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1、概率论与数理统计主要内容小结概率局部1、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：其中。,当,纥是空间S的一个划分。贝叶斯公式：P由I公=广幻P(A田)力P(Bj)P(AIBj)其中男,星,8”是空间S的一个划分。2、互不相容与互不相关AB互不相容OAn8=。,P(Af8)二。事件AB互相独立=P(AB)=P（八）(B);两者没有必然联系3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。X伙1,P),即二点分布，那么分布律为Px=k=pk0-p)i,k=0,1.X久,p),即二项分布，那么分布律为Px=k=CP1-p)n-k=0,1,.,n.X
2、ie,xw(a,b)X万(,即泊松分布，那么分布律为Px=k=-=0,1,XU(,b),即均匀分布，那么概率密度为f()=b-a0,其它x(。),即指数分布，那么概率密度为F(X)=Je.0,其它1*2XN(4,),即正态分布，那么那么概率密度为/()=-e2,一OOVXO(或g(x)O),那么Y概率密度为：其中，z(y)是g(x)的反函数，且有=ming(-OO),g(+oo),7=maxg(-oo),g(+8).(ii)利用分布函数计算：先求y=g)值域，再在该值域求Y的分布函数那么有4(y)=F(y)常用求导公式5、二维随机变量分布律对于二维连续性随机变量(X,y),其联合概率密度为7(
3、x,y),其联合分布函数为/(x,y),那么F(x,y)=,：/(，V)dvdu,概率密度性质：(i)/(x,y)O,(ii)f(u.v)dvduJ-DOJ-X概率密度f(x,y),求区域概率有P(x,)D=f(x,y)dydx,D边缘分布函数为Fx(x)=JJ：/(，v)dvdu,FX(y)=v)dudv,边缘概率密度为Fx(X)=f(x9y)dy,f(y)=f(x,y)d.J-8J-OC条件分布函数为FXIy(XIy)=L当弋八，KuUI幻=L弊卜匕条件概率密度为rUy)=坐斗，4X(yI幻=需-f(y)fM对于离散情形，设联合分布律为PX=i,Y=yj=Pij边缘概率密度为PX=Xi=Y
4、pij=P-PY=y.=pij=Pjj=Z=I条件概率密度为尸丫=XIX=X=，PX=iY=yj=-L.6、二维随机变量函数的分布设二维随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)，分布函数为F(x,y)(i) Z=X+Y,那么Z的概率密度为当X,y相互独立时，fz(Z)=X(Z-y)fr(y)dy=jfx(x)fy(z-x)dx(ii) M=maxX,Y与N=min(X,Y当X,Y相互独立时,Fm(z)=Fx(z)Fy(z)fFN(Z)=I-(I-FX(Z)X1-4(Z)7、数学期望(i)求法：连续随机变量X概率密度为/a),那么E(X)=%。)公；假设y=g(X),那么E(Y)=fg(x)f(
5、x)dx.离散随机变量分布律为Px=pjt,那么E(X)=SZp;假设Y=g(X),那么k=E(X)=g(xk)pk.Jl=I假设有二维的随机变量(X,y),其联合概率密度为/(x,y),假设Y=g(X,Y),那么E(Y)=J：匚g(x，y)f(x,y)dydx.(ii)性质：E(C)=C,E(CX)=CE(X),E(X+Y)=E(X)+E(Y)x,y相互独立，那么有E(Xy)=E(X)(丫).8、方差定义：D(X)=ElX-E(X)2,标准差(均方差)：JaX).计算：D(X)=E(X2)-I(X)J2性质：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X).常见分布的数学期望和
6、方差：两点分布：E(X)=P1D(X)=P(I-P).X仇,p),即二项分布，那么E(X)=np,D(X)=np(-p).X粗,即泊松分布，那么E(X)=ZD(X)=ZXU(4,6),即均匀分布，那么E(X)=巴心,D(X)=S.212XE(8),即指数分布,那么E(X)=3D(X)=XN(M,，),即正态分布，那么E(X)=,O(X)=/9、协方差与相关系数定义：协方差:Cov%x,y)=F(x)F(y)=f(x)f(y)=E(X,Y)=E(X)E(Y)F为分布函数，而f为概率密度一般情况下，X,y相互独立=x,y不相关，但反之不成立；特殊情况，当(x,y)N(外,2；。：,犬;夕)时，X,
7、丫相互独立ox,丫不相关并且此时E(X)=，夙丫)=2；。(X)=b(Y)=1px=.Cov(XI)=px2.11、切比雪夫(ChebySheV)不等式：设随机变量X的期望与方差为E(X)=,O(X)=b?,那么对任意正数0,有PX-E(X)e即尸X-4g.进一步有：PX-E(X)1-,BPPX-OM=1,2,，那么当n充分大时，Yn =NXk-E(NXk)/=14n近似N(OJ).定理2(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量%,=1,2服从参数为2,p(0p,X+%5-l)nX+-1),X-ta(n-1)Jnyn(-1炉 5-1炉Z (l)%(l)122当未知，的置信区间，枢轴量力2=%二臂42
8、(一)双侧置信区间：(S-DS-S-I)S-),双那么置信上、下限:/ad)Z(T)1单侧置信区间：(0,(12),(ST)S2+8)41“(1)Na(一D假设检验的根本原理：小概率事件在一次观测实验中几乎不可能发生单侧置信上、下限:-W (-WNI“( T)ZaST)两个总体情形:C2 / C2当问,2未知，的置信区间，枢轴量/=U-F(Z21-l,Zl2-D (7 / 2双侧置信区间:双那么置信上、产 1S121Si F0(% T)S F (n1-l,n2-l, I 22下限.建!膛!,S; F 以g1,2D S； Fa(nl-Kn2-1) 1 22单侧置信区间:S； 1S： 1(商/Y(
9、l，2 T)(记 -1,2 -1)+8单侧置信上、下限:5121 S； 1S；月_。(1 1，% -D S； Fa(n l,n2 -1)在求解置信区间时，先分清总体属于那种情况,然后写出置信区间，再代数值。7.假设检验显著性水平a：小概率事件发生的概率，也是拒绝域对应事件概率，显著性水平越大，拒绝域越大。两类错误：对原假设H0,备择假设H1,第一类错误Hx不真，接受Hl,第二类错误Hq不真，接受Ho,为减少两类错误，需增加样本容量。假设检验的根本步骤：（i）提出假设；（ii）选取检验统计量；（iii）确定拒绝域；（iv）计算观测值（V）并作出拒绝与接收原假设判断P值检验：计算P值，与显著性水平
10、a比拟，p值小于a拒绝原假设，否那么就接收原假设；P值计算方法是将观测值作为拒绝域临界点，代入拒绝域事件计算其概率。假设检验的情形：见书中164表，请复印下来，以便记忆，重点是1、2、3、7种情形，其余的也最好熟记。特别要注意，对假设检验问题，首先只看总体，是单个总体，还是两个总体，是对均值检验还是方差（精度）检验，假设是均值检验，要看总体方差是还是未知，总之要分清情形；另外假设是单侧检验，要写对原假设与备择假设，一般问有没显著改变，就是双侧检验，有没有显著提高就是右单侧检验，有没有显著降低就是左单侧检验；同时，把不含等于的情形作为备择假设，含有等于的作为原假设，如不超过多少，就是小于等于，这种含有等于，作为原假设。在双侧检验中，要写全拒绝域，然后看观测值是否满足不等式，以作推断。考试重点：全概率公式，独立性与不相关性等，一维，二维随机变量函数的概率密度求法，随机变量函数的概率密度求法，边缘概率，条件概率，期望，方差，协方差，点估计及其评价标准，假设检验。
