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1、7.4.2超几何分布素养目标定方向学习目标1 .通过具体实例，了解超几何分布及其均值，能够判断随机变量是否服从超几何分布.2 .能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决简单的实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值与方差.核心素养1 .借助对超几何分布概念的理解，培养数学抽象素养.2 .通过对超儿何分布的应用，提升数学建模与数学运算素养.A必街知识探新知知识点超几何分布(D定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有4件次品.从N件产品中随机抽取件(不放回)，用 ;表示抽取的件产品的次品数，则Zr的分布列为尸Cr=Q =c,k=h 加+1,Zff+2,r.其中mMMWN,恒Mz=max0,刀
2、一A+M,r=min)j,如果随机变量乃的分布列具有上式的形式，那么称随机变量/服从超几何分布.(2)均值：E(X)=npt其中。=患N件产品的次品率.想一想：不放回抽取和有放回抽取有何不同？提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取个，有放回抽取要抽取次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布.练一练：1 .某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从10人中任选4人参加某种活动，用4表示4人中的团员人数，则P(1=3)=鲁_.解析PCT=3)=CAC=11.ioZl2 .在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则Ea)=T解析三
3、=4=关健能力攻重难题I型I探究题型一超儿何分布的概率及其分布列典例1某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(D求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；(2)设才为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量J的分布列.解析(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件小则Pa)=-_力4960,49所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为方(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.cfm=A)=
4、0,1,2,3),/、Cbd 1JPg3)=Fr=而PlX=* =所以ZV=O)=等q,尸gD=等q,UjoOVio乙X0123P16123To130所以随机变量I的分布列为规律方法求超几何分布的分布列的步骤:10第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值:第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;第三步，用表格的形式列出分布列.超几何分布的关注点:(D超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，其实质是古典概型.(2)超几何分布的特征是考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察某类个体数的分布列.1对点训练袋中有4个
5、红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.(D求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率.解析(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故片的可能取值为5,6,7,8.PCr=5)=萼=煮AX=6)=善嘿C?OQ网尸7)_型一经-C?-35,、cl1P(X=8)=T7=-U74=，1，2,3.计算得v=0)=4g,尸gi)=y/52/8尸Gr=2)=T函，尸(X=3)=1诉,即X的分布列为0123P219733753385281125112533
6、75规律方法区别二项分布与超几何分布的方法一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重更试验”，对于抽样，则是有放回抽样.当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆.1对点训练瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某地区为了对12岁儿童的瞬时记忆能力进行调查，随机抽取了该地区40名12岁的儿童，其调查结果如下表所示,例如表中听觉记忆能力为中等且视觉记忆能力偏高的人数为3.听觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉偏低0751记忆中等183b能力偏高2a01超常0211表中两个数值d丢失，但已
7、知抽取的40人中视觉记忆能力为中等且听觉记忆能力为中9等或中等以上的频率转.(D试确定a与。的值；(2)从40人中任意抽取3人，设听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的人数为K求X的分布列；(3)若将抽取的40人中视觉记忆能力超常的频率视为全市12岁儿童中视觉记忆能力超常的概率.现从全市12岁的儿童中任意抽取3人，设其中视觉能力超常的人数为匕求V的分布列.解析(D抽取的40人中视觉记忆能力为中等且听觉记忆能力为中等或中等以上的人数为8+a+2=10+a.由条件得W-,解得百=6.4U0又a+b=40(7+5+1+1+8+3+2+1+2+1+1)=8,所以6=2,即&6的值分别为6,2.(2)4
8、0人中听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的共有24人.由题意知随机变量I服从参数为,g=40,JU24,=3的超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3.其分布列为P(I=A)=3-kW-,k=Q,1,2,3.V40计算得尸(X=O)=*=急，U40/勺(双/2)强一型-外2)一僚-1235Pg)=旭=卫一3)-CO-I235,故X的分布列如下:0123P14247722475522531235123551(3)抽取的40人中视觉记忆能力超常的频率为/=曰即全市12岁儿童中视觉记忆能力超ZlUo常的概率P=I,从全市12岁的儿童中任取3人，可视为3次独立重复试验，因此随机变量Y-O43,j,尸
9、(勺依=6(目(1一目1,4=0,1,2,3.计算得P(Y=O)=潟，31Z故y的分布列如下YO123P343512147512215121512题型三超儿何分布的综合应用147211P(Y=X)=777Pg2)=,AK=3)=77712DlZDlZ典例3目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类.生活垃圾中有30%40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低
10、造纸的污染排放75%,节省造纸能源消耗40%50现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：力小区6小区C小区小区小区废纸投放量(吨)55.15.24.84.9塑料品投放量(吨)3.53.63.73.43.3(1)从力，B,3D,这5个小区中任月投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨X1个小区，求该小区12的概率；月份的可回收物中，废纸(2)从4B,C,D,这5个小区中任取2个小区，记乃为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求才的分布列及期望.解析(1)记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件
11、4由题意，得反C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过23.5吨，所以Pa)=ND(2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有8,C,共2个小区.1的所有可能取值为0,1,2.z、d3PgO)飞=而P(T=I)Ch Cj 6 3d =W=5;C51Pg2)=Sr而所以I的分布列为X012P3W351To3314E(X)=OX-+l-+2=-IUIUD规律方法超几何分布的应用(D超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等.(2)这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种
12、性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等.(3)在实际问题中需通过关注的实际对象来确定3的值.(4)注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序.如产品问题中，以，机曲的意义是“超几何分布(取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”.1对点训练某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表：摸出的5个
13、球中带“奖”字球的个数奖品0无1无2肥皂一块3洗衣粉一袋4雨伞一把5自行车一辆(D若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率;(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率.解析设X为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则乃服从参数为310,JU5,=5的超几何分布.X的可能取值为0,1,2,3,4,5,则I的分布列为：PCr=Q =do=0, 1,2, 3, 4, 5).若要获得奖品，只需庐2,则尸U2)=1一尸(2)=1(才=0)-P(X=I)_dddd_ii3-,P5P51QZ2*1252,VioCio(2)若要获得自行车，必须才=5,则Pcr=5)=声Vio易I错I警1示对超几何分布的概念理
14、解不透致错典例4盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数才的分布列.错解h”(3,3,12),a-kP(=A)=W-(A=0,1,2,3),：.P(X=O) =Cd_21 CT=55,A/= D =CC 27 cT=55,X2)C?2-220,p(x=3)=d2-220,.，丫的分布列为XO123P21272715555220220正解尸(I=O)才的所有可能取值为0,1,2,3.Ai3.rAlAi9-A4,PaT)-Ai44,仆A99,小Ai1P(=2)=,7T=77T*P(I=3)=-T
15、i-=77A12ZZv2ZZ因此，随机变量X的分布列为O123P3494492201220点评本题易错认为13（3,3,12）,得到取出的次品数尤A）课堂检测周双基三三三三三三三B三B三三三三三三三三三三三三三B三三三三三三三三三三三三三三Z1.在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量J表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则才服从超儿何分布，其参数为（八）A. Afe=Io,.M=4,=6B. A仁10,JU6,=4C.414,gl,/7=4D.-14,仁4,/7=10解析根据超几何分布概率模型知胪=10,.仁4,/7=6.2 .从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，
16、则至少有3张月的概率为（D）D cidb TTA等C52C. 1ncn+dc8d-三-3,2解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（后3）=P（=3）+AJ=4）=苣寸cicisc,3 .盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（B）.24a, 3512 c35C18B-35D.解析由题意得所求概率为片管=啜嗡4 .现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为f,则尸（、2）=嚼_,ENT-解析根据题意可得：f的取值可为1,2,3,4,又P(f=1)=,CWqC21P(f=3)=d=近，A=4)=-,Q1CQ1in(C=IX尹2X赤+3X而+4X而
