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1、第39讲空间点.直线.平面之间的位置关系（讲）思维导图题型1：平面的基本性质及应用题型2:空间两直线位置关系的判定空间点、直线、平面之间的位置关系题型3:求异面直线所成的角对异面直线的概念理解致误I判断直线与平面的位置关系时，忽视直线在平面内致误常见误区41对等角定理条件认识不清致误忽视异面直线所成角的范围致误知识梳理1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条宜线互相平行.2.空间直线的位置关系（1）
2、位置关系的分类（平行共面直线知力,异面直线：不同在任何一个平面内（2）异面直线所成的角定义：设,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线Gbfb,把d与勿所成的锐角（或直角）叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）；范围：（0,5.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系（1）空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表不符号表示公共点直线。在平面。内/u有无数个公共点直线在平面外直线与平面平行a/a/a没有公共点直线。与平面斜交ZVaCa=A有且只有一个公共点直线与平面垂直Iaa_LaI（2）空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示
3、符号表示公共点两平面平行Z/二4/77没有公共点两平面斜交-AAGA中，Ae=2,AAI=6，点G为正方形ABCD的中心，点E为A3的中点，点尸为AE的中点，贝I）A. C、E、尸、G四点共面，且CF=EGB. C、E、FG四点共面，且BHEGC. C、E、F、G四点不共面，且Cb=GD. C、E、F、G四点不共面，且CFEG【分析】根据AC,AE确定平面ACE即可判断四点共面，利用勾股定理计算EG、C尸得出尸G和C尸是否相等.【解答】解：连接AC,CE,.G是正方形ABCD的中心，.Ge直线AC,又ACU平面ACE,.Ge平面ACE,又产e直线AE,.Fe平面Ac七，又Ce平面ACE,E平面
4、ACE,.CE、FSG四点共面.取4)的中点/,连接EM,GM,则EM=5GM=I,:.EG=SlEMGM*=2,取AM的中点N,连接RV,CN,则FN=孝，CN=J(I)?+2?=|/.CF=yFN2+CN2=7.EGCF.故选：B.【跟踪训练1-2】（2019秋乐山期末）如图所示，正方体ABCo-AMGA中，AC与截面OBG交于。点，AC,BD交于M点、,求证：C1,O,M三点共线.【分析】欲证C,O,M二点共线，只须证它们都在平面AACG与平面OBG的交”.根的公理可知，只要说明G,O,M三点是平面AACG与平面O8G的公共点即可.【解答】证明：如图，因为Ge平面AACG,且G平面力BG
5、，.G是平面AACa与平面OBG的公共点，又因为MAC,所以M平面AACG，l%,.M平面D3C,.M也是平面AACG与平面DBG的公共点，.ClM是平面AACG与平面DBCl交线，O是AC与平面OBG的交点，OW平面AACG，OW平面力8C,.O也是平面AACG与平面DBC1的公共点，.o直线G,即C,O,M三点共线.【名师指导】1 .证明点或线共面问题的2种方法（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2 .证明点共线问题的2种方法3 1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条
6、直线上：4 2）直接证明这些点都在同一条特定直线上.5 .证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.题型2空间两直线位置关系的判定【例2-1】（2020广元模拟）如图，在四棱锥尸-ABCO中，底面为梯形，ADBC,AD=3,8C=6,E,产分别为棱PB,Pe的中点，则（）A.AEDF,且直线E,FD是共面直线B. AEDF,且直线AE,曾是异面直线C. AE=DF,且直线AE,9是异面直线D. AE=DF,且直线,PD是共面直线【分析】可连接所，根据条件即可说明四边形4）正是平行四边形，从而得出AE=OF,且直线AE,FD是共面直线.【解答】解：如图，连接EF,E
7、. F分别为棱依，PC的中点，AD/BCA0=3,BC=6,.EFBCef=Lbc,2.EFAD,且七产二AD,.四边形皿石是平行四边形,1.AE=DF,且尸，.AE,KD是共面直线.故选：。.【跟踪训练2-1】（2020泸州模拟）正方体A3CO-A4CQ,下列命题中正确的是（）A. AC与BC相交直线且垂直B. AC与。是异面直线且垂直C. 与BC是相交直线且垂直D. AC与BR是异面直线且垂直【分析】分别求出AC与gC、AC与A。、与5C所成角判断A、B、C错误；证明AC与8R垂直判断。正确.【解答】解：如图,连接Ag,可得AABC为正三角形，可得AC与4C是相交直线且成60。角，故A错误
8、；A。/qC,.AC与A。是异面直线口成60角，故8错误；Bn与BC是相交直线，所成角为NABC,其正切值为应，故C错误；连接必，可知3D_LAC,则.AC,可知AC。是异面直线且垂直，故。正确.故选：D.【跟踪训练2-2】（2019秋吉林期末）如图，正方体A8C。-AMGA的所有棱中，其所在的直线与直线地成异面直线的共有条.【分析】由异面直线的定义可以直接得到结果.【解答】解：正方体ABa）-A4GA的共有12条棱中,BAI成异面直线的有：AD,DC,B1C1,C1D1,CC1,DD1,共6条.故答案为：6.【跟踪训练2-3】（2019秋武邑县校级期末）在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的
9、顶点或所在棱的中点，则表示直线G”、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）【分析】图（1）中，直线GHNMN,图（2）中面GHV，图（3）GMHHN、图（4）中，”任面GMN.【解答】解析：如题干图（1）中，宜线GHI/MN,图（2）中，G、H、N三点共面，但M任面GMV,因此直线G与MN异面；图（3）中，连接MG,GMlIHN,因此，GH与MN共面;图（4）中，G、M.N共面，但”任面GMN,.G”与MN异面.所以图（2）、（4）中GH与MN异面.故答案为：（2）、（4）【名师指导】异面直线的判定方法定义法5X（）：iiS平面丙话马平而乔二点的釐马平面再布定理法经过该点的直线为异
10、面直线（此结论可作为定：:理使用）;烧腐正西豕祀经不足异面五轨；即两我及平彷反证法Coj或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，：;导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面！题型3求异面直线所成的角【例3-1】（2020春赤峰期末）在正方体ABS-AgGA中，E为棱CG的中点，则异面直线他与。口所成角的正切值为（）A.B.2应C.D.222【分析】连结AC,AE,由DDJ3,得到NAEC是异面直线AE与。所成角（或所成角的补角），再求出异面直线短与力R所成角的正切值.【解答】解：在正方体ABC。-a4GA，中，E为棱Ca的中点，连结AC,AE,DDi/CC1,.NAEC是异面直线AE与OR所
11、成角（或所成角的补角），设正方体ABCZ）-A4G。的棱长为2,则AC=万=20,CE=L（JtanZAEC=2J2CE则异面直线A与OA所成角的正切值为2故选：B.【例32】（2020春让胡路区校级期末）在空间四边形ABCf）中，己知4）=2,3C=2点，E,尸分别是AB,CD的中点，EF=B则异面直线AD与Ae所成角的大小为（）【分析】取现）中点。，连结田、FO、EF,则QEAD,OFHBC,从而NEoE是异面直线AD与8C所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线AD与BC所成角.【解答】解：取皮）中点O,连结EO、FO.EF,Ao=2,BC=2五,E,尸分别是AB，CD的中点
12、，EF=5,.OEADOF/BC:.Z.EOF是异面直线ADAC所成角（或所成角的补角）,OE=-AD=I,OF=LBC=垃，22.cosNEoF二炉+OF-EJ=一立,2OEOF2122异面直线4）与3C所成角为：-ZE0F=-4故选：C.【跟踪训练3-1】（2020春保山期末）如图所示，三棱柱A8C-A8C所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直,a B.遗10r 55d IBG的中点，则异面直线AO与BE所成角的余弦值为（）【分析】取AC中点广，连接3E,EF,可得AD/EF,则异面直线4）与BE所成角为N正S,设三棱柱各棱长为2,求解三角形得答案.【解答】解：取AC中点F，连接。E,EF,D,
13、E分别为棱AM,用G的中点,:.DEIIAxCJ/AC,OE=；AG=3AC.DEHAFW.DE=AF,则四边形AD所为平行四边形，则A。/E尸.异面直线A9座所成角为/庄,连接BF.设三棱柱各棱长为2,则E尸=BE=6，BF=B在三角形班中，由余弦定理可得CoSNFE6=91-.312yj5y510即异面直线AD与跖所成角的余弦值为2.IO【跟踪训练3-2】（2020春玉林期末）在四棱锥尸-ABa）中，RV_L平面ABa）,PA=I,四边形ABCZ）是边长为2的正方形，E是PD的中点，则异面直线砥与PC所成角的余弦值是（）ATB.在C.3D.也3366【分析】取8的中点F,连接班，EF.推导
14、出瓦7/PC,得到NBE产为异面直线BE与PC的所成角（或补角），由此能求出异面直线BE与PC所成角的余弦值.【解答】解：如图，取CD的中点尸，连接8尸，EF.E是尸。的中点，所以EF/PC,则NBE尸为异面直线屏:与Pe的所成角（或补角）.由题意可得3=石，EF=LPC=、28=币,BE=6.22在凶尸中，由余弦定理可得CoSNBE产=613-也.2633加线的与PC所成角的余弦值是冬【跟踪训练3-3】（2020春尖山区校级期末）己知三棱锥尸-ABC,EA，底面ABC,EA=AC=2,底面AeC是等腰直角三角形，Z4C=90o,。是PC的中点.求（1）三棱锥P-A5C的体积；（2）异面直线A
15、D与所成角的大小.【分析】(1)推导出PA是平面A8C的高，由此能求出三棱锥P-ABC的体积.(2)取BC的中点石，连接AE,ED.推导出。E/尸8,连接AE,则AD与PB成角即为A。与。E成角ZADE.由此能求出异面直线AD与尸8成角.【解答】解：(1)，Q4_L平面ABC,.7是平面ABC的高.又.AHC为等腰直.角三角形，AC=A4=2,Sabc=gx22=2,14X-PA=2Vpabc=22=-.1-C-33（2）取BC的中点E,连接AE,ED.D、E是中点，.DE是P8C中位线，s.DE（PB,连接AE,.4）与PB成角即为4）与DE成角ZADE.在MDE中，DE=LPB=应,AD=f2,AE=短,2.NADE=60o,.异面直线AZ）与08成角60。.【名师指导】用平移法求异面直线所成的角的三步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
