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1、专题1.3直角三角形【八大题型】【北师大版】【题型1添加条件利用HL使三角形全等】1【题型2判断三角形全等的依据】4【题型3利用HL证明全等16【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段110【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】15【题型6利用HL解决坐标与图形问题】18【题型7写出某个命题的逆命题】26【题型8判断逆命题的真假】27【知识点1直角三角形全等的判定】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.【题型1添加条件利用HL使三角形全等】【例1】（2023上北京海淀八年级校考期中）阅读下面材料：己知线段,h.求作：RtABC,
2、使得斜边8C=,一条直角边AC=b.作法：（1）作射线40、AE,且AEim（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C（3）以C为圆心，线段4长为半径作弧，交射线AD于点及（4）连接8C.则AABC就是所求作的三角形.上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（）Ia,bA. HLB. SASC. AASD. SSA【答案】A【分析】由作法可知，根据HL即可判定三角形全等.【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是HL.故选：A.【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关
3、键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了直角三角形全等的判定.【变式1-1（2023下广东佛山八年级校考阶段练习）如图，已知40LBC,若用HL判定三4C0,只需添加的一个条件是.【答案】ABAC【分析】根据题意可得，在480和4C。中，乙4。8=乙40C=90。，40为公共边，则只需要添加48=AC,即可根据HL判定全等.【详解】解：添加的条件为：AB=AC,：ADLBC,ADB=ADC=90,在Rt48。和RtACO中，（AB=ACUd=AD/.RtABD三RtACD（HL）,故答案为：AB=AC.【点睛】本题主要考查了根据HL判定三角
4、形全等，解题的关键是掌握一条直角边和一条斜边相等的两个直角三角形全等.【变式1-21（2023下山东青岛八年级统考期中）如图，己知点8,E,尸,C在同一一条直线上,BE=CF,ABA.AF,CDiDE,若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定448尸与ADCE全等，则添加的条件可以是_（写出一个条件即可）.【答案】AB=DCSiLAFB=乙OEC或KB=C【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可.【详解】解：8E=CF,BE+EF=CF+EF,即B尸=CE,ABLAF,CDIDE,A=D=90,，当AB=DC时，在Rt4BF和RtAOCE中，(BF=CEUf=DCRtABF三RtDCE
5、(HL);当乙力尸8=4。EC时，SABFfllDCE中，A=DUFB=乙DEC，BF=CE：XABFDCE(AAS),当上8=ZT时，在448尸和AOCE中，(A=ZD48=LC,Ibf=CE.ABF三DCE(AAS).故答案为：AB=CO或U尸8=4OEC或4B=Z.C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定.题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可.【变式1-3(2023下安徽宿州八年级统考期末)如图，CD148于点O,EF1AB于点F,CD=EF.要根据“HL”证明RtACD三RtBEF,则还需要添加的条件是()A.A=BB.乙C=乙DC.
6、AC=BED.AD=BF【答案】C【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断.【详解】解：CD148于点。，EF1AB于点凡 乙ADC=乙BFE=90, CD=EF, 当添加4C=BE时,根据“HL”判断RtACD三RtBEF故选：C.【点睛】本题考杳了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.【题型2判断三角形全等的依据】【例2】（2023上福建泉州八年级校考期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在己知乙4OB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M画OA的垂线，过点N画。8的垂线，两垂线交于点P,画射线0P.可以得到AOMPEAONP,所以乙IoP=乙BOP
7、,那么射线OP就是乙408的平分线.OMPWAONP的依据是A.SASB.ASAC.HLD.SSS【答案】C【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定HL定理,可证OPM三OPN,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.【详解】由题意知。M=ON,乙OMP=乙ONP=90。,OP=0P,在RtOMP和RtONP中，（OM=ONIoP=OPRtOMP三RtONP（HL）,：乙AoP=乙BOP,故选：C.【变式2-1（2023上江苏南京八年级校联考期末）如图，已知4CLB0,垂足为。，AO=C0,AB=CD,则可得到ZkAOB三AC。，理由是（）A.HL
8、B.SASC.ASAD.AAS【答案】A【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可。【详解】解：:AClBD,A0B=C0D=90.在RTAoB和RTCOD中,（AO=COtAB=CD，：4AOB三COD（HL）故选4【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用判定两个三角形全等是解决此题的关键。【变式2-2（2023上河北邯郸八年级校考期中）如图，有两个长度相等的滑梯靠在墙上，且墙与地面垂直,滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽EF相等，则4BC三rDE的依据是（）BCEFA. SSSB. SASC. AASD. HL【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，根据直角三角形全等
9、的判定方法解题即可.【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt448C和RtA0E中，（AB=FDyAC=EF,RtABC三RtFDF（HL）.故选：D.【变式2-3（2023下广东深圳八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有RtAABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个RtA夕C,使得RtAeC三Rt448C.小赵和小刘同学先画出了对这两种画法的描述中正确的是（）A.小赵同学作图判定RtA,B,C,的依据是HLB.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长C.小刘同学作图判定RtA,B,C,三RtABC的依据是ASAD.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是
10、线段AC的长【答案】A【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断.【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段8C=BC,第二步为作线段C=C4判定方法为HL：小刘第一步为截取线段94=B4,第二步为作线段8C=BC,判定方法为SAS.故选：A.【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键.【题型3利用HL证明全等】【例3】（2023四川泸州统考模拟预测）如图，AB=CD,DELAC,BFLACfE、是垂足，DE=BF,求证：ABF CDE.【答案】见解析【分析】求出乙。矶？=乙B凡4=90。，根据HL定理推出即可.【详解】证明：DE
11、_LAC,BFIAC,LDEC=乙BFA=90,在RtF和RtACOE中，(AB=DCIBF=DE.RtABF三RtCDE(HL).【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.【变式3-1(2023上福建厦门八年级统考期末)如图是RtABC,根据下列尺规作图痕迹作出的RtA1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的是()【分析】根据HL证明Rt/!$ClERt48C即可得解.【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边AICl=AC,A1B1=AB,A1B1C1=ABC=90,Rt,A1B
12、1C1三Rti4FC(HL),故选:B.【点睛】本题考杳了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.【变式32】(2023上河南驻马店八年级统考期中)学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等“，但下列两种情形还是成立的.(1)第一种情形(如图Q)在AABC和ADEF1中，ZC=ZF=90o,AC=DF,AB=DEf则根据,得出ZkABC三AOEF,并写出推理过程；(2)第二种情形(如图b)在AABC和AOE尸中，乙C=乙F(乙。和乙兄均为钝角)，AC=DF,AB=DE,求证：ABCwAOER(提示：分别过点A、点。
13、添加一条辅助线，构造全等)【答案】(DHL(斜边直角边)，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定.(1) “HL”定理只能用来证明两个直角三角形全等；(2)通过证明4CG三/)FH可得到4BG,ADEH中的一组直角边相等，再证明4BG三(HL),推出UlBG=乙DEH,可得结论.【详解】(1)解：HL(斜边直角边)，推理过程如下：乙C=Z.F=90, 4BC和AOEF都是直角三角形，在RtAABC和RtDE尸中，(AC=DF=DERti4C三RtDEF(HL);(2)证明：如图，过A作4G1BC,交BC的延长线于点G,过。点作0”1EF,交E尸的延长线于点H, ACG=乙DFH
14、, 在CG和AOFH中，AGC=乙DHF=90乙ACG=乙DFH,AC=DF：.AACG三ADFH(AAS),.AG=DH.ERtA8G和RtDEH中，(AB=DEUg=DHABGDEH(HL), Z.ABG=LDEH. 在力BC和AOE/中，(乙B=乙EACB=KDFE,(AB=DE：.4BC三DEF(AAS).【变式3-3(2023上山东聊城八年级校联考阶段练习)如图所示，已知AB=AC,AE=AF,A尸IB尸于凡B. 3对A. 4对【答案】AC. 2对D. 1对AEIEC于E,则图中全等的三角形共有()【分析】根据题意，结合图形有力EC三2i4FB,三GOBWAHOC,4EG三4尸共四组
15、.【详解】解：力_1。于AF1BF-FzE=ZF=90* ：AB=ACfAE=AF.AEC三4F(HL);，乙ABH=乙ACG,AB=AC* *Zj4=LAABH三ZkACG(ASA);：.AG=AH：.BG=CHt.*ABH=乙ACG,乙GOB=乙HoC：.GOB三HOC(AAS);VCF=BF,CG=BH：.EG=FHVzE=ZF=90%AE=AF* AEG三ZkAFH(HL).故选：A.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS1HL.注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
16、应相等时，角必须是两边的夹角.做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏.【题型4利用HL和全等三角形的性质证明线段线段】【例4】(2023上河北衡水八年级校考期末)如图，在C中，NC=90。，CAD=BAD,DE1ABfE,点尸在边4C上，连接DE4BC(1)求证：AC=AE(2)若AC=8,AB=10,求DE的长;(3)若C尸=BE,直接写出线段AB,AF,EB的数量关系.【答案】(1)见解析(3)48=AF+2EB【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等量代换思想.(1)证明ADC三E即可.(2)根据勾股定理，得BC=yAB2-AC2=6,结合ADC三A
17、DEt得至必E=AC=8,BE=AB-AE=2,设DE=%,则CD=DE=X,BD=BC-CD=6一%,利用勾股定理计算即可.(3)根据三角形全等的性质，结合已知等量代换证明即可.【详解】(1)解：VzC=90o,DELAB,CAD=BAD,zC=AED=90o,DE=DC在A4。C和4。E中，(AD=ADIoE=DC1DC三i4DE(HL),：.AC=AE.(2)解：VzC=90o,AC=8,AB=10,：.BC=yAB2-AC2=6,由(1)得：A40CADE,：.DE=DCtAE=AC=81BE=AB-AE=2,设OE=X,则CO=DE=x,BD=BC-CD=6-f根据勾股定理，得(6-
18、x)2=+4,解得.,.%=(哈(3) AB=AF+2EBf理由如下：由(1)得：AADC三三A40E,：.AE=AC=AF+CF,AB=BE+AE,：.AB=BE+AC,：.AB=BE+AF+CFt：CF=BE,：.AB=AF2EB.故答案为：AB=AF+2EB.【变式4-1(2023下吉林长春八年级校考期末)如图，在BC中，ACB=90o,AC=BCtADLCE1BELCE,垂足分别为点。、E,Cfi1交AB于点尸.B(1)求证：ACD三CBE(2)若AC=AF,AD=12,BE=5,则FE的长【答案】(1)见解析(2)2【分析】(1)由垂直的定义得乙4。C=乙CEB=90。，由同角的余角
19、相等得4。W=乙BCE,根据AAS证得ACD三CBE即可；(2)由全等三角形的性质得CO=BE=5,AD=CE=12,根据HL可得RtACD三RtAFDf得DF=CD=5,最后由EF=CE-C。-OF求出结果.【详解】(1)证明：力D_LCE,BELCE,：.ADC=CEB=90%.LACD+CAD=90o,.乙ACB=90o,.ACD+乙BCE=90,.CAD=乙BCE,在AAC。与ACBE中，(ADC=乙CEBCAD=乙BCE,(AC=BCACD三CfiF(AAS);(2)解：vACD三CBE,.CD=BE=5,AD=CE=12,VAC=AF,AD=AD,.RtACD=RtAFD(HL)f
20、.DF=CD=5,.EF=CE-CD-DF=12-5-5=2.故答案为：2.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，解题关键是掌握全等三角形的判定方法.【变式4-2(2023上山东泰安八年级统考期中)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30。，点A处有一所中学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿尸N方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18kmh,那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】会受到影响，24s【分析】过点A作A8_LPN于点B,则可得4B=80m,从而可判断
21、学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响,点F结束，则易得AE=AE从而BE=BF,由勾股定理可求得6E的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间.【详解】如图，过点A作48_LPN于点8,.NQPN=30,AP=160m,：.AB=AP=80(m),T8OmV100m,学校会受到噪音的影响；设从点E开始学校学到影响，点尸结束，则AE=A尸=I(X)m,.9AB=AB,：,RiABEgRfAABF.：.BE=BFt由勾股定理得：BE=yAE2-AB2=1002-802=60(m),：,EF=IBF=X20m=0.12km,则受影响的时间为：0.12183600=24
22、(s).【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点.【变式4-3（2023下湖南张家界八年级统考期中）如图15,在RC中，ZC=90o,AC=IOcm,BC=5cm.一条线段/Q=AB,并且P、。两点分别在线段4。和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.问当尸点位于AC的什么位置时由P、Q、A点构成的三角形与48C全等？并说明理由.【答案】当点P运动到距离点A为10时，AABC,RAPQ全等,理由见解析【分析】本题要分情况讨论：(I)RtAPQ三RtCBA,此时力P=8C=5c
23、m,可据此求出P点的位置，AtQAP三RtABCA,此时AP=AC,P、C重合来求解.【详解】解：当点尸运动到距离点A为10时，ZiABC与AAPQ全等.理由：根据三角形全等的判定方法HL可知：当P运动到AP=BC时，：NC=/QAP=90。,在RtABC与心QBA中，(AP=BCPQ=AB,RsABCgRsQ外(HL),即AP=BC=10；当P运动到与C点重合时，AP=AC,不合题意.综上所述，当点P运动到距离点A为10时，AABC与CAPQ全等.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS.SAS.ASA、AAS.HL.由于本题没有说明全等
24、三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解.【题型5利用HL和全等三角形的性质证明角度相等】【例5】湖北武汉八年级校联考期中如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度。尸相等，两个滑梯的倾斜角乙8和乙尸的大小有什么关系？【答案】z+ZF=90【分析】根据”L证明RtBAC三RtEDFW11J.【详解】解：根据题意，可知BAC=乙EDF=90,BC=EF1AC=DF,：.RtBAC三RtEDF（HL）.,B=DEF（全等三角形的对应角相等）.4T+乙/=90。（直角三角形的两锐角互余），zF+ZF=90.【点睛】本题考查了直角三角形的全等，熟练掌握宜角三角形全等
25、的判定方法是解题的关键.【变式5-1（2014上.浙江金华八年级统考期中）已知：在ZiABC中，。为AC的中点，DEIAB,DFlBC,垂足分别为点E、F,且DE=DF.求证：4ABC是等腰三角形.【分析】易得乙4E0=NC/0=9O。，AD=CD,即可根据HL证明Rt4。EZRtCO尸，则乙4=/C,即可求证.【详解】证明：OE148,DF1BC,垂足分别为点E,F,：.AAED=乙CFD=90,为4C的中点，：.AD=CD,在Rt40E和RtCOF中，（AD=CDIDE=DFRtMDE三RtZkCDF（HL）,：Lfii-LCy：.BA=BC,C是等腰三角形.【点睛】本题主要考查了全等三角
26、形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，等角对等边.【变式5-2（2023上河北沧州八年级统考期中）如图，在AABC中,“=902AD=ACfDELAB交BC于点EaDB（1） ACE与A40E是否全等？；（填“是”或“否”）（2）若乙8=28。，则乙4EC的度数为.【答案】是59。/59度【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.（1）利用HL证明两三角形全等即可；（2）根据全等三角形可以得到NGIE=H4=亚&48,然后利用直角三角形的两锐角互余解题即可.【详解】（1）VzC=90o,DElAB,：
27、,ADE=Z,C=90,在RtMEC和RtZkAED中（AE=AEUc=ADJRtaAECmRtMED（HL）,（2） ZB=28。,.CAB=90o-B=90-28=62,VRt?!EC三RtAED,J.CAE=DAE=/CAB=二x62。=31,22.,.CEA=90-4CAE=90-31=59,故答案为：是；59.【变式5-3（2023下湖北武汉八年级校联考期中）如图,在式BC中，点。是BC的中点,DELABfDF1ACf且DE=DF.求证：ABDEgACDF；（2）连接AD,求证：AD平分01C.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）求出BD=CO,/-DEB=DFC=90,根
28、据HL证出RtBOEgRtCOF即可;（2）根据全等三角形的性质得出乙8=NC,根据等腰三角形的判定推出即可.【详解】（1）证明：0是BC的中点，:BD=CD,DELAB,DFLACf/.DEB=乙DFC=90,在RtBDE与RtCDF(BD=DCIDE=DFRtBDE安RtCDF(HL),(2)证明：RtABDEgRtACDF,乙B=C,BD=DC,.AB=ACf4。平分乙84C.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定的应用.【题型6利用HL解决坐标与图形问题】【例6】（2023上福建莆田八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A,P分别是X轴、y轴正半轴上的点，8是线段
29、04上一点，连接PB.(1)如图1,CAIX轴于点A,BCLPB,。是OP上一点，且480。=ZP8。；求证：乙DBo=HBA；若。P=OA,求证：BD+BC=BP；(2)如图2,4(5,O),B(2,O),G是PB的中点，连接AG,是X轴负半轴上一点，PM=2AG,当点P在)，轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标：若改变，求出其变化的范围.【答案】(1)证明见解析；证明见解析(2)不变，M(-8,0)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.(I)由题意知，DBO+BDO=90o
30、,PBO+CBA=90,进而可证403。=如图1,延长CB交y轴于E,过E作EFICA的延长线于F,由4。80=/CBA=乙EBO,可得8。=BE,BD+BC=BE+BC=CE,证明AP08EaEFC(AAS),则P8=EC=BD+BC：(2)如图，延长4G到H,使4G=GH,连接PH,过H作“Nl48于N,证明4GB三GP(SAS),则HP=AB=3,证明Rt4HN三RtAMPO(HL),则Mo=4N=3+5=8,进而可求M点坐标.【详解】(1)证明：,B0D=90。，.DBO+Z.BDO=90, ：BC1PB,；.乙PBO+LCBA=90, :(BDo=LPBO,.DBO=乙CBA；证明：
31、如图1,延长CB交y轴于E,过E作EFIC4的延长线于F,图1由(1)知，乙DBO=乙CBA=乙EBO,：BD=BE,BD+BC=BE+BC=CE, ：PBO+ABC=90%ABC+Z-C=90,:乙PBo=ZC, :乙PBo=乙C,乙PoB=乙EFC=90。,OP=OA=EF,POBEFC(AAS),：PB=EC=BD+BC,：BD+BC=BP；(2)解：如图，延长4G到H,使AG=G,连接PH,过H作HNlAB于N, AGB三AHGP(SAS),：.HP=AB=3, ：AH=2AG=MP,HN=OP,：.RtAHN三RtMPo(HL),MO=AN=3+5=8,.M(-8,O).【变式6-1
32、(2023上广东惠州八年级惠州市第八中学校联考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，ABCD,OA=OC=1,OB=2,则点。的坐标是.DOAx【答案】(一2,0)【分析】利用HL证明Rt480三RtAC。，得到OO=O8=2,则0(2,0).【详解】解：YAB=CD,OA=OC=1,A0B=Z-COD=90,RtABO三RtCDO(HL),：.0D=OB=2,AD(-2,0),故答案为：(一2,0).【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明RtABo三RtAC。是解题的关键.【变式6-2(2023上黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)如图，平面直角坐标系中坐标轴
33、(1)求A点坐标；(2)点Q为第四象限内一点，点尸从点B出发沿Hft正方向运动，速度为2个单位/秒，连接PQ、AQfAQ交X轴于点。，在运动过程中，MPQ始终等于150,且DA=DQ,请用含I的代数式表示448P的面积：在(2)的条件下，当MQA=28Q,时，求此时P点坐标.【答案】(0,2)(2)A4BP的面积为2t(3)(4-23,0)【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，求得04的长即可求解；（2）根据题意可得BP=2t,OA=2,根据三角形的面积公式即可求解；（3）过点Q作CQIX轴于点C,证明A40DmAQCD,得出PQ=2CQ=4,乙BQA=2乙PBQ,设NBQA=2%则
34、乙PBQ=a,如图，过点。作0E1BQ,在EB上截取E尸=EQ,则。E垂直平分尸Q,得出乙尸。B=乙尸80,过点尸作FHlBDt则BH=H。，过点。作0G_LB4交BA的延长线于点G,根据含30度角的直角三角形的性质，得出DG=BD=HD,进而得出40=0产，证明RtZSADGZRtFDH,得出440G=4尸0H=,根据GDB=GDA+ADB=a+3a=4a,ZGOB=90。-乙ABD=60。，求得=150,求得乙PQB=乙CPQ-乙PBQ=300-15=15,得出乙PBQ=WPQB,进而得出PB=PQ=4,即可求解.【详解】（1）解：:48=4,4480=30,A0B=9Qo.0A=AB=2
35、,24（0,2）;（2）解：Y点P从点8出发沿X轴正方向运动，速度为2个单位/秒，.,.BP=2t.SABP=BPxOA=x2tx2=2ti过点Q作CQlX轴于点C,*：AD=DQt乙AoD=乙QCD,ADO=QDC,10D三QCD,.0A=2,：CQ=Ao=2,28PQ=I50。，zCP=30o,PQ=2CQ=4,yl:乙BQA=ZlPBQ,设Z8Q4=2,则2P8Q=,如图，过点0作0E1BQ,在EB上截取EF=EQ,则OE垂直平分FQ,：.DF=DQt乙DFQ=乙DQF=乙BQA=2a，又V乙DFQ=乙PBQ+乙BDF=a+乙FDB,:,乙FDB=a,工乙FDB=乙FBD,：.FB=FD
36、,过点尸作尸HlBO,IBH=HD,过点。作DG，氏4交84的延长线于点G, ZBO=30。，DG=D=HD,2 ：AD=DQ,DQ=DF,/.AD=DFtRti4DGRtFDH(DA=DFIHD=DG Rt4Z56/=RtAFDH,乙ADG=乙FDH=a,:乙CDQ=乙PBQ+乙BQA=3a,乙ADB=乙CDQ=3a,.GDB=GDA+ADB=a+3a=4af又KGD8=9O-4480=60,=15o,/.zID0=3=45o,又PQ=30,zp=zcp-zPF=30o-i5o=i5o,:,乙PBQ=乙PQB,：.PB=PQ=4,OP=4-OB=4-21即P(4-25,0).【点睛】本题考查
37、了含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积，求得=15。是解题的关键.【变式6-3(2023下四川成都八年级校考阶段练习)如图1,在平面直角坐标系中，已知点A,B的坐标分别为(0,3),(3,0)(1)求直线A8的解析式；(2)如图2,点C是点B关于y轴的对称点，点。是AB的中点，点P为)，轴上自原点向正半轴方向运动的一动点,运动速度为2个单位长度s,设点P运动的时间为fs,点。为射线BA上一点，当U5时，22=：,求点。的SACDB3坐标；(3)如图3,在(2)的条件下，当POC为等腰直角三角形时，求7的值.【答案】
38、(Dy=-X+3(2)(-,三)或C-,2)(3)3【分析】(1)直接利用待定系数法求解即可;（2）先求出OP的长，再求出C、。的坐标进而求出ACDB的面积得到APQO的面积，再根据三角形面积公式求解即可；（3）根据题意可知当APDC为等腰直角三角形时，只存在NPoC=90。这种情况，则Po=OC,过点。作OEJ_），轴于E,OFLC轴于尸，证明RSPEDgRSCFO（HL）,得到PE=CEg则。P=6,t=3.【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b,.（3k+b=0 *tb=3.（k=-l=3, ,直线AB的解析式为y=-x+3;（2）解：由题意得OP=5x2=10, 点C是点B
39、关于5轴的对称点，点。是48的中点，点A,B的坐标分别为（0,3）,（3,0）, 点C的坐标为（30）,点。的坐标为弓，1）,：BC=6, Scdb=C-yD=6=p SAPQo_5SAeDB3,Sapqo=CDB=f 6。PkQI=热*ll=,:Xq2 点。在射线册上，当XQ=:时，yQ=P当%Q=时，yQ=P 点。的坐标为或（一9;（3）解：根据题意可知当APQC为等腰直角三角形时，只存在NPDC=90。这种情况，则PD=DG过点。作Z）E_Ly轴于E,DF_Lx轴于凡：,NPED=NCFD=90。,点O的坐标为号!）,血=*，XVPD=CD,RtCFD(HL),：.PE=CF=-,2：.
40、0P=OE+PE=6,【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，待定系数法求次函数解析式，全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化一轴对称，等腰直角三角形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键.【知识点2逆命题、逆定理】两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。【题型7写出某个命题的逆命题】【例7】（2023上山西吕梁八年级校考阶段练习）把命题”等腰三角形是轴对称图形”的逆命题改写成“如果那么”的形式：.【答案】如果一个图形是轴对称图形，那么它是
41、等腰三角形【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题；许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了逆命题；先把原命题的题设与结论交换得到逆命题，然后把逆命题的题设写在如果的后面，把逆命题的结论写在那么的后面即可.【详解】命题”等腰三角形是轴对称图形的逆命题为“轴对称图形是等腰三角形“，此逆命题写成“如果那么”的形式为“如果一个图形是轴对称图形，那么它是等腰三角形”；故答案为：如果一个图形是轴对称图形，那么它是等腰三角形.【变式7-1（2023上八年
42、级课时练习）命题：”等角的余角相等”的条件是,结论是：,逆命题是.【答案】两个角相等它们的余角相等如果两个角的余角相等，那么这两个角相等【分析】根据命题的条件和结论和逆命题的定义进行求解即可.【详解】解：命题：“等角的余角相等”的条件是：“两个角相等“；结论是：它们的余角相等；逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等.故答案为：两个角相等；它们的余角相等；如果两个角的余角相等，那么这两个角相等.【点睛】本题主要考查了命题的条件与结论，命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【变式7-2（2023下江苏盐城八年级统考期末）命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命
43、题是.【答案】如果两个数的倒数相等，那么它们也相等.【分析】交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题.【详解】解：命题“如果两个数相等，那么它们的倒数相等”的逆命题是“如果两个数的倒数相等，那么它们也相等【点睛】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键.S【答案】如果所有的角都是直角，那么它们相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，命题的结论写在那么的后面即可.【详解】“所有的直角都相等”的条件是：“所有的角都是直角“，结论为：“它们相等”，写成“如果，那么”的形式为：“如果所有的角都是直角，那么它们相等“，故填：如果所有的角都是直角，那么它们相等.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.【题型8判断逆命题的真假】【例8】（2023上安徽亳州八年级统考阶段练习）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理.【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理.【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，
