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1、第05讲解三角形拓展与应用【人教A版2019】模块导航 模块一解三角形综合问题 模块二测量问题 模块三课后作业模块一卜解三角形综合问题基础知识1 .解三角形中的重要模型中线模型(1)中线长定理：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD是BC边上的中线，则AB+AC2=2(BD2+AD2).(2)向量法：AD2=1(Z2c2+2bccosA).2 .解三角形中的重要模型一一倍角模型B=2Ab1=aCa+C)C=2Bc2=Kb+a),这样的三角形称为“倍角三角形A=2Ca2=c(c+b)西、入abc.ac推论1：A=2B=b=sin28SinBsin382cos3-4sinB推论2：
2、A=2-=1+2cosAZ?+c=2cosB.b3 .解三角形中的重要模型一角平分线模型角平分线张角定理：如图，初为C平分线，则c-斗与+学4 .三角形中的最值（范围）问题的解题策略：（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）.（2）“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识
3、求其最值.考点剖析【考点11【例1.1（22-23高一下黑龙江绥化阶段练习）设AABC的内角4、8、C所对的边分别为Q、b、c,若QCoSA=bcosB=ccosC,则48C的形状是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边比为1：2：3的三角形【解题思路】由正弦定理可得4=B或A+B=去8=C或BC=j,利用三角形的性质验证得A=B=C,可得结论.【解答过程】因为cos4=bcosB,由正弦定理可得sim4cosA=SinBcosB,即sin2A=sin28,因为力，B为三角形的内角，所以24=28或24+28=n,即4=B或力+B=%同理可得B=C或8+C=3当4=8时，8+C
4、=B不可能成立（三内角和不等于n）,当A+8=T时，8+C=T也不可能成立,所以只有4=B=C,即AABC为等边三角形.故选：B.【例1.2（22-23高一下甘肃天水阶段练习）在AABC中，若siM%siM8+siMc,则ABC的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解题思路】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可.【解答过程】设AABC中，角48,。对应的边分别是。,瓦。,由正弦定理得:SiMASin2F+sin2C=2b2+C2,即+c2a20,所以SSA=空V，因为4（0,）,所以A为钝角，即力BC为钝角三角形.故选:C.【变式1.1(22-23高一下
5、辽宁鞍山阶段练习)在4BC中，若cosA=bcosB,贝必48C为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【解题思路】由正弦定理及倍角公式得到sin24=sin2B,结合4,8(0,),解得A=B或A+B=；,得到答案.【解答过程】czcoSi4=bcosB由正弦定理得SirL4cosA=SinBcosB,yp-sin24=-sin2B,故sin24=sin2B,22因为48(0,n),且属于三角形内角，所以A+B=解得AC=烂.故选：C.【变式2.1（23-24高三上.重庆沙坪坝.阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图I甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将
6、悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30。，45,60,90。，120。，150。等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了A48O（如图乙），测得48=3,80=4,4C=AO=2,若点C恰好在边8。上，请帮忙计算SinNACQ的值（）【解题思路】先根据三条边求出CoS乙4DB,利用平方关系得到Sin乙408,即可根据等腰三角形求解.【解答过程】由题意，在BO中，由余弦定理可得，cosADB=ad2b2=VTT=2ADBD2X2X416
7、因为NAOB（O,r）,所以sin,ADB=Vlcos2r4OB=Jl一62=啜,在?!CD中，由AC=AD=2得Sin乙4C。=snADB=若，故选：C.【变式2.2X22-23高二上重庆沙坪坝期末）如图，教室里悬挂着日光灯管48,AB=120cm,灯线4C=BD,将灯管48绕着过AB中点。的铅垂线00,顺时针旋转60。至4,且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高【解题思路】设48与。，交于点N,过点4作AMIAC于M,连接MN,在AAMN中求出4M,在RtA,MC中根据勾股定理求解.【解答过程】设4B与。交于点N,过点A作HMj.AC于M,连接MN,如图所示，则CM=AC-20,4MN中，
8、A,N=AB=60,MN=60/ANM=600,所以AM=60,在RtZiAMC中，由勾【考点3证明三角形中的恒等式或不等式】【例3.1(2023全国模拟预测)在中，A0,结合taa4为整数，通过假设法，得到tad的值，也就确定了角A大小.(2)首先利用角8和角C和的正切展开式，确定角8和角C满足的等式，再结合tan8,tanC均为整数，确定tanB,tanC的值，最后利用解三角形知识证明即可.【解答过程】(1)因为AVBVC,所以4为锐角，则taM0,若tan42,Vtan=3,且y=tan在()内单调递增，又为BC,：.B,C都大于g,与4+B+C=Tr矛盾,tan=11即A=4(2)证明
9、：力=三，B+C=亚,tan(B+C)=tan=1.444又 tan(8 + C) =tanF+tanC1-tanFtanC即tan8tanC-1=tan8+tanC.由tanB,tanC均为整数，且BVC,tan4=1,得tanB=1+nc2,tanC3tanC-1可得tanB=2,tanC=3,则SinB=;cosC=,sinC=5io,io设角A,B,。所对的边分别为小b,cf由正弦定理三二一三二一号，sin-sn0SinC可得b=平,c=竿Q又AC的中点为D,CD=誓.在ABCD中，由余弦定理，得BD2=2+(早)Za半acosC=a2,.BD=a,即证BC=BD.【例3.2（22-2
10、3高三上重庆渝中阶段练习）已知在锐角AABC中，tan =SinFl+cosfi(1)证明：8=24(2)求tan-tanll+tantanB的取值范围.【解题思路】（1）化简题干条件得到Sin4=sin（B-4）,从而根据48C是锐角三角形，得到力=8-4,得到B=2A；（2）先根据锐角三角形得到4（士力，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到等M=tan64/l+tantanB停。【解答过程】（1）证明：由tam4=W=严知：cos/l1+COSBSilvl（I+cosB）=SinBcosA,即sin/+SinACoSB=SinBcosAf所以Sirh4=SinBcosA-SinAco
11、sB=Sin（B-A）,因为4BC是锐角三角形，所以4（Q,B-Ay=SinX在（一H）上单调递增,所以A=8-A,即B=2A(2)由锐角力BC知：A(),8=2A(),C=A-B=Tr-3A(0弓),解得：4WeW),ittI7三=tan(B-A)=tan4(f,1).【变式3.1(23-24高三上.江苏开学考试)如图，在AABC内任取一点P,直线AABRCP分别与边8C、CA.AB相交于点。、E、F.(1)试证明:BD_48Sin-ZMODCACsinDAC(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3,求AABC的面积.【解题思路】(1)利用正弦定理及角的互补关系即可证结论;(2)由题意
12、4。,81,。尸为中线,可得依=?，。0=?，8=1/=%。=2,PF=1,再由定+而=ZPD.PA+PB=2PF,PC+PA=2PE,求CoSN8PC,cos乙4P8,cosnAPC,进而求对应正弦值，结合5-叱=S&bpc+Smpb+Spc及三角形面积公式求面积【解答过程】由中缶=缶，则B。=嘿部，4CD中.=J。,则OC=Sin皿C,SinZJlDCSln4。ACSInZTlOC又乙ADB+ADC=MsnADB=sinADC,所以吧=ABsin血W,得证DCACsxnLDAC(2)由P是重心,则AD,BE,C尸为中线，又AO=5,BE=4,CF=3,所以AP=y,PD=fBP=pPE=j
13、,CP=2fPF=l,而定+丽=2而，则定？+2斤丽+而2=4而2,所以4+羡CoSNBPC+=4X高可得CoSZBPC=0,且ZBPC(Ojt),所以ZBPC=I同理西+而=2两，PCPA=2PEt可得COS乙4PB=-g,cosAPC=所以SiM4PB=|,SimMPC=则SAA8C=SABPC+Sapb+S“pc=2+2=8.【变式3.2(23-24高三上广东阶段练习)己知BC的内角A,B,C的对边分别为小b,c,。是边BC上一点，BAD=a,CAD=B,AD=d,且2csin+2absin=3bc.(1)若A=，证明：=3d；在(1)的条件下，且CD=280,求COS乙4DC的值.【解
14、题思路】(1)应用正弦定理得Sina=丝普、sin/?=普，根据己知有华+型史二。，将左侧化简ddbc2a整理呜4即可证结论;(2)由乙4D8+ADC=180。及余弦定理得到M一炉=2c2,结合COSA=R得Q=7b,最后应用2bc余弦定理求COS乙4DC即可.【解答过程】D由正弦定理得嘿=嘿，则Sina=若BDADa由正弦定理得嘿=嘿，则sin0=罗CDADa因为2csin+2bsi叩=3bc,所以岑+詈而华+Dsin/? _ BDsinfiCDsinC BDsinAcdCDSin4 _ (8D+CD) _ a _ad 2d所以三=2即a=3d.2a2a(2)由CO=2B0,得Co=9BD=
15、p在AABD中，由余弦定理得CoS乙4DB_ BZ)2+d2-AB22a2-9c2BD d在AACD中，由余弦定理得CoS乙4DCCD2-d2-AC25a2-9b2ZCDdzIDF+ADC=180o,cosADB=-cosZ.ADCt22-9c25a2-9b24a2，整理得，a2-b2 = 2c2t在曲中，由余弦定理得SSA =爷C2C3=, 2bc2b2Wb,故。2-/=62,即a=7b,心+心一心 2AD DC5。2-劝24a235匕2-她228b213 =【考点4【例4.1（2023广西柳州模拟预测）在ZMBC中，角4、8、。所对的边分另1为。、力、的已知B=60。，b=4,则AABC面
16、积的最大值为（）A.33B.43C.53D.6【解题思路】利用余弦定理结合基本不等式可求得c的最大值，再利用三角形的面积公式可求得AABC面积的最大值.【解答过程】由余弦定理可得16=从=a2+-2accos8=M-a。N2cac=QC,BPac16,当且仅当Q=C=4时，等号成立，故SMBC=；QCSinB=坐acFX16=48.244因此，?!BC面积的最大值为41故选：B.【例4.2（2223高一下山东青岛期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中提出了一种求三角形面积的方法三斜求积术：”以小斜累，并大斜寡，减中斜辕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜吊，减上，余四约之，为实；
17、一为从隅，开平方得积也就是说，在AABC中，,Ac分别为内角A,B,C的对边，那么48C的面积S=日2一（吐竽竺,若b=25,且tanC=32,则ZiABC74L2/Jl-3cosB面积S的最大值为（）A.32B.33C.6D.36【解题思路】利用正弦定理及两角和的正弦公式得c=5,代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值.【解答过程】因为tanC=离%,所以华=律，l-3cosBCOSCl-3cosB所以SinC=V3sinCcosF+VScosCsinB=V3sin（C+B）=VSsinA,由正弦定理得C=3,又匕=23,所以S=卜2。2一（8+：-Ajj=3a4-（4212）j=J（-
18、4+24a236）=-（2-12）2108,所以当M=12即Q=28时，ABC面积S的最大值为108=33.故选：B.【变式4.1（2223高二下河南开封期末）在AABC中，a,b,。分别为内角4,B,C的对边，1+sinFcosQ-)=sin214+1(cos2+cos2C).若b+c=8代,则力BC面积的最大值为()A.B.123C.16D.1633【解题思路】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得A=再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可解答过程】由1+SinficosQ-=sin2l+XCOS2B+cos2C),1+SinFsinC=sin24+1-sin2-sin
19、2C,所以SiMB+sin2C-sin2l=SinBsinC,即川+c2-2=-be,所以cos4=匕昔二=者=一j因为04V,所以42bc2bc23因为b+c=85,所以8525F,所以beW48,当且仅当b=c=43时等号成立，所以Sbc=bcsnA48y=123.故选：B.【变式4.2(23-24高一下.安徽滁州期末)在AABC中,小b,C分别为内角A,B,C所对的边,b=c,且满足若=上哼，若点。是AABC外一点，ZAOB=(O)fOA=208=2,则平面四边形Q4C8面积sn4CosA的最大值是()A巴也b.山C.3D.竺江442【解题思路】根据正弦和角公式化简得ZMBC是正三角形，
20、再将平面四边形OACB面积表示成。的三角函数，利用三角函数求得最值.【解答过程】由己知得：SinBcosA=SirL4SinAcosBt即SinBCoSA+sin4cos8=SirL4,所以sin(4+B)=sinA,即Sin(Tr-C)=SinC=SinA又因为0v4V11,0Q,c0,所以3bc+4=(b+c)230y+4,则(b+c)216,故b+cW4,当且仅当出+彳，,=4,即b=c=2时取等号，故+b+c6,即48C周长的最大值为6.【例5.2(23-24高三下辽宁锦州开学考试)若锐角CABC的内角4B,C所对的边分别为R,b,c,其外接圆的半径为W，且cos(B-C)+acosA
21、=2V3csincoSi4.(1)求角A的大小；(2)求手的取值范围【解题思路】(1)利用正弦定理可将QCOS(B-C)+cos?!=25csinBcosA化简为sin8sinC=HcsinBcosA,再次化简得SinAsinBsinC=5sinCsinBcos4,从而求得tanA=5,从而可求解.(2)由448C的外接圆半径为5,从而得已=，7=26，从而可得空贮=25(sin8+7),由?1BCSinASinBb4sn为锐角三角形可得sin8e&l),再构造函数/=x+今Xe&l)结合对勾函数的性质从而可求解.【解答过程】(1)因为cos(B-C)+acosA=23csi11cos4,所以
22、QcosBcosC+asnBsinC-Q(COSBcosC-SinBSinC)=23csinFcos4,即QsinBsinC=J5CSinBCOS4由正弦定理得SinAsinBsinC=3sinCsincosl,显然SinC0,SinB0所以sin4=KCOSJ4,所以tanA=V3,因为A(),所以A=：.(2)因为ABC外接圆的半径为5,所以！7=3=25,所以=3,b=23sinF,snAsmB所以胃=b+=23sinB+=23(sinB+磊)，0F-八、因为ZkABC为锐角三角形，所以2nn，即mVBvRBPsinfi(il).0t2I-根据对勾函数的性质可知函数/1(%)=%+总在&
23、曰)上单调递减，在停1)上单调递增,且f(9=2,/停)=5,/(D=所以/(x)W百2),B11sinEV32),所以2H(sinB+磊)6,43),即*贮的取值范围为6,45).【变式5.1(23-24高三上浙江绍兴期末)已知锐角AABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,且bsin等=QSin8.求角A；(2)若=23,求44BC的周长的取值范围.【解题思路】(1)利用诱导公式和正弦定理即可；(2)根据正弦定理得b=4sinB,c=4sin(8+m),从而化边为角，结合三角恒等变换和三角函数值域即可得到其范围.【解答过程】(D由己知得，从而仁-乡=sinB,则根据正弦定理得Sin
24、BCoSm=Sia4sin8(sin80),41cos-=2sin-cos-sin1=-(cos10),48C为锐角三角形，4=%(2)由正弦定理得高=熹=妥=4,即就=导=乖的=4,则b=4sinB,c=4sin(8+：),+b+c=23+4sin+4sin(B+=23+4sin8+4(sinficos-+cosFsin=23+43sin(5+j),0F-/)、因为OV空i久解胃8热得B+襄转)，32所以Sin(B+：),1,得+b+cW(2V+6,6V.【变式5.2(2023高三全国专题练习)在2sin4sin8=2SinCCOS8,(a+c)(sinsinC)=sin8(-b),S“bc
25、=c(sin?!+bsinB-CSinC)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在AABC中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且.求角C;(2)若c=2,求2-力的取值范围.【解题思路】(1)根据三角恒等变换，结合正余弦定理边角互化，即可逐一求解,(2)根据正弦定理可得Q=詈Sin力力=詈SinB,进而根据三角函数的性质即可求解.【解答过程】(1)若选：2sin4-SinB=2sinCcosB,则2sin(B+C)sinB=2sinCcosF,2SinBCOSC+2cosBsinCSinB=2sinCcosB.*.ZsinFcosC-sinB=0：B(0,),sinF0,：c
26、osC=-,VC(0,)，,C=23若选：(q+c)(sin4-SinC)=SinB(Q-b),由正弦定理得(+c)(-C)=b(-b),.*.a2+b2c2=abVC(0,),C=若选：Sbac=c(sin4+bsnB-csinC),贝IEQbSinC=c(sinl+bsnBCSinC),由正弦定理得IabC=c(2+b2-c2),.*.a2+b2-c2=abfcosC=VC(0,),AC=-.(2)由正弦定理得ESinB SinC 3故a=-snA,b=sinF,则2a-b=苧SinA竽SinB=sinA-等Sin(A+小,23sinl2cos4=4sin(A由于4(,g),KT，Sin(
27、DW.9.2a-bE(-2,4).【考点6解双三角形问题】【例6.1(2024高一全国专题练习)如图，在48C中，ABC=竿,。为AC边上一点且481BD,BD=2.(1)若CD=VL求CD的面积；求擀-2的取值范围ADCD【解题思路】(1)在ABCO中，由正弦定理求得SinC的值，进而求得SinMDC,再由S=OOCsinMOC,即可得解;（2）在480和ABCO中，分别利用正弦定理推出=sim4和CD=-17,再结合两角差的正弦公式、辅助ADSinC角公式和正弦函数的图象与性质，得解【解答过程】（1）:NABC=W，ABlBD,DBC=36在ABCD中,三-=解得：SinC=/易知C为锐角
28、C=%sinDBCSinC24.,.Sin乙BDC=sin（彳+）=Sin（B+2）=SinqCoSq+COSqSin%=反：6,SXBCD=980DCsinzBDC=22=萼；（2）在ABCD中，7=等，得：C。=绊=十，sinz0BCSinCSinCSlnC在AABD中，TK=三，得：i4D=snABDsnsnSInA2121._V 一=-2i-=Sini4-SinC,ADCD-SinASinCVABC=,A+C=-,33V -=sinAsinC=sin（-C）-SinC=csc_=3cos（C+-）,ADCDv3722v37V 0CpC+6*），二COS（C+；）W（W）故A；-小勺取值
29、范围为（-今f）AtJCIz41【例6.2（2024.福建漳州.模拟预测）如图，在四边形ABCo中，DAB=B=且AABC的外接圆半26(1)若8C=4AD=22,求A4CD的面积；(2)若0=g,求BC-AO的最大值.【解题思路】(1)在三角形4BC中，根据正弦定理求得4C,乙&48,再在三角形40C中，利用三角形面积公式即可求得结果；(2)设立Z4C=,在三角形ADC,ABC中分别用正弦定理表示BC,AD,从而建立BC-AD关于。的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【解答过程】因为BW丽的外接圆半径为4,所以含=8,解得4C=4在中，FC = 42,则E4sinZC4B=8,
30、解得Sin4CA8 = y.又4&48(,)所以48=；：在ANCD中，AC = 4, DAC =？ - LCAB = -, AD = 22, 24所以SAACD = - 4 22 - = 4.(2)设乙DAC = 6, (o,j).又D=g,所以乙4CD=(-6.因为NDA3 = 5所以 48 =尹8.在。力C中，AC = 4,由正弦定理得益b =施加解得4。= vsinQ -fl) = 2r(cos-bine)= 4cos0-殍 sin。.在,中,/IC = 4,由正弦定理得焉=.,即2=S总刃，解得BC = 8sin (L = 8COS0,所以 BC AD = 4 (cos0 + Sin
31、O)=苧 sin + g)又e(,),所以6+h若)，当且仅当6 + ：热即6 =源，sin (。+3取得最大值1,所以8C-40的最大值为竽.【变式6.1(23-24高三上江西期末)如图,在AABC中,AB = BC = 2,D为A ABC外一点MD2CD = 4,求2cos - cos/?的值;若BD的面积为Si，ABCO的面积为S2,求Sf+S的最大值.【解题思路】(1)利用余弦定理，进行转换即可；(2)根据题意，由(1)知2cos-cos0=求出Sj+S取得最大值，最大值为其【解答过程】(1)在BD中，由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2ABADcosa=20-16cosa,在ABC
32、D中，由余弦定理，BD2=BC2+CD2-2BCCDcos=8-8cosj,所以20-16cos=8-8cos?,所以8(2CoSa-cos)=12,KP2coscos=|.(2)由题意知SI=TA8ADsiniBAO=4sin,S2=1BC-CDsnBCD=2sin?,所以Sj+赁=16sin2+4sin2=16(1cos2)+4(1cos2)=20-16cos24cos2f由(1)知2coscos=|,所以COSH=2cos一cosa(：,1),所以S：Sf=20-16cos2a-4卜COSa_1)=-32cos2a+24cosa+11=-32(cosa-)2+y,所以当COSa=gQ,l
33、)时，Sf+S取得最大值，最大值为学【变式6.2(23-24高三上.辽宁期中)如图，已知三个内角A,8,C的对边分别为”,c,且b=Lc=y3,acosC-CSinA=b2c.求tan4;(2)。是48C外一点，连接4D,CO构成平面四边形力BCD,若乙40C=；,求Bo的最大值.4【解题思路】(1)利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得A：（2）设乙ACO=e（82=-：加，求f(B)的取值范围.【解题思路】(1)利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得y=f(x)的单调递减区间.(2)利用余弦定理求得4结合三角函数值域的求法求得/(8)的取值范围.(解答过程】(I)/(
34、x)=-Wsinx-:cos%+=-sin(X+白+：2226/2令一三+2kX+-+2,则一？+2kxy2k,kZ26233所以，单调减区间是-g+211W+2k,kZ(2)rh2b2=aca+cbZbC得：Zac2b2+C2a2=be,即CoSA=-2bc2由于OvAV,所以A=.在AABC中，OVBg,fW=-sin(B+;)+,于是口+-则二VSin(6+)1,1sin(+66626/6/2I-sin(B+1)+11,所以f(B)可得：c=2.在?!BC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=14-212=3,所以=3.r1abc3o.llb+c2sin2sinCnEH=-=2,Wu=2.si
