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1、第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分.本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用.此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体.最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分.6.1 定积分的概念与性质1 .定积分的定义我们先来研究两个实际问题.例1计算曲边梯形的面积设y=()为闭区间眸向上的连续函数，且/()0.由曲线y=(x),直线X=,X=匕及R轴所围成的平面图形(图61)称为在S,例上的曲边梯形,试求这曲边梯形的面积.图61我们先来分析计算会遇到的困难.由于曲边梯
2、形的高/*)是随X而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积.但我们可以用平行于y轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图61所示.在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值.容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法.下面我们分三步进行具体讨论：(1)分割在中任意插入-1个分点a=xqx1X2xn.xn=b把向分成个子区间IXo,x,x1,x2,xm.i,xm,每个子区间的长度为Xi=再一Xi-I(i=l,2,)(
3、2)近似求和在每个子区间札,即(i=1,2,)上任取一点媒，作和式/)3Z=I2 1.1)(3)取极限当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A).因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有(l)xf.A.Z=I例2求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度U是时间，的连续函数u=u).试求该物体从时刻，=。到时刻f=人一段时间内所经过的路程S.因为V=U是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程.但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题.(1)用分点a=t0tlt2-tn,itn=b把时间区
4、间3切任意分成个子区间(图62)：瓦JJ也由每个子区间的长度为M=4-%(=l,2,n).。=，Oft2tn-tn=h图62(2)在每个子区间HiJj(i=12)上任取一点叫,作和式Jlv()z,1=1(3)当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有v(rr.)fs.Z=I以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(LI)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促
5、使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念.定义6.1.1设函数/(x)在口,切上有定义，在伍力)内任取1个分点a=x01X2xn=b把向分成个子区间IXo,x,x1,x2,xm.i,xm,每个子区间的长度为xr.=xr.-xt._(i=l,2,在每个子区间IX=1,2,上任取一点Jj(称为会点)，作和式SGj)Xj,并记4=膜xxj如果不论对向怎样划分成子区间，也=11M不论在子区间次一”上怎样取介点乙，只要当4fo时，和式(1.1)总趋于确定的值/,则称这极限值/为函数X)在区间修力1上的定积分,记作f(x)公，即f(x)dx=I=ym(1.2)i=其中幻称为被积函数
6、,X称为积分变量,必,外称为积分区间,4匕分别称为积分的下限和上限.关于定积分的定义，再强调说明几点：(1)区间。,可划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或的大小来确定.因为尽管很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小.所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度；l0,这时必然有-8.(2)定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限.尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当40时却都以唯一确定的值为极限.只有这时，我们才说定积分存在.(3)从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数人幻在,例上有界.因为如果
7、不然，当把口,依任意划分成个子区间后，/(X)至少在其中某一个子区间上无界.于是适当选取介点媒，能使/(4)的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值.(4)由定义可知，当在区间川上的定积分存在时，它的值只与被积函数/(幻以及积分区间加有关，而与积分变量X无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有f(x)dx=f(t)dt=.(5)我们仅对“V8的情形定义了积分f(x)公，为了今后使用方便，对a=b与。的情况作如下补充规定：当=人时，规定fxdx=0；当。b时，规定，/(x)公=一，f(x)dx.根据定积分的定义，我们说：例1中/(幻在。,切
8、上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标/(幻从4到6的定积分A=Jf(x)dx.它就是定积分的几何意义.注意到若/(x)0,则由/(4)0及AG0可知r(x)dxO.这时曲边梯形位于X轴的下方,我们就认为它的面积是负的.因此当/(X)Ja图63例2中物体从时刻。到时刻人所经过的路程就是速度W/)在时间区间3切上的定积分s=fv()dt.Ja对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义.当/(幻在区间M上的定积分存在时，就称幻在刖,加上可积,说明(3)表明：/(幻在口,加上可积的必要条件是/(X)在4,加上有界.下面是函数可积的两个充分条件，证明从略.定理6.1.1(1)若/(X)在。向上连续
9、，则/(X)在。向上可积.(2)若/(X)在3切上有界，且只有有限个间断点，则/(x)在。,切上可积.3 .定积分的基本性质定理6.1.2(积分的线性性质)(1)若Fa)在3句上可积,我为常数，则A(x)在口向上可积，且kf(x)dx=kbf(x)dx(1.3)JaJa(2)若/(x),g*)在4,句上可积，则/(x)g(x)在冬加上也可积，且p(x)g(xy)dx=bf(x)dxbgxdx.(1.4)JaJaJa证根据定义，有a工工chkf(x)dx=HmZkf(i)Axi=kIimZ/()x,.=kf(x)dx.i=z=l所以(1.3)式成立.类似可证(1.4)式成立.定理6.1.2的更一
10、般的结论是fW4zx=J。)心j=7三其中人(幻(，=1,2-)在3向上可积，帚(,=1,2,)为常数.定理6.L3(积分对区间的可加性)设/(x)是可积函数，则f(x)dx=fxdx+fxdx(1.5)对,力，c任何顺序都成立.证先考虑0(i=12,)，所以上式右边的极限值为非负，从而有rbfbIg(x)dxfxdx.JaJa(1.(6) 立.从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1若/(x)在3切上可积，且/(x)0,贝Ujf(xrO.推论6.1.2(积分估值)若/(幻在,加上可积，且存在常数相和“，使对一切Xa9b有加/(x)M,则m(b-a)ff(x)dxM(b-a).Ja推论6.1.3
11、若/(x)在口向上可积，则(幻|在口向上也可积，且Jf(x)dxf(x)dx.这里I/(X)I在b上的可积性可由/(x)的可积性推出，其证明省略.推论6.1.4(严格不等式)设八幻是眸,切上的连续函数，若在3句上/(x)0且/W三0,则ff(x)dx0.Ja证由假设知，存在/(向使/(%)(),根据的连续性，必存在与的邻域(Xo-3,%o+5)u,勿，使在其中/(x),从而有fxdx=Pfxdx+(x)d+C,f(x)dxJaJaJxQ-bJ+f(x)dx2J=(xo)O,h-62所以结论成立.定理6.1.5(积分中值定理)若F(X)在,例上连续，则在,切上至少存在一点4,使得Ibf(x)dx
12、=f()(b-a).(1.7)7证因为/(X)在3切上连续，所以/(X)在。,句上可积，且有最小值2和最大值M.于是在0,b上,fbm(b-6f)f(x)dxM(b-a)fCfxdxm包M.b-a根据连续函数的介值定理可知，在句上至少存在一点,使bf(x)dx所以(1.7)式成立.积分中值定理的几何意义如图6-4所示.yOabX图64若/*)在睥力上连续且非负，则Ax)在句上的曲边梯形面积等于与该曲边梯fbfbIf(x)dxIf(x)dx形同底，以=为高的矩形面积.通常把/(,即工称为函数/()b-ab-a在冬例上的积分均值,而这正是算术平均值概念的推广.定理6.1.6(推广的积分中值定理)若
13、/(x),g*)在向上连续,且g(处在口向上不变号，则在例上至少存在一点J,使得f(x)g(x)djc=f()g(x)dx(1.8)证不妨设在切上有g(x)O,则fg(x)公0,且在勿上mg(x)*)g(x)Mg(x)，其中m,M分别为/(x)在凡句上的最小值与最大值.由此推出mhg(x)dxCf(x)g(x)dxM.JaJaJa若fg(x)dx=O,则由上式知f(x)g(x)dx=O.Ja从而在出,切上任取一点作为J,(1.8)式都成立.若jg(x)dxO,则得phf(x)g(x)dxmM.fg(x)dx按连续函数的介值定理推出，在用上至少存在一点S,使fxgxdx=G)Jg(x)dx所以(
14、1.8)式也成立.6.2微积分学的基本定理与基本公式若已知/“)在口句上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的.本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式.1 .微积分学基本定理设函数/(幻在区间口切上可积，则对伍,切中的每个X,/(幻在口处上的定积分7公都存在，也就是说有唯一确定的积分值与X对应，从而在口,切上定义了一个新的函数，它是上限工的函数，记作),即(x)=ff(t)dttxa,b.这个积分通常称为变上限积分.定理6.2.1设/(x)在切上可积，则(X)=/(r)dt
15、是a,b上的连续函数.证任取X及rO,使x+x,/?.根据积分对区间的可加性，=(x+x)-(x)=Jf(t)dt-yf(t)dt=f(t)dt.由于/*)在切上连续，从而有界，即存在0,使对一切x,切有(x)M,于是w=IMx.故当AvO时有(x)0.所以*)在X连续，由x,A的任意性即知(x)是回上的连续函数.定理622(原函数存在定理)设/(x)在&切上连续，则(X)=Q)M在团,加上可导，且,(x)=f(x),x三a,b,也就是说(X)是/(X)在句上的一个原函数.证任取xt4,0及xO,使x+x4,A.应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有x+=(xx)-(x)=f(t)dt=f(
16、x+x)x,或一=/0+如)，(oei).(2.1)x由于f(x)在a,b上连续，Iim/(xr)=f(x).rO故在(2.1)中令xO取极限，得Iim=/(x).AVTOx所以(X)在句上可导，且G)=(x).由x,切的任意性推知6(X)就是/)在切上的一个原函数.本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题.它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数/*)的一个原函数.回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数.这里若把中)=/(x)写成7力=/*),axja或从d(x)=fxdx推得xz(o=7=),就明显看出微分和变上限积分确为一对互
17、逆的运算.从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体.因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理.推论6.2.1设/*)为连续函数，且存在复合/以幻与/以幻,其中以幻，以4皆为可导函数，则dt=f(x)x)-f(x)V(x)(2.2)证令(X)=f(r)dr,为门幻的连续区间内取定的点.根据积分对区间的可加性，有力=，力-、力*JaJa=(x)-(x).由于F(X)连续，所以W为可导函数，而例幻和必幻皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有力=6S(X)M(X)-6恢)()dx年=FS(X)Wa)-/M所以(2.2)式成立.例1.证明：若/(x)在(-8,
18、+8)内连续,且满足/(x)=f)力,则f(X)三0JO证由假设知f(X)=/4在(一8,+8)内可导，且/(x)=(x).令JOF(x)=f(x)ex,X(-,+),则FXx)=f,(x)e-f(x)ex=O.所以F(x)三c,X(-,+).由于/(0)=/(0)=0,可得/“)三.从而有f(x)=F(x)ex三0,xe(-,+oo).fe-rdt例2.求IimJCOSX.XToX2解应用洛比达法则，2rs-ur-ec 71-X2 dx ；(4) I sin x Ix(cosxySinx1cos21T原式=Iim=Iime=-e.XTo2xX222 .牛顿一一莱布尼兹公式定理6.2.3设/(
19、x)在,切上连续，若QX)是/(x)在,句上的一个原函数，则Ihf(x)dx=F(b)-F(a)(2.3)1证根据微积分学基本定理，/4是/(无)在m,句上的一个原函数.因为两个Ja原函数之差是一个常数，所以jf(t)dt=F(x)+C,Xa,b.上式中令X=，得C=-尸()，于是f(t)dt=F(x)-F(a).再令X=即得(2.3)式.在使用上，公式(2.3)也常写作Cf(x)dx=F(x)ltJa或jxdx=F(xa.公式(2.3)就是著名的牛顿一一莱布尼兹公式,简称NL公式.它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：/*)在几切上的定积分等于它的任一原函数厂(刈在僧,切上的增量，从而为我
20、们计算定积分开辟了一条新的途径.它把定积分的计算转化为求它的被积函数/*)的任意一个原函数，或者说转化为求/*)的不定积分.在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的.因此N-L公式也被称为微积分学基本公式.例3计算下列定积分(1) fx4-x2dxi(2)产产2();JoJoa+z132Q解原式T-FdIXa*I冗(2) 原式=-arctan二=arctan3=.aaQa3a(3)原式=伫Jl+f+Ilna+J+2)j22=-2+ln(l+2).2(4)原式=ISinX:+J(-SinX)公=-cos%+cosx=4.例4设/(x)=，求f(x)dx.3-
21、x,1x3jo解/(x)dx=(X2+1)dx+j(3-x)dxr3r231=(+x)n+(3x+-)=3-.3lo236.3定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿一一莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决.但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求.在定积分的计算中，除了应用N-L公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便.1 .定积分的换元积分法定理6.3.1设函数/(x)在,切上连续，函数X=(t)在/(/=,川或,)上有连续的导数，并且p()=,(B)=
22、b,a,/(x)在4例上可积，则称形式(X)dxJa(4.1)为函数AX)在+8)上的广义积分.若极限IimPf(y)dx(ba)(4.2)存在，则称广义积分(4.1)收敛，并以这极限值为(4.1)的值，即rfhf(x)rx=Iimf(x)dx.Jab-Ja若极限(4.2)不存在，则称广义积分(4.1)发散.由定义可知，我们讨论广义积分(4.1)的敛散性，其含义就是考察变上限积分F(b)=j/(x)dx(ha)当6+8时的极限是否存在.例1讨论广义积分siJ公的敛散性.rXX2解任取匕一，有1cosXXb=COS2b9因为IimF(b)=Iimcos=1,fe+b4b所以这广义积分收敛，且l1
23、sindr=1.xx若/(幻在,+8)上非负，且广义积分(4.1)收敛，则积分(4.1)的值从几何上解释为由曲线y=/*)与X=。及工轴所围向右无限延伸区域的面积(图65中阴影部分).类似地利用极限Iimf(x)dx(a0+工7171=Iim(一arctana)+Iim(arctan/?)=-()+-=-Y0c22为了书写的统一与简便，以后在广义积分的讨论中，我们也引用定积分(也称常义积分)N-L公式的记法.如例2可写成Edx+z、-T=arctaru=-(-)=1 +x222例3计算广义积分“力力(0)解人士叱=-3啡”+5例4证明广义积分9当p1时收敛，当pl时发散.证当P=I时，;史+Q
24、O=+JlXP当pl时，a立=_Ly-舌，P11xpI-Ph+,P1时收敛，其值为一；当Pl时发散.I-P2 .无界函数的广义积分定理6.4.2设/(x)在(凡切上有定义，而在的右邻域内无界.若对任何正数,/(X)在+,勿上可积，则称形式Cf(x)dx.(4.4)Ja为AX)在(内方上的广义积分.若极限Iimf(x)dx,(4.5)04J十存在，则称广义积分(4.4)收敛,并以这极限值为它的值，即fbfbf(x)dx=Iimf(x)dx.JafO+J4+c若极限(4.5)不存在，则称广义积分(4.4)发散.与无穷限广义积分一样，记号(4.4)的含义是指考察变下限积分rbF)=/(x)dx,O0
25、)的瑕点.=Iim,CX-=Iimarcsin11fEJ。ya2-X2f-*,a=Iimarcsin=arcsinl=.oa2例6讨论广义积分J：9的敛散性.解X=O为函数4的瑕点.由于XIimA0r fl dxIim = Iim _()+ J x2T0+1-1+=+8,_所以广义积分空发散，从而推出广义积分当发散.JoZJ-IX，注意，如果我们疏忽了冗=0是瑕点，就会得出错误的结果:J11=U1=-2.J-IXLxT例7证明广义积分工9当4+ooJaXx)dx=(，-/)=(u)du,于是fxdx=IimJ1W(U)du=1(u)du.其中少3)=g),=。是它的瑕点，即上式右边为无界函数的
26、广义积分.UU6.5定积分的应用定积分是具有特定结构的和式的极限.如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间口,句上确定，当把加分成若干个子区间后，在切上的量。等于各个子区间上所对应的部分量。之和(称量。对区间具有可加性),我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量。求出.现在我们来简化这个过程：在区间4向上任取一点X，当X有增量(等于它的微分公)时，相应地量Q=Q(X)就有增量AQ,它是。分布在子区间区x+dr上的部分量.若。的近似表达式为Qfd)dx=dQ,则以/(处公为被积表达式求从。到b的定积分.即得所求量Q=f(x)dx.这里的dQ=(x)公称为量Q的微元
27、,或元素,这种方法称为微元法.它虽然不够严密,但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确.因此在实际问题的讨论中常常被采用.本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用.1.平面图形的面积1)直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若/(x)是区间句上的非负连续函数，则/(x)在。,切上的曲边梯形(图61)的面积为A=fx)dx.(5.1)若F(X)在3加上不都是非负的(图6-3),则所围面积为A=fx)dx.(5.2)一般地,若函数工(幻和.八)在他,句上连续且总有工*)2(),则由两条连续曲线y=(),y=人(%)与两条直线X=。，=b所围的平面图形(图66)的面积元素为dA=f1x-fxx
28、dx.所以如果连续曲线的方程为x=0(y)(0),则由它与直线y=c,y=d(c轴所围成的平面图形(图67)的面积元素为dA=(y)dy.所以图67其匕情形也容易写出与公式（5.2）、（5.3）相仿的公式.例1求由两条抛物线V =,），= /所围图形（图68）的面积.解联立，2y x解得 = OXx = I.所围的面积为一 IA = (x-x2)dx= -xi -X3 =-品1_33 J0 3例2求由抛物线V= 2x与直线y解联立y2 = 2x y = x-4解得曲线与直线的交点(2,-2)和(8,4).以X为积分变量，则所求面积为A = J 2x - (-V2x) Jx + 2x -(x-4
29、)Zr图69=2V2 + V2 8= 18.2A = 4,(y + 若以y为积分变量，则=18.2从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便.例3求椭圆W+A=I的面积（图610）.ab解由于椭圆关于X轴与y轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍.A=4ydx=4,ya2-x2dx4b1 T a2 . X- -X Harcsn2在例3中，若写出椭圆的参数方程x=acost(0t2)fy=bsint应用换元公式得A=4.ZJsint(-asint)dt=4a嵋sin2tdt=4ab=ab.4一般地，若曲线由参数方程=ab .图 610X=(PQ),y=Wa)at)给出，其中9),My)及9,(。在陵,切上连续，记(a)=a,()=b,则由此曲线与两直线X=,X=/?及X轴所围图形的面积为A=(t)t)dt.求由摆线x = tz(r-sinr),y = tz(l-cosr)的一拱(0 2)与横轴所围图形(图例4611)的面
