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1、第36讲数列求和(讲)思维导图题型1：分组转化求和题型2:裂项相消法求和数列求和题型3:错位相减法求和利用分组(或并项)求和法时不能准确分组或不分奇数项与偶数项致误常见误区利用裂项相消法求和时消项出错或不能准确裂项致误利用错位相减法求和时出现符号错误或不能准确错项对齐致误知识梳理1.公式法小#4十、，JLXw.,n(a11),n(n)d(1)等差数列斯的前n项和一-=74+2-推导方法：倒序相加法.na,q=1,(2)等比数列&的前n项和Sn=a(-cf,)-P厂”推导方法：乘公比，错位相减法.(3)一些常见的数列的前项和：+2+3+.+=誓2 2+4+6+.+2=(+1)； 1+3+5+.+
2、(2-I)=2.2.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法：如果一个数列m与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.常用结论常见的裂项技巧kyw(w1)+1(+2)=妙+2)(2-1)(2+1)=、
3、2-12+1)w+rf/?(+1)(+2厂工(+1)(w1)(+2)/题型归纳题型1分组转化求和【例11】(2020春昆明期末)已知数列3是公差不为零的等差数列，4=2,且q,%,4成等比数列(1)求数列6的通项公式；(2)设么=4-2%求数列的前项和S”.【分析】本题第(I)题先设等差数列4的公差为d(d#0)，然后根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列出关于公差d的元二次方程，解出”的值，则可计算出数列4的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列的通项公式，然后运用分组求和法冲兜出前项和S”.【解答】解：由题意,设等差数列的公差为d(d0),则a2=2+d,a4=2+3dq,
4、a2，4成等比数列，.4；=44,即(2+d=2(2+3d),整理，得屋一24=0,解得d=0(舍去)，或d=2,.an=2+2(n1)=2HeN.(2)由(1)知,=n-2-=2n-22=2n-4故S,=b+b2+.+=(2l-4l)+(22-42)+.+(2n-4n)=2(l+2+.+w)-(4,+42+.+4f,)2“S+l)火1-4”)一21-4244n+,=H+.33【跟踪训练1-1】(2020春保定期末)已知数列4、血满足：antl=an+bn,4+2为等比数列，且=2,%=4,%=10(1)试判断数列2是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列%的前项和S【分析】(1)由已知数列递
5、推式求出打，结合数列2+2为等比数列，求得首项与公比，得到4+2,进一步求出/，验证即可得到数列2不是等差数列；(2)由(1)中的等比数列列出的表达式，然后累加得数列的通项，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解.【解答】解：(1)数列。不是等差数列.理由如下：由4+1-“=且=10bl=2f得力2=。3-4=6，又数列侑+2为等比数列，.数列纥+2的首项为4,公比为2.+2=4x22=16,得a=14,显然曲=12+4=16.故数列他J不是等差数列；(2)结合(1)知,等比数列勾+2的首项为4,公比为2.故2+2=42T=2,=2+,-2.a*一4=b“，瓦=2,a2=4,/
6、.tz1=2,a-an,=2n-2(n.2).令=2,(w-1).得,-4=22-2,a3-a-t=232,anan-=2w-2(.2),累加得勺-2=+2+2)-2(一1)(儿.2).an=(2+2i+2+.+2,)-2n+2=2(2i)-2n+2=2n+l-2n(n,.2).21又4=2满足上式，.&=22一2”.Sn=(22-2l)+(23-22)+.+(2b+,-2w)=(22+23+.+2i)-2(1+2+.+z?)=-2z7+0=22-h-4.2-12【跟踪训练1-2】(2020春永州期末)已知等差数列%,等比数列满足：q=4=3,4=12.(1)求数列与4的通项公式；(2)求数列
7、q+2的前项和S“.【分析】(1)利用已知条件求出等差数列伍“的公差为d，求出通项公式.求出等比数列2的公比为,然后求解通项公式.(2)写出%+Z=3+3x4*T,利用分组求和求解即可.【解答】解：(1)由0=4=3,a4=b2=12f设等差数列4的公差为d,则4=q+3d=12,所以d=3,所以r=3+3(-1)=3，设等比数列“的公比为g,由题H=Zw=12,所以q=4所以=3x4”。(2) an+blt=3n+34n-if所以q,+(的前n项和为Sn=(a1+a2+“)+(4+b2+.+bn)=(3+6+3)+3(1+4+16+.+4T)3=n（+l）+4w-1.【名师指导】1 .分组转
8、化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前项和的数列求和.2 .分组转化法求和的常见类型分组求和题型2裂项相消法求和【例2-1】（2020春黔南州期末）已知等差数列qr满足用=10，q+%=17.（1）求4的通项公式；（2）设二一，求数列2的前项和S”.【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和.【解答】解：（1）设首项为,公差为d的等差数列，满足4=10,4+q=17.A3=IOay+a4=17所以4=4+35-1)=3+1.3I1(2) 由(1)得。=
9、,可为+13+13/1+4所以S=b.+/?,.+=+.H!-=.-rt477103+l3n+443+4【跟踪训练2-1(2020安宁区校级模拟)已知S.=/+。+1是一个等差数歹U的前项和，对于函数f（x）=x2-ccf若数列的前项和为7；,则*02。的值为（）（）a2021d2018C2019卜20202022201920202021【分析】利用等差数列的前项和，求出。，化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和即可.【解答】解：S0=2+i是一个等差数列的前项和，可得+l=0,解得=-1,所以函数/Cr)=/+x,数列即二一上=，f(n)Jn-+nn+nn+1所以数列一一的前项和
10、为一一=1,n2+nn22334nw+1+1则，上.202020212021故选：D.【跟踪训练2-2】(2020春成都期末)数列J的前项和为%若为=I,则%=()(+1)AlDIC98C99A.1B.C.D.10099100【分析】利用数列的递推关系式，通过裂项相消法求解数列的和即可.【解答】解：数列q的前项和为S”，rt=-!=-一!一，n(n+1)nn+1gnGllll111I99所以：Sga=I-+.=1=.22399100100100故选：。.【名师指导】1.基本步骤2 .裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.3 .消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项
11、，前边刷第几项，后边就刷倒数第几项.题型3错位相减法求和【例3-1】（2020春柳林县期末）已知数列%的前项和为S“，S=*5eN*）.（1）求数列勺的通项公式；（2）设=Iogz向二,求数列也Iq+J的前项和7；.【分析】（1）根据数列递推公式，即可求出通项公式；（2）根据错位相减法即可求出前项和.【解答】解：（I）由S*=13，,得：当=1时，/=S=1；4n-14T-1当.2时，耳=Z-SI=（M）-（）=4一二经检验当=1时,也成立，所以凡=4T,（2）由（1）知rj=4,故b=log2Ja“+I=log?2=.所以%+=4n.7；=lx4+242+343+444+.+4,47；f=1
12、42+243+344+.+（h-1）4z,+w4+i,由-，i-3=4+42+43+.+4,-4+,=4（4-1LXrl,4-1所以-T1+4【跟踪训练3-1】（2020春黄冈期末）已知数列q满足=4,=1+2（.2）,已知数列4的前项和为S“，且满足Szf=I-.（I）求数列%和4的通项公式；（II）求数列q也的前项和.【分析】（I）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.（II）利用（I）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.【解答】解：（I）数列&满足g=4,4=%+25.2）,所以4一=2（常数），当=2时，解得=2,所以数列（qj是以2为首项，2为公差的等差
13、数列.所以an=2n.数列的前项和为Szi,且满足Sn=If当=1时，解得4=-.当几.2时，SnT=I-b一得2=包勿，整理得红=_!（常数），%2所以数列UU是以;为首项，；为公比的等比数列.所以=工；n2（11）由（I）得也=2（一）n,所以7；=2xlxg+2x（；）2+.+（g）”，j=2l2+2+.n.+,2222-得:=2+-+Fnb整理得（=4一（2+4）.【跟踪训练32】（2020春成都期末）已知等差数列6的前项和为S“，S5=30,S7=56；各项均为正数的等比数列仍满足a=；，（1）求数列%和2的通项公式；（2）求数列（可也J的前项和7；.【分析】（1）设等冷数列.的首项
14、为“，公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求.设等比数列2的公比为440）,由已知列首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；（2）把数列和4的通项公式代入数列（为也J,再由错位相减法求数列42的前项和T11.【解答】解：（1）设等差数列4的首项为q,公差为d,.5x4450+工一=30（=2由S5=3,S7=56,得r3,，解得，r.r76d“d=2Ial+=56I.ql=2+2(n-1)=2；设等比数列J的公比为虱q0),由bxh2=g,h2hy-,得,J1bq=G3，解得v=-,127a=1=3二M4仇二翁=2r令二的前项和
15、为&，贝U6=y+最+言，1123n-n3332333rt,3两式作差可得：-=l-!-+-L+.J-3、3323,1(1)2332+3.1F223rt13+季则g尼子猾,【名师指导】错位相减法求数列小的前项和(1)适用条件若&是公差为d(存0)的等差数列，瓦是公比为41)的等比数列，求数列4*”的前项和S(2)基本步骤展开Slt=QIb1+Q2b2+%/瓦i+q.6i,J乘公比gS/ai.%+%+.+%1-+%”错位相减:得(l-g)Sn=al1+a262+a-6a.+a,6.-I-I-(gl2a23flwo,tl)=a6+f(fc2+3+,A)-a6,1求和Sb=aib1+d(2+3+.)-.6,(3)注意事项在写出S与恭的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S,LqS：作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号.
