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1、专题2.3一元一次不等式组【九大题型】【北师大版】【题型1一元一次不等式组的概念辨析】1【题型2解一元一次不等式组】3【题型3一元一次不等式组的有解或无解问题】6【题型4根据一元一次不等式组的解集求字母的值】8【题型5根据元一次不等式组的解集求字母的取值范围】11【题型6方程组的解构造不等式组求字母范围】13【题型7根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】17【题型8根据一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】19【题型9不等式组中的新定义问题】22举一反三【知识点一元一次不等式组】定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的
2、公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解.【题型1一元一次不等式组的概念辨析】【例1】（2023春四川巴中八年级统考期末）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）afx-20dfx+10A. CB17八1 %0D. ,1是分式不等式组，故不正确；eF1-U故选A.【点睛】本题考查了对一元一次不等式组概念的理解，深刻理解基本定义是解决这类问题的关键.【变式11】（2023春吉林长春八年级校考期中）如果长春市2020年4月30日最高气温是23,最低气温是120C,则当天长春市气温IcC）的变化范围是（）A.23B.r23C.120fa+50fa+50fa50A匕a3
3、B（JaV3仁Q3D-（a3【答案】A【分析】利用a与5的和是正数得出a50,再利用a的一半不大于3得出不等式组.【详解】解：用a与5的和是正数得出a+50,再利用a的一半不大于3,即小于等于3.由题意可得：+501/（3故选A.【点睛】此题主要考查了由语言文字抽象出一元一次不等式，正确得出不等式是解题关键.【变式1-3（2023春江苏八年级专题练习）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：甲：它的所有的解为非负数；乙：其中一个不等式的解集为8；丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向.请试着写出符合上述条件的一个不等式组.【答案】8；。（
4、答案不唯一）【分析】由于元次不等式组的解集为非负数，所以其中个不等式的解集必为工0,由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中X的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可.【详解】解：Y一元一次不等式组的解集为非负数， 其中一个不等式的解集必为无0, ,个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，.其中一个不等式中4的系数为负数， 符合条件的一元.次不等式组可以为F（答案不唯一）.故答案为：（8*70（答案不唯一）.IXO【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一.【题型2解一元一次不等式组】【例2】（
5、2023春黑龙江绥化八年级统考期末）不等式组的解集在数轴上表示为（）【答案】D【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案.【详解】解：+31嚼解不等式，得：x-3,解不等式，得：x2,把不等式解集在数轴上表示出来:-32,故选：D.【点睛】本题考查的是一元次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤和不等式解集的表示是解本题的关键.U 1、 3X-65 一 5%h的过程，请认3 + x4解：令5-)等,3 +x 4(2)【变式2-1（2023春河南开封八年级统考期末）下面是小李同学解不等式组真阅读并完成相应任务.解不等式，5-x去
6、分母，得IO-X3X-6第一步移项，得-x-3x-6-10第二步合并同类项，得-4%-16第三步系数化为1,得4第四步任务一：上述解不等式的过程第步出现了错误，其原因是任务二：请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来,-5-4-3-2-1012345【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变；任务二：见解析【分析】任务：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可.【详解】任务一：上述解不等式的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号
7、的方向改变；故答案为：四；在不等式两边同时乘（除以乂司个负数，不等号的方向改变；任务二令5一户3+x4（2）解不等式，5-gx等，去分母，得10无3x6,移项，得一-3x610,合并同类项，得-4x-16,系数化为1,得W4,解不等式，3+x4,移项，得力4-3,解得：x1,- 不等式组的解集为：1V%4,如图：将不等式组的解集表示在数轴上：- 111111j11-I- 5-4-3-2-1012345【点睛】本题考查解一元一次不等式(组).熟练掌握解一元次不等式(组)的步骤，是解题的关键.【变式2-2(2023春山东枣庄八年级统考期中)解不等式组(X3(x2)4(1) 2x-l3x21,并写出
8、该不等式组的最小整数解(-1(4x-23(x+1)(2) 1X-IX,并把解集在数轴上表示出来.I14【答案】(l)-2xVl,X=-2(2)24【详解】(1)解：2x-l3x21分(-13由得：X2,在同一条数轴上表示不等式的解集，如图所示，-4-3-2-IOI2345.原不等式组的解集为2V%5.【点睛】本题考查求不等式组的解集.正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键.【变式2-3(2023春上海浦东新六年级校考期中)解关于X的不等式组L黑U；氏3父(IQ十ZJX-乙)/(1-U)X十44【答案】当0时，V2,当QVo时，-x-aaaa【分析】分别解2个不等式，根据的符号，求得不等式的
9、解集，进而求得不等式组的解集【详解】解：解不等式OX-48-3x移项得，QX+3qx8+4合并同类项得，4ax12：ax三，a当QO时，X2(1a)x+4*(fl+2)2(1)%4+2：.3ax6即QX2,则QO当QO时，Xa当0时，2Vx三,当QVo时，-X-.aaaa【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分类讨论是解题的关键.【题型3一元一次不等式组的有解或无解问题】【例3】(2023春安徽合肥八年级合肥市庐阳中学校考期中)如果关于X的不等式组子4I有解,且关于X的方程h+6=%有正整数解，则符合条件的所有整数攵的和为()A.B. -3C. -7D. -8【答案】B【分析】解不等式组，若不
10、等式组有解则其解的上限要比下限大，从而确定参数k的范围；解方程丘+6=%可得=白，若方程有正整数解则VI；然后取满足条件的整数k验证=白是否为正整数即可解答；-fc-k【详解】解：由不等式-l4k可得%4k+l,由不等式k4k+6可得XV5k+6, 不等式组的解为4k+1x-5,由匕+6=%可得”=鼻 方程H+6=%有正整数解，l-c0,可得k1,当一5VkVl时，上=-2则X=2,攵=-1则=3,k=0则=6, 符合条件的所有整数k的和=-2+（-1）+0=-3,故选：B.【点睛】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成
11、是解题关键.【变式3-1】（2023秋湖南株洲八年级校考期末）若不等式组早；无解，则m的取值范围为.Ix2m【答案】m1/1m【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.【详解】解：户V；，X2,解不等式得：x2m,不等式组无解，：,2m2,m1,故答案为：m1.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.【变式3-2（2023春上海宝山六年级校考期中）若不等式组12有解，则山的取值范围是.【答案】m2【分析】先求得不等式-11-T2的解集，再根据不等式组有解，求解即可.【详解】解：由不等式-ll-%v2可得：二l17，解得-IVX2,不等式
12、组T=U2有解，.,.m2故答案为：m2【点睛】此题考查了不等式组的求解，已知不等式的解集求参数，解题的关键是正确求得不等式-1l-x0得，1;解不等式X-好0得，a,故不等式组的解集为：lVZY它的解集是1V4,=4,故本小题正确;Z=1,xl,，不等式组无解，故本小题正确；Y它的整数解只有2,3,4,则4l,故本小题错误.故答案为：.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键.【题型4根据一元一次不等式组的解集求字母的值】【例4】（2023春贵州八年级校联考期末）若不等式组：二的解集是-lx3,则m+n=.【答案】-1【分析】先求出两个不等式的解集，再根据
13、不等式组的解集列出关于m,九的方程，然后求出m,九的值，最后代入代数式进行计算即可得解.【详解】由卜一学及，解不等式得：xm+l,解不等式得：xp不等式组的解集为：一lx3,/.m1=3=1解得：n=2n=-3+ZI=2+(-3)=-1,故答案为：一1.【点睛】此题考查了一元一次不等式组解集的求法、解一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于m,n的方程是解题的关键.【变式41】(2023春安徽亳州八年级校考期中)(2023春河南濮阳八年级校考期末)若不等式组，*%二3的解集中的整数和为-5,则整数a的值为【答案】-1【分析】由不等式组?二的解集中的整数和为5可确定整数解为：无=一3,
14、-2或3一3,-2,-1,0,1，即可得出整数的值.【详解】解：“53,Xa-3Xat不等式组的解集中的整数和为.5,Ax=-3,-2或X=-3,-2,-1,0,1，10或2Q3,则整数。的值为：-1或2,故答案为：一1或2.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围.1-2(%2)-%2【变式4-2(2023春四川达州八年级校考期中)若关于工的不等式组X、1最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程3(y-l)-2(y-c)=8的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为多少？【答案】13【分析】求解不等式组，由整数解的情况，得k8,由方程解
15、的情况得k5.5,所以符合条件的攵的整数值为6,7,相加即可.【详解】解:-2(x-2)-X2k-x、11-+x22解得2(%2)(XV2-X、j,最多有2个整数解,-三+x1v%牛，33不等式组的整数解最多时为：1,2,亨V3,解得k5.5,综上：5.5k0,解不等式2%-n0,得洒不等式组的解集为：nxn又Y不等式组的整数解是一2,-1,O,1,2,3,4,f-3m4,那么切的取值范围是.【答案】m4【分析】先解第一个不等式得到%4,由于不等式组的解集是X4,然后根据同大取大得到m的范围.【详解】解：+93，IX解得X4,不等式组的解集是4,.,m4.故答案为：m4.【点睛】本题考杳了解一
16、元一次不等式组，求不等式组的解集的过程叫解不等式组.【变式5-1（2023春湖南长沙八年级统考期末）若关于%的不等式组丫：4的所有整数解的和为0,则m的值不可能是（）A.3B.3.2C.3.7D.4【答案】D【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为0,确定整数解，即可求得m的取值范围.【详解】解：产-2-3,解得m-1,所有整数解的和为0,二整数解是2,1,012,.2m-14解得24Xa+1【变式5-3（2023春,湖北武汉八年级校联考期末）关于X的不等式组/6的解集中所有整数之和X+1最大，则a的取值范围是（）A.-3a0B.-lalC.
17、-3alD.-3aa + 1N+6 、, -x + l解得:要使所有的整数解最大则必须使得等最小为-1,最大为1,即-等Vl解得-3al故选D.【点睛】本题主要考查不等式的解集的整数解，根据整数解求解参数，这类题目难度稍大点，但是这是一个重要的考点.【题型6方程组的解构造不等式组求字母范围】【例6】（2023春北京昌平八年级北京市昌平区第二中学校考期中）已知卜”一中的x、y满足0-yl,求k的取值范围.【答案】-lk【分析】解方程组，令+得xy=2k+2,再由题意得，。V2k+2VI,再解出这个不等式组即可.【详解】解方程组X -2y = k2x y = 5k + 6 +，得：3x3y=6k+
18、6,两边都除以3,得：x-y=2k+2,Ox-yl,02k+2l,解得：-IVkV-【点睛】此题主要考查二元次方程组的解法，根据题目发现其特点列出不等式是解题的关键.【变式6-1（2023春福建泉州八年级校考期中）已知关于和y的二元一次方程组(1)当k=0时，求该方程组的解;(2)若该方程组的解同时满足3%-2y=c+l,求k的值；(3)若W=X-y+1,且一33x+2y-171,试求W的取值范围.【答案】(i)i(2)fc=-(3)7Wy4【分析】(1)方程组利用加减消元法求解即可;2)原方程组中的两个方程相加，得3x-2y=4k+14,结合已知可得关于的方程，求解即可;(3)解原方程组求得
19、彳代入W的式子可得k=15-2w,再代入已知的不等式组可得3x+2y-17=123-16w,结合已知条件可得关于卬的不等式组，求解即可.【详解】解:当=0时,方程组为X + 3y = 1 2x - 5y = 13(2)X2-，得Ily=-11,解得y=_l,把y=-l代入，得x-3=l解得：X=4,.方程组的解为yv二二：(2)原方程组中的两个方程相加，得3%-2y=4k+14,.4k+14=3+1,仔=2k + 4 y=k-l解得：k=T(3)解方程组X+3y=512x-5y=13kw=x-y+l=2c+4-(c-l)+l=-+：.k=152w,V3x2y-17=3(2k+4)+2(c-1)
20、-17=8/c-7=8(15-2w)-7=113-16w,V-33x+2y-17l,-3113-16wl,解得：7w4【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确理解题意，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题的关键.【变式6-2(2023春辽宁锦州八年级统考期中)已知关于X,y的方程组1丫；：二;的解满足不等(JrzS77O式组Wi4ZU.求：满足条件的用的整数值.(X+by0m解得：n1,得，+5y=m-3,Vx+5yV0,.m30解得:m3,lm3,则满足条件的，的整数值为1和2；方法二：(x-2y=m2x+3y=2m-36,%=-z+m解得：73，y=-Z
21、弋二代入图51得:宵二工解得：lm3，满足条件的小的整数值为1和2.【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法.【变式6-3（2023春江苏南通八年级统考期末）已知关于X,），的方程组：昂;：的解为非负数,m-2n=3,z=2m+n,且?V0,则Z的取值范围是.【答案】1z6【分析】解方程组求出二:根据解的情况得到mL再根据m-2n=3和九VO得到mV3,再由z=2m+n变形得Tn=手，得到IW誓V3,解题即可.【详解】解：解关于”,y的方程组篇啜口工，由题意，得对工则m1：.
22、,m2n=3,ZIV0,m-3-Cn=0,21n3,o.Clm-3Sm-3.z=2m+n=2m4=22,2z+3in=-*1等V3,故答案为：lzV6.【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，不等式的解法，综合性较强，能用m表示其他未知量并解关于m的不等式组是解题的关键.【题型7根据程序框图列不等式组求字母的取值范围】【例7】（2023春四川眉山八年级坝达初级中学校考期中）下面是一个运算程序图，若需要经过三次运算才能输出结果y,则输入的X的取值范围（）输出yA.x4B.x4C.x4D.x4【答案】D【分析】根据运算程序图列出不等式组，然后解不等式组即可.3x-l32【详解】解：根据题意，得3（3
23、x-1）-132,33（3x-l）-l-l32Ix11x,3则不等式组的解集为?x18”为一次程序操作，若输入后程序操作进行了两次就停止，则工的取值范围是（）Aj蔡B.x6C.x6D.y,x的取值范围是日vx8,故选D.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键.【变式7-2（2023春安徽黄山八年级统考期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值二到“结果是否95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么X的取值范围是（）C.12.75%24.5D.x24.5【答案】A【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95,第三次运算结果大于95列出
24、不等式组，然后求解即可.2x-l95（3）解不等式得，日8,解不等式得，X24.5,解不等式得，X12.75,所以,X的取值范围是12.75Vx24.5.故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键.【变式7-3（2023秋浙江温州八年级校联考期中）如图是一个有理数混合运算的程序流程图.当输入数X为0时，输出数），是.已知输入数X为负整数，且整个运算流程总共进行了西卷后，循环结束，输出数y,则输入数X基大值为.【答案】18-2【分析】将=O根据程序流程图计算即可运算流程为%+7-(-1)2(；-；)X(-0.5)=(x+6)(C)(-0
25、.5)=3x+18,经过两轮，说明第3Z6一轮的结果不大于12,即3x+1812,继续第二轮流程结果为3(3%+18)+18=9%+72,能输出，说明9x7212,解不等式组即可【详解】解：0+7(-1)2+一乂(-0.5)=6+(乂(-0.5)=18,即输出数为18运算流程氏+7-(-1)2(-)(-0.5)=(x+6)(-)(-0.5)=3x+18第一轮：3%+1812,第一轮未输出，则第二轮输出：3x+18+7-(-1)2(1-1)(-0.5)=9x+7212,所以可列不等式组：(3x+1812t9x+72123x+1812,移项得：3x-6,系数化为1得：x-2,9x+7212移项得：
26、9g60,系数化为1得：x-y,所以不等式解集为：一gr-2,X为负整数，X的最大值为-2故答案为：18；2【点睛】本题考查了有理数的混合运算，不等式的解集，准确熟练地计算是解题的关键.【题型8根据一元一次不等式组的整数解求字母的取值范围】例8(2023春山东聊城八年级统考期末)已知关于X的不等式组仁二：二；的解集中有且仅有3个整数,则。的取值范围是()A.56B.56C.56D.56【答案】A【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解得出答案即可.【详解】解:Xa0,2-%解不等式，得XV,解不等式，得X2,所以不等式组的
27、解集是2x,关于工的不等式组弓二:的解集中有且仅有3个整数（是3,4,5）,.*.56,故选：A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键.【变式8-1（2023春甘肃兰州八年级兰州市第五十六中学校考期中）己知关于X的不等式组有四个整数解，求实数。的取值范围.【答案】-3 -5,x-4 Q解不等式得：x-解不等式得：x4+%4+2不等式组有四个整数解,整数解是2,1,01-3a-2【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据X的取值范围，得出JV的整数解.解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较
28、大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.【变式82】（2023春四川泸州八年级统考期末）若不等式组-那-6,有两个整数解，则Zn的取值范围是（）A.3m4B.3n4C.4m5D.4m2,解不等式得：xm,则不等式组的解集是：2。，继而推导。V-KlV2及，a0,（bx+a0（2）若b=0,则原不等式可化为詈 若0,则解得x0,均不合题意；若0,b0,则任意正整数都满足,不合题意：若0,b0,/?由得：X0，此时由得：Xab 不等式组的解集是：-EVXV-2,ba 互倒不等式组偿曹其中涉整数）有且仅有1,2两个正整数解，0-712-3,ba又d为整数，a3,W=-3,此时2=一；代入OV
29、-WVl得00是解题的关键.【题型9不等式组中的新定义问题】【例9】（2023秋浙江宁波八年级统考期末）用幻表示不大于的最大整数，4.1=4,-2二一3,则方程6%-3x+7=0的解是.【答案】工二一5或%=【分析】利用不等式对%v+l,求出刈的范围，然后再代入原方程求出X的值.【详解】解：令既=%代入原方程得6%-3n+7=0,即=三O又.幻xVx+1,3n-7/,Ynn+1,6整理得6n3-7v6n+6,即一UVn-33,n=3或九=-4,将n=-3代入原方程得：6x+9+7=0,解得将n=-4代入原方程得：6x+12+7=0,解得=-芋，经检验，X=，或X=-当是原方程的解.故答案为：X
30、=-g或X=-学【点睛】此题考查了取整函数的性质，不等式组与方程的综合.注意xWxb【答案】（1）9999,1010（2）8（3）2637,3928【分析】（1）根据“对称数”的定义，即可求解；（2）先求出X的取值，再根据“对称数”的定义，即可求解；（3）先求出力的取值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值.【详解】（1）解：V9+9=9+9,l+0=l+0,.最大的“对称数”为9999,最小的“对称数”为1010；故答案为：9999,1010（2）解：x+1|4,解得：5x为正整数，.*.x=l2,当x=时，尸1,对称数可以是IOlO,1100,当x=2时,y=2f对称数可以
31、是2200,2020,2110,Illb1201,1021,对称数有8个；故答案为：8解：等(8%-1由得4由得工宇，O原不等式组恰有3个整数解,7bV15又“为个位上的数字，.b=7或8或9,“对称数M百位数字是千位数字的3倍，个位数字与十位数字之和为10,3, 当b=7时,十位数字为3, 千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和， 若用】，百位数字为5,不合题意；若。=2,百位数字为6,即这个数为2637；若近3,百位数字为7,不合题意：若。=4,百位数字为8,不合题意；当b=8时，十位数字为2,千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和, 若=l,百位数字为7,不合题意；若
32、=2,百位数字为8,不合题意；若=3,百位数字为9,即这个数为3928；若=4,不合题意；当b=9时，十位数字为1, 千位数字与个位数字之和等于十位数字与百位数字之和， 若=l,百位数字为9,不合题意；若。=2,不合题意；若。=3,不合题意；若=4,不合题意：综上所述，“对称数的值为：2637,3928.【点睛】木题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值.【变式9-2(2023春福建福州,八年级校联考期末)对X,y定义一种新运算F,规定：F(%y)=(mx+ny)(3x-y)(其中小，均为非零常数).例如：F(l,l)=2m+2n,F(1,0)=3n.已知F(l,-1)=-8,F(2)=13.求相
