校考阶段练习）已知方程x2+y2-4%+8）,+2=0,则下列说法正确的是（）A.当=10时，表示圆心为（2,Y）的圆B.当1C.clD.cl【专训12】（2023上湖南常德高二校考期中）若方程/+9+（1及一2丁+2-6=0表示圆，则?的取值范围为.考点清单411三田eg02：求圆的方程【考
9、试题型1】求圆的方程【解题方法】圆的一般方程或标准方程【典例1】（2023上北京顺义高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知圆C的圆心坐标为（-3,2）,且点(TI)在圆C上，则圆C的方程为()B. y2+6x-4y-8 = 0D. X2 + y2 +6x-4y = 0A.X1+y2+6x-4y+8=0C.X2+y2+6x+4y=0【典例2】(2023上.天津和平高二天津市汇文中学校考期中)求适合下列条件的圆的方程.求过两点A(0,4),3(4,6)且圆心在直线2=0上的圆的标准方程.己知;45C的顶点为A(-l,5),3(5,5),C(6,-2),求JlBC外接圆的一般方程.【专训11】(20
10、23上.广东江门.高二台山市第一中学校考期中)圆Ua-I)2+(y+l=4关于直线X-2y+2=0对称的圆的方程为()A.(x-3)2+(y-l)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4C.(x-l)2+(y3)2=4D.(x+i)2(y-3)2=4【专训12】(2023全国模拟预测)函数f(x)=I-5x+4的图像与坐标轴交于点A,B,C,则过A,B,C三点的圆的方程为.老点清单03：由圆的方程确定圆心和半径【考试题型1】由圆的方程确定圆心和半径【解题方法】公式法或观察法【典例1(2023上湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习)若与y轴相切的圆C与直线/：)，=立彳也相切，3且圆C经过点P(2,
11、J),则圆C的半径为()7787A.1B.C.一或一D.1或一8833【典例2】(2023上安徽合肥高二校联考期中)已知eR,方程/+3+2)?+4x+8y+5=0表示圆，圆心为.【专训11】(2023上高二课时练习)已知A(0,0),3(6,0),C(T,7),求；ABC的外接圆的圆心坐标和半径.【专训12】(2023上北京西城高二北京育才学校校考期中)圆Y+y2+2y=的圆心坐标为,半径为一者占喑单04：圆过定点问题【考试题型1】圆过定点问题【解题方法】【典例1】（2019高一课时练习）已知方程Y+y2-20r+2（-2）y+2=0表示圆，其中aeR,且分1,则不论。取不为1的任何实数，上
12、述圆恒过的定点的坐标是.【典例2（2022上辽宁大连高二统考期中）对于任意实数4,曲线（1+；I）X2+（1+团/+（6-4/1-16-62=0恒过定点【专训1-1（2023上河南信阳高二统考期中）圆/+9+比一2）,一?=0恒过的定点是.【专训12】（2022全国高三专题练习）求证：对任意实数-2,动圆（+2*+5+2）/-4x-2=0恒过两定点.考占清单-05：直线与圆的位置关系【考试题型H判断直线与圆的位置关系【解题方法】几何法或代数法【典例1】（2023上黑龙江哈尔滨高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知2x0+为=5,则圆f+y2=2与直线玉4+%）,=2的位置关系是（）A
13、.相切B.相交C.相离D.不确定【典例2】（多选）（2024上.安徽.高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知直线/:/HLy-叶3=OWeR）及圆C:（x-2+（），-4）2=3,则（）A,直线/过定点B.直线/截圆C所得弦长最小值为2C.存在胴，使得直线/与圆C相切D,存在?，使得圆C关于直线/对称【专训11】（多选）（2023上湖北武汉高二华中师大一附中校考期中）直线Lx-y+l=O与圆U（x+）2+y2=2（T3y+2=0【考试题型2过圆外一点作圆的切线【解题方法】几何法（圆心到直线距离等于半径）【典例1】（2023上江苏镇江高二校考阶段练习）已知圆C:（x-iy+（y+2）2=4,自点
14、A（T,4）作圆C的切线/,则切线/的方程.【典例2】（2023上陕西西安高二校考期中）已知圆O：/+2=4和圆。：+（y-4）2=l.（1）判断圆。和圆C的位置关系；（2）过圆C的圆心C作圆O的切线/,求切线/的方程.【专训1-1（2023上江西宜春高三江西省宜丰中学校考期中）写出过点且与圆O:f+y2=4相切的直线方程.【专训1-2】（2023上甘肃武威高二校考期中）求过点（3,4）且与圆C（X-2）2+9=i相切的直线方程【考试题型31切线长【解题方法】勾股定理【典例1】（2022上福建厦门高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）己知直线/：+3-I=（XacR）是圆。:/+/一61-21=
15、0的对称轴，过点尸（-4M）作圆C的一条切线，切点为A,则IpAI=（）A.2B.43C.210D.7【典例2】（2023上河北邢台高二校联考期中）过直线4x-3y-5=0上一点P作圆C（+3）2+（y-l）2=11的切线，。为切点，则I尸QI的取值范围是（）A.B.6,+oo）C.5,+）D.2,-K）【专训11】（2023上湖北高三校联考开学考试）已知过点尸（3,3）作圆O:/+/=2的切线，则切线长为.【专训12】（2023上河南南阳高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知直线/：4x+3y+5=0,圆C（x-l）2+（j-2）2=4,若过/上一点A向圆C引切线，则切线长的最小值为（）A.
16、1B.2C.3D.y5【考试题型4已知切线求参数【解题方法】几何法（圆心到直线距离等于半径）【典例1（2023上湖北高二湖北省罗田县第一中学校联考阶段练习）过点（-1,0）与圆f+y2-4-机=0相切的两条直线垂直，则m=（）A.-B.-1C.1D22【典例2】（2023天津南开统考二模）若直线丘-），-2&+3=0与圆V+（y+）2=4相切，则攵=.【专训11】（2022全国模拟预测）已知直线/:工二阴），+3与圆C:W+y24x+g，+3=0相切，则机的值为（）A.-23B.23C.D.一空33【专训12】（2023全国高二随堂练习）已知圆C与圆Y+y2-2=0外切，并且与直线x+y=O相
17、切于点2（3,-6），求圆C的方程.【考试题型5切点弦及其方程【解题方法】【典例1】（2022下广东广州高二统考期末）过圆O:/+V=5外一点p（2,6）作圆O的切线，切点分别为A、B,贝”阴=.【典例2】（2023上高二课时练习）过点（3,1）作圆（x-lf+y2=的两条切线，切点分别为a,求直线AB的方程.【专训11】（2023上.安徽宣城.高三统考期末）过点尸（2,1）作圆/+丁=4的两条切线，切点分别为a、Bt则直线AB方程是.【专训12】（2023上河南漂河高一统考期末）已知圆M:d+y2=2,过圆外一点P（2,-2）作圆的两条切线PAp6（切点为A3）,则直线AB的方程为.l三08
18、:直线与圆综合【考试题型1】圆的弦长【解题方法】AB=2r2-J2【典例U（2024上湖北武汉高三统考开学考试）过点，*,j且倾斜角为!的直线/交圆f+丁-6y=0于AB两点，则弦AB的长为（）A.40B.22C.210D.10【典例2】（2023上广东广州高二华南师大附中校考期中）在平面内，A（3,0）,（-l,0）,C为动点，若ACBC=5（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线Lx-y+3=0与曲线。交于M,N,求IMNI的长.【专训11】（2023上广东东莞高二校联考期中）已知圆C:f+y2+4T2y+24=0,直线/：y=%+5,直线/被圆C截得的弦长为【专训1-2（2024上.北京房山
19、.高三统考开学考试）已知双曲线=的离心率为石，其中一条渐近线与圆（X-2）2+（y-2）2=1交于AB两点，则IAB|=.【考试题型2】已知圆的弦长求方程或参数【解题方法】AB=2r2-J2【典例1】（2023湖南校联考模拟预测）若直线/：火+如=O与圆Cf+9-4r-4yTo=O相交于A,8两点，AB8,则直线/的斜率的取值范围为.【典例2】（2023上.内蒙古呼伦贝尔.高二校考阶段练习）己知圆。过点O（0,0）（-1,-7）和8（8,-4）.求圆C的方程；（2）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于IABl的直线/的方程.【专训11】（2023上陕西西安高二长安一中校考阶段练习）直线+）=5=0
20、截圆C：f+y2_4x_2y+l=0的弦长为4,则=【专训12】（2023上河北邯郸高二校联考期中）已知圆目：（x-2）2+/=S,点尸是圆巴上的一点，点4-4,0）,点M是线段RA的中点，记点M的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；直线/过点（-2,2）且与E交于&C两点，若IBCI=2J,求直线/的方程.【考试题型3】圆的中点弦问题【解题方法】点差法【典例1（2023上广东高二校联考阶段练习）若点尸（1,2）为圆V+y2-6y=o的弦AB的中点，则弦A3所在直线的方程为（）A.x-y-l=OB.x+2y-5=0C.x-y+=0D.2x+y+5=0【典例2】（2023上福建福州高二校联考期中）
21、己知。：f+V=8,过点A（T,2）的动直线/与1。交于1,N两点.(1)是否存在弦MN被点A平分?若存在，写出直线MN的方程，若不存在，请说明理由;(2)弦MN的中点尸的轨迹为，求的方程.【专训I】(2023上宁夏银川高二银川唐徐回民中学校考阶段练习)已知圆C：x2+-4x-2y+l=0,圆C的弦AB被点P(2,0)平分，则弦43所在的直线方程是.【考试题型4】直线与圆的实际应用【解题方法】建系法【典例1】(2023上天津河西高二统考期中)如图，隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为am,那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少.【典例2(2023上云
22、南高二云南师大附中校考期中)-艘科考船在点。处监测到北偏东30。方向40海里处有一个小岛A,距离小岛10海里范围内可能存在暗礁.(1)若以点。为原点，正东、正北方向分别为X轴、)，轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的OA方程.(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30。方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？【专训11】(2023全国高二随堂练习)河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m,拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m,船顶部宽4m,可以通行无阻.近日水位暴涨了2.7m,为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多
23、少？(精确到0lm,参考数据987799.383)【考试题型5】直线与圆的定点定值问题【解题方法】韦达定理【典例1】(2023上河南南阳高二统考期中)已知圆UX2+34x+y2一办,一10一1(U=O(1)证明：圆C过定点.(2)当义=1时，是否存在斜率为1的直线/交圆C于A、B两点,使得以A3为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.【典例2】(2023上河北唐山高二校联考期中)已知圆Uf+y2=5,过圆上一点P(-2,1)作直线尸APB分别与圆交于AB两点，设直线尸APB的斜率为配内.(1)若圆C的切线/在X轴和轴上的截距相等，求切线/方程；(2)若4+e=1,求证
24、：直线48恒过定点.【专训11】（2023上广西梧州高二校联考期中）己知点P圆U（X+2f+（y-3）2=16上运动，点Q（4,-3）.（1）若PM=MQ,求点M的轨迹E的方程；（2）过原点O且不与轴重合的直线，与曲线E交于A（X2）,以天,必）两点，,+1是否为定值？若是定值,XX2求出该值；否则，请说明理由.【专训12】（2023上湖南益阳高二桃江县第一中学校联考阶段练习）已知圆。的半径为2,圆心在X轴的正半轴上，直线3x+4y+7=0与圆C相切.求圆C的方程.（2）过坐标原点O任作一条直线/与圆C交于AB两点，则在X轴上是否存在定点。（与。不重合），使得NAPO=NBPO恒成立？若存在，
25、求出。点坐标；若不存在，说明理由.【考试题型6】直线与圆的位置关系中的最值问题【解题方法】几何法【典例11（2023河南校联考模拟预测）圆/+/一4），+3=0上的点到直线3x-4y-2=。距离的取值范围是（）.A.1,3B.23,43C.,3D.2-3,2+3【典例2（2023上河南郑州高二郑州外国语学校校考阶段练习）已知实数x,y满足方程Y+）户-4x+l=O.求yr的最值；求f+产的最值.【专训11】（2023上湖南高二校联考期中）已知圆C过点0（0,0）,且与直线x+y+4=0相切，则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为.【专训1-2（2023上广东深圳高二校考期中）求圆丁+/一4），
26、+3=0上的动点尸到直线3x-4y-2=0距离的最大值.I者点清单-09：圆与圆的位置关系【考试题型U判断圆与圆的位置关系【解题方法】几何法【典例1】（2023上.山东日照.高二统考期中）己知圆0：/+/=4和圆Q：（x-3y+（y3）2=4,则圆O与圆。2的位置关系是（）A,内含B.相交C.外切D.外离【典例2】（多选）（2023上辽宁葫芦岛高二校联考期中）圆。：/+丁=1与圆加：*-）2+（丁-2）2=4的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离【专训11】（2023上新疆伊犁高二校联考期中）圆例：*一1）2+日+2）2=2与圆心x2+2y-8=0的位置关系是（）A.相交B.外离
27、C.内含D.外切【专训1-2（2023上山东潍坊高二统考期中）已知圆G：（x-l）2+=l,圆G：（x-2）2+（y-jf=4,则Cl与G的位置关系是（）A.外切B.内切C.外离D.相交【考试题型2】由圆与圆的位置关系求参数【解题方法】几何法【典例1（2023上江苏徐州福二统考期中）若圆G：（x-4+y2=l与圆G：Y+y2=25相交，则实数。的取值范围是（）A.（4,6）B.4,6C.（-6,-4）（4,6）D.-6,-44,6【典例2】（2023上浙江宁波高二校联考期中）若圆G：（x+lf+（y-2）2=l与圆G：（x-5）2+（y+6）2=r2（r0）相切，则r=（）A.9B.10C.1
28、1D.9或11【专训（2023上河北高二校联考期中）若圆O:f+y2=25与圆。2：（x7）?+产=/（,（）相交，则的取值范围为（）A.2,10B.（2,10）C.22D.（2,12）【专训12】（2023上浙江高二校联考期中）已知圆G：f+y2=6o）,圆c?：+37+（打牙=4,若与G有公共点，贝什的最小值为（）A.1B.3C.5D.7【考试题型3】圆的公切线条数【解题方法】几何法【典例1】（2023上浙江温州高二校联考期中）若圆+y2=4与圆产:丁+一4?=仅有一条公切线，则实数。的值为（）A.3B.1C.3D.1【典例2】（2023上吉林长春高二统考期中）两圆（x+2y+（y-2）2
29、=l与（-2）2+（丁-5）2=16的公切线有条.【专训11】（2023上浙江高二校联考期中）已知圆G：d+）,2=i与圆G：a+3）2+（y+4）2=16,则两圆的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【专训1-2（2023上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）若圆（1-。）2+（5-1）2=4和圆/+丫2=1恰有三条公切线，则实数“=.且考点清号10：圆与圆相交【考试题型I】相交圆的坐标【解题方法】联立【典例1】（2022上高二课前预习）圆/+y2=与圆J+y2+2+2y+l=0的交点坐标为（）A.(,0)和(0,1)B.(1,0)和(0,T)C.(-1,0)和(O,T)D.(TO)和
30、(0,1)【专训11】(2022高二课时练习)两圆(x+l)2+(y-1)2=/和0-2)2+(y+2)2=R2相交于尸、Q两点,若点尸坐标为(1，2),则点。的坐标为【考试题型2】相交圆的公共弦方程【解题方法】作差【典例1】(2023上湖北武汉高二湖北省武昌实验中学校联考期中)圆C：V+/=与圆g：(XT)2+(y+2)2=4的公共弦所在的直线方程为.【典例2】(2023上河北张家口高二校联考阶段练习)已知圆。：/+)，2-2工_8=0,圆C2:Jt2+y2-4y-4=O.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；【专训11】(2023上湖南高二湘潭县一中校联考阶段练习)已知
31、圆G：Y+y2-6x-12y=0和圆C2rx2+4x-5y-3=0,则圆C与圆G的公共弦所在的直线方程为.【专训12】(2023上河南南阳高二校考阶段练习)已知圆G：V+y2-2-6y-1=0与圆G：x2+-10x-12y+45=0.(I)判断圆Cl与圆G的位置关系；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程.【考试题型3】相交圆的公共弦长【解题方法】AB=14rr【典例1】(2023上广东汕头高二校考期中)圆G：+-4+2y+l=0lC2:+-2y-3=0ffi于A,8两点，则IAM等于.【典例2】(2023上广东深圳高二统考期中)已知两圆6：/+9+2工一6)，+1=0和C2:x2+y2-6x-12y+n=0,求：(1)当机取何值时两圆外切？(2)当帆=-9时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.il1-1(2023上重庆高二重庆巴蜀中学校考期中)圆G：(x-lf+y2=与圆&：f+9+2%+4)，一4=0的公共弦长是
