《重难点5-2数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重难点5-2数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx（37页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、重难点52数列前n项和的求法数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考杳错位相减法求和,解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问。近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算(错位相减、裂项相消)的考直，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和。题型1公式法求数列前n项和题型5错位相减法求数列前n项和题型2分组法求数列前n项和o/1=题型6裂项相消法求数列前n项和数列前n项和的求法题型3并项法求数列前n项和-/x7题型7含绝对值数列的前n项和题型4逆序相加法求数列前n项和J
2、X、一题型8数列求和与不等式综合【题型1公式法求数列前n项和】满分技巧(1)等差数列对的前n项和SZf=J=叫+里磬,推导方法：倒序相加法.nax0(N),若q=29+%=12.(1)求数列的通项公式；(2)若a=2Iog2an+求数列的前项和SfJ.【答案】(1)q=2”(eN);(2)5.=2+2(江)【解析】(1)设等比数列4的公比为夕，则依题意有：2+2=12,即/+g_6=0,解彳导。=2或4=一3(舍去)所以勺=227=2(4),(2)all=2,/.bn=21og2an+=21og22+1=2z?+1,%一2=2(+1)+1-(2+1)=2,且4=2xl+l=3,，也是首项为3,
3、公差为2的等差数列，.SlMJ3+j+I)=+?”.(一N)【变式2】(2023.宁夏银川高三校联考阶段练习)设正项等比数列4,q=81,且色必的等差中项为9耳(4+生).(I)求数列q的通项公式；(2)若a=Iog3O2n.,数列也的前项为S”，数列t满足%=行匕，为数列%的前项和，求Tn.【答案】(1)4=3(2)7三2w+l【解析】(1)设等比数列叫的公比为4(40),由题意，得I4；：解得,则a=*=3aq+axq=9(a1+axq)14=3所以数列的通项公式q=3”.(2)由(1)得=log2z=2-1,显然数列%是等差数列，因此SLF=笔a=2,AdTk7，所以4T(IY)+&T+
4、(4y=右.23352n-2w+l2+1【变式1-2(2023.山西校考模拟预测)已知等差数列也满足生=3%=2%-5.(1)求,的通项公式；(2)设数列步“的前项和为4,且,若图360,求加的最小值.【答案】(1)2-1;(2)IO【解析】(1)设等差数列血的公差为，则q+8d=2(4+5d)-5解得VLd=2，故q,-a+(n-l)J=2-l.(2)由(I)可得=2+1,贝股“=(2+1)2-(2-1)2=8，所以2-4“=8(心2),则数列也是是等差数列，Irk（8+8）,故，=-=4，?-+4.因为Z”360l所以4，+4/360,所以4（机+10）（利-9）0,所以?9或72023成
5、立的最小正整数的值.【答案】(1 ) q =3斤,为奇数“；(2)133彳,为偶数【解析】(1)由的用=3可得见+2%=3川，所以乎=3,un所以q的奇数项以及偶数项均为公比为3的等比数列，由4+%=4得%=1,%=3,由ala2=3,则生=3f因此4的奇数项以I为首项，3为公比的等比数列，偶数项以3为首项，公比为3的等比数列，a2n=r,a2n,l=3m,33/为奇数故凡=,3为偶数I-T/(一)sin=(a+a3+a2n-)+(a2+a4+2J=j27+=2(3-1)，I-J1D(n此时S,=232-I若Sfj2023,贝()23-12023,故陋,/2由于/()=3觊单调递增数列，且/(
6、14)=3=2187J(12)=36=729,所以此时满足3h等的最小的为14,，n-1、-T当为奇数时，此时s.=Si+凡=23-l+3,/由S”2023,贝12卜？一1)+3-2023,故2x3等+3*=3x3*2025，由于g()=3x3号为单调递增数列，且g(13)=336=37292025,g(ll)=335=3243v2025f所以此时满足32023的最小的为13,综上可得使得32023成立的最小正整数为13【题型2分组法求数列前n项和】满分技巧(1)适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.(2)常
7、见类型：若an=bnCn,且bn,C为等差或等比数列；bn,为奇数，通项公式为On二的数列，其中数列6,6是等比数列或等差数列.Cn,n为偶数2【例2】(2023山西忻州高三校联考阶段练习)已知数列q的前项和为工，,3Sn+1=2Srt-2(eN*).(1)求4的通项公式；(2)设数列出,匕满足，=1OgNF),cn=an+bn,求数列6的前项和小【答案】(I)q=-停J；(2)7；=2目色产【解析】(1)由题意可得广；(2),两式作差，得九川=2q,(“2),13Sz,=2S.T-2a14l2则,=4(n2),UnJ24当=1时，3S2=2S1-2,即3(4+%)=2q-2,将q=-Q代入，
8、解得出=一,则?J,适合乎(2),所以乎4，N；uJunDanj2?所以6是以-:为首项，专为公比的等比数列，所以=-(|).(2)由(1得)”=吗(-%)=TOgI)=一，.=，+TT)n故停卜用2削一口“(9+S+符+H卜“2+3+(J】吧lj1-z3=一2+2/等=21步/.【变式2-1】(2023江苏无锡高三校联考阶段练习)已知数列4的前项和为S“，且5+2=2%+l.(1)求数列4的通项公式；(2)求数列仔+(-1)j3”(wN)的前项和Ta.【答案】(1)凡二小犷；(2)T=L2+L?+w444【解析】(1)由Sfl+2=2q+l当=1时，S+2=2%+l,所以=1当2时，S+2=
9、2%+l式相减得勺+2”“=2勺-2。2,即6-2zt=2两边同除以2得，=又卜；,所以数列娶是以*为首项，T为公差的等差数列，4=；+g(-1)=,则勺=.2-(2)/=,可知数列5是以3为首项，W为公差的等差数列，可知数列(T)3是以3为首项，-3为公比的等比数列，7L=1+g)+3+(-9)+27+(-l),+3w唯用+北朝,2+L+止朝21-(-3)444【变式2-212023.江西贵溪高三贵溪市实验中学校联考阶段练习)已知数列,的前项和为S.闩=2,等比数歹Ua的公比为2,Snbn=n22n.(1)求数列4,d的通项公式；M为奇数(2)令为偶数,求数列G的前10项和.【答案】(1)a
10、n4n-2,bn=2n-l;(2)772【解析】(1)当=1时，SM=2,Sl=2,bl=l等比数列出的公比为2,则有=2,由SfA=-2，可得S.=22.当2时，anSn-Sn.i2nz-2(n-)24n-2.经检验，当=1时，4=2满足上式，所以为=4-2.o_14-2,为奇数(2)q=12T为偶数，设匕的前10项和为几，.TJo=(4+q+t)+(+40)=5x(2+34)+2x04)=772.21-4【变式2-3】(2023.广东广州.统考模拟预测)设数列为的前项和为S“，S5n=2-1.(1)求数列4的通项公式；(、UOg,凡,为奇数.、(2)若数列出满足d=:伸勤，求数列出的前2项
11、和匕.19【答案】(1)4=2T；(2)&=如2叫2_；【解析】(I)依题意，5=2%-l,当=1时，4=24-1,4=1,当2时，SI=2%-1,所以4=Sl-SZ=2an-,-1,4=2a_,(12),所以数列q是首项为1,公比为2的等比数列，所以q=2,q也符合.所以a”=伍-为奇数(2)由(I)得心为偶数，所以Q=(0+2+4+2n-2)+(2+23+22wl)-0+2zf2x2(14,)21-42/”，21_.n+122=-4+n-n=-2+n-n.3333【变式2-4】(2023山东潍坊统考模拟预测)已知数列凡的前项和为S“，且满足S,r=等4,4=l.(1)求数列,的通项公式；2
12、%为偶数(2)设数列2满足,=。“+2I?2,为奇数,求数列出的前2项和匕.可4+2,“4,l-44n【答案】32n+【解析】(I)因为邑=等4,2时fSWT=支一* T相乘得F=，所以q=52)，a当=1时符合上式，所以q=；2,为偶数(2)l=1w+2nC+2,“为奇数,nn+222当为奇数时23篦一百+2*2(+匚=上2+上3352w12w+11-42n+14w+,-44F32+1【题型3并项法求数列前n项和】薪SiT一个数列的前11项和中，可两两结合求解，则称之为.并项求和.形如n=(-1)虫)类型,可采用两项合并求解.例如，511=1002-992+982-972+22-12=(10
13、0+99)+(98+97)+(2+1)=5050.【例3】(2023陕西西安高三校考阶段练习)若数列%的通项公式是凡=(-1)”(2-1),则该数列的前100项之和为.【答案】100【解析】因为q=(-1)(2-1),所以4+%=2,a3+a42,，a99+100=2,所以该数列的前100项之和为q+生+=502=100.【变式3-1】(2023.河北邯郸统考模拟预测)已知数列3的前项和为3,且满足S.=?+(1)求数列,的通项公式；(2)若数列2=(T)Z,求数列也的前2项和匕.【答案】(1 )%=2, = 12,lf2(2)21【解析】(1)因为S”=2+l,当=1时，1=5l=12+1=
14、2,当2时，S,t=(-1)2+1!J4=S0-S“t=2+151)21=2T,当 =1时，q=2-1不成立，所以为=2, = l2n-in2-2z=l(2)由(I)可得(T)Z=3)卬21),心，所以=-2+3-5+7-9+11-13+(4j-5)-(411-3)+(4h-1)=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+(4m-5)-(4/7-3)+(4n-1)=-2-2(w-1)+(4-1)=2-l.【变式3-2】(2023广东广州高三统考阶段练习)记S”为等差数列q的前项和,已知4+4=12,S6-S,=20(1)求4的通项公式；(2)B=(-l)nS求数列0的前23项的和T23.【
15、答案】(1)an=2n-;(2)-276a.+a.=2a,+5d=12；9解得4=1,d=2.&-S11=勿+9d=20所以4=1+(-l)2=2n-l.(2)由(I)可得：S,=(1+；T)=/可唬=(TySfI=(T)”.2,可得=-l2+22-32+42+L-212+222-23z=(2-l)(l+2)+(4-3)(3+4)+(22-21)(21+22)-232=1+2+3+4+21+22-232=22(1+2-232=-276,2所以自=-276.【变式3-3】(2023湖南邵阳高三校联考阶段练习)已知数列4的前项和为S,且4=1,nan+i=(n-1)a,r4n-1(?NJ.(1)求
16、数列%的通项公式；(2)若2=(T)”Srt,求数列他的前项和7；.【答案】(1)勺=2-1;(2)7；=(-1)”等【解析】(1)由已知可得4向-(-1)4=而-1,Ci232a3-,=7则.34-26=11,“4+Y7)4Ti等式累力口可得加.=3+7+11+.+(4-1)=畸+)=(2+i),所以，凡尸2+1,故当2时，i=2(h-1)+1=2i-1,6=1也满足为=2-1,故对任意的N,an=2n-.(2)因为能“一%=(2+1)-(2-1)=2,故数列q为等差数列，则S”=(；I)=2,所以$=(_)/=(-1)”2,对任意的攵N贝由1+人”=(-1)21(2攵-1)2+(1户-(2
17、女)2=4攵2一(4攵2-4攵+1)=4%-1,当为偶数时，设=2A(AwN.),贝(JA=,贝比=2二+&=2、(方+圻等；n +/?当为奇数时，设=2I(%N),则A=等，贝Ui=Ai=T2t-b2k=2k2+k-4k2=k-2k2-2虹三,K)”当【变式3-4】(2023重庆高三重庆一中校考阶段练习)已知数列叫满足4=2,%=3,且+2=X+(weN4).(1)求证：数列为等比数列;(2)若=(-1)P+L,求数列出的前项的和S.【答案】(1)证明见解析；(2)4+【解析】(1)%+2+2%=3q+GN)，且4=2,%=3,2-nl=2(,r+l-n)(WeN*),且。2-6=100,J
18、i+=2(WN%一%故数列/”是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知，an-an=2n-,则有g一4=1 , 6-出=2 ,=2w2 ,ln+山G11)(111(11I1(11I当为偶数时，Sn=+-+-+(4%)1%a3)l/a4)IqIan)4+1111=-+=+4-22+1组t而S,S.=+舞【题型4逆序相加法求数列前n项和】满分技巧如果一个数列0n的前n项中首末两端等“距离的两项的和相等或等于同一个常数那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的.(x)+(2-x)=(x-1)3+2+(1-x)3+2=4,4h7=%36=e2,即有1哼+
19、Ina刈7=lna2+Ina2016=Ine2=2,可得：/(ln02017)+/(Ino1)=/(ln02016)+/(Ino2)=.=4,于是由两式相加得2S=2017x4,所以S=4034.故选：C【变式4-2】(2023.全国.本溪高中校联考模拟预测)“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等等.已知某数列的通项一51“,w26an=2 +99.99【答案】(I)X=2” ；(2)齐【解析】(1)当 =1时，4=
20、2 ；当2时,A/+$+祟=,色+与+冬宅=I,2 2* 2?2一9-得：J = I ,q=2,当 =1 时，4=2(2 ) ,., = 2” + 250，(=2. 1 1. + 0Q-“2” +2，。+ QlOO-n= +I 2$0 2 + 2的2 + 2， 2250 + 2h 12 + 250 + (胃+250”50 -(2 + 25o”5o - 250b + H + H + + b* =+ + +21+250 22+251299 + 250，14- -, + + , 28 + 250 2% + 2502, + 250I99又：乙+如=萍，+得：2(4+/+%)=薄.994+9=至7,【题
21、型5错位相减法求数列前n项和】满分技巧1、解题步骤展开乘公比必产出+%+%Ct WlSn=aibl+a22+*.,bnI+b错位相减-:得(l-g)Sn=b+262+-b.-+nM-1622b3+a,ibn+a,a,1)=a21一2,所以S”=(f*+2【变式5-2(2023山东泰安高三统考期中)已知数列6的前项和为S“，SLl且.+25.产。，11N4.(1)求知；I(2)记人=竺2，求数列a的前项和.=1【答案】(1)4=_2;(2)_(6-114+2(2”1)(2一39【解析】(1)a+i+2S+=0l:.S+l-Sn+2SnSn+l=O是公差为2,首项为F=1的等差数列.士2T即V-2
22、(21)(2-3)，= 1-2(2-1)(23),n2I(2) =i 时，h=21l=24-L1 22ztl2时，=詈= (3-2)4T. (2-1)(2-3)设也的前项和为丁一则j=2-4i-342 +(3-27)4w, z4j=24,-42- +(5-2w)4n-,+(3-2H)4,.-3j=-2-2(4,+42+ + 4, )-(3-2n)4z,4(l-4w)= -2-2 , 4 +?-34”1+ 2*卜._(6-ll)4+2(n2)当 =1时，也符合，所以7；(6n-ll)4n+2【变式53】(2023.海南校联考模拟预测)已知数列4的前项和为S”，且 5,r+1 -(w + l) =
23、 2n2 + 2n,a2 = 7.(1)求 s” ;(2 )若2=5q ,求数列出的前项和小【答案】(I)S“=2M + ；(2)7；(2-l)5n+,+5【解析】(1)依题意，nSll+l-(11+1)Stl=2n2+2n=2n(n+),故一=2，是以2为公差的等差数列.而邑A=JZl二2m3212又的=7,解得=3,故的首项为3,则e=3+(-l)2=2+l,贝US“=22+.(2)由(1)可知，当=1时，tz1=51=3;当2时，an=S“-Si=2n2+n-2(n-)2-(n-i)=4n-t4=3也满足该式，故q=4-1(N)z故=(41)5,则7；=35+752+ll53+(4T5,
24、5i=352+753+1154+(4-1)5,+i两式相减得，-4=35,+452+4.53+4-5m-(4-l).5rt+,f-4=45,+452+453+45m-(4w-l)5w+,-5=4-5(l-5w)_y+l_5“1-5-47；=5(5n-l)-(4n-l)5+,-5-41t=(2-4)5向一10田T(2w-1)5+,+5故；【变式54】(2023.江苏南京高三期末)已知数列/满足4=0,4=2,且对任意，小e!都有a2m-+-=+rt-1+2(m-n)2.(1)设2=%川一生小，证明：2是等差数列；(2)设Cq)(qr),求数列q的前项和5”.n2+n,q=1【答案】(1)证明见解
25、析；(2)5.=2(1-02叼1(-I【解析】(1)因为对任意肛2都有出时1十%“_|=2q+,1+2(加-)2,所以以+2替换，得，=%“+8,则6+l)+l-t+1)T(2n+l”2-1)=8,由，+1-=8,所以M是公差为8的等差数列;(2)令，=2,=1彳导，a3+a,=2a2+2,即=6,则4=%-4=6,所以由(1)得，2是以6为首项，公差为8的等差数列，所以=8-2f即阴“+-%1=8-2.由*+%=-i+2(m-Zi)2f令?=1可得，。”=碧乌-(-1)2,则4+1-4=W_2+=W-2n+=2n,由G=(%-a”)/(”0)得，Cn=2%.当4=1时，Srt=2+4+6+2
26、=2；2)=/+.当它1时，S=2-0+4+6+2叼T，贝MS.=2q+4+6q3+2nq，一彳导，(l-q)S“ =20 + g + q2 + qnx) - 2nq,，20T)-q-2nqn l斫以S-2(J)2时所以邑一诉广口n2+n,q-1, Sn =2(j) 2nq(-g)2 q【题型6裂项相消法求数列前n项和】满分技巧1、用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项,前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和
27、时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项2、裂项相消法中常见的裂项技巧(2)- = l(-! 4/f-l 2 2n-l 2n + l(4) 2 + 1 = 11n2(n + l)2 n2 ( + I)?( ) -7=f=(yn + k-n) + 2 + ，、 17 )=(24,-l)(2-l)(2+, -1)(2,-1) 2-l 2+, -1(1)(3)(5)=()( + 2) k, n n + kn(n +1)( + 2) 2 nn +1) ( +1)( + 2)/7 + 1_ 1/5 + 2)2 - Z例6(2023四川南充统考一模)已知数列4是首项为2的等比数列，
28、公比，/0,且4是皿和出的等差中项.(1)求q的通项公式；(2)设数列2满足丁L,求出的前2023项和心嫡.uS2anu2+l【答案】（1），“2”；（2）63=血【解析】（1）数列%是首项为2的等比数列，4是阻和生的等差中项，2%=6.+%，即2q3=6%q+%q2,3.242一夕一6=0,解得夕=2或夕=J（舍）,_1Iog2Iog2art+1Iog22rtIog22+,w(+1)nw+15023 = a + 2 +L Illl+ 0)3 =J-2023 1 2 2 31J_12023+20232024202420242的前2023项和3=痂.【变式6-1】（2023江苏镇江高三校考阶段练
29、习）已知数列q的前项和为S“人是、5”的等差中项，N.（1）证明：4+1是等比数列；2n（2）设2=,数列间的前项和北，证明：前1.,an+【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为4是”,S”的等差中项，所以2q=+S”，所以=+l+S-两式相减可得：24“-2q=1+%,所以4+l=2（,+l）,又24=1+s=1+4,所以4=1,4+1=2WO,所以q+1是首项为2,公比为2的等比数列；（2）由（1）可知/+1=2，所以q=2”-1,、二2二2=1_所以z,ana11.（2n-l）（2n+,-l）-2,-l-2rt+,-l所以1所以二1-37，Z-1因为22-10,所以
30、不，。，所以（1Z-1【变式6-2】（2023福建莆田高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列,前项和为S”，且满足wN*,2Sn=+.(I)求数列J的通项公式；(2)设2=3J,Cn=弋:Z,求证：q+G+nn乙【答案】(1)4=，eN*;(2)证明见解析.【解析】(1)由已知*=1,sohCc/+”(n-l)2+(n-l)2时，an=Sn-Sn,l=-=/此时=1也适合上式，所以。”=,N*;2x311(2)由()d二31,r-(3-i)(3n+,-1)3,-l3n*,-l，55/11、/11、,111I1所以G+G+0”=(三)；)1+(-：)=67）=4,.（1）求数列/的通项公式;（2
31、）若数列间满足2=嚓&,数列也的前项和为。，试比较乙与5的大小，并加以证明.【答案】（1 ）可=32 22两式相减，得不+不+由于0 ,故翳0 ,所以I=：8 + 6 8 2+22+2rt-,=-三-=2-2(i2),12又&=M=2,所以向=2，即S“=4”,1f4,/?=1故当2时，M=SbSE=3-4小，因此勺=J342-O（2）7；1Z2+2-2=(+i)2-2,又当=1时，4=2-1=1,当=2时，$2=4+/=4,则%=3,显然4=1吗=3符合为=5+1)2,所以数列4J的通项公式是q=(+1)2.n+22(z+1)-11(2)由(1)知，-z7(+1).2-2w(w+i)2n-2z2d-3-(w+l)2n2z所以伪+伪+=Ix2-222+22,32+23(+1)211-2=_!_=
