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1、“立体几何”大题规范增分练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知两=PGAB=BC.(1)求证：PB1AC；(2)若平面P8_L平面ABCzXAB/CD,且AB=2CD=2,ZABC=90,二面角P-BC-D的大小为45,求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.解：(1)证明：如图，取AC的中点M,连接MB,MP.Y在%C中，PA=PC1MA=MC,：.MPAC.同理在aABC中，AB=BCtMA=MCt：.MBJ-AC,且MPCMB=M,MP,M3U平面PM8,AC_L平面PM8.又PBU平面PM3,：.PBA.AC.(2)因为平面PCQJ平面A8CQ,交线为C。，又NA8C=90,AB/CD
2、1所以8CLCO.因为BCU平面ABCa所以BC-L平面Pax因为PCU平面PCO,所以BC工PC.故NPCQ为二面角P-BC-。的平面角，NPCQ=45.以8为原点，8C所在直线为X轴，以84所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0A0),P(2,2,2),A(0,2,0),C(2,0,0),0(2,1,0),则司=(Oj,2)JAQ=(2,-1,0).设11DP=0,y+2z=0,平面附。的法向量为n=,ytZ),则4=令X=I,得n=(i,2,nA=o区一产0，-1).又诉=(222),所以直线8P与平面O所成角。的正弦值为sin9=ICOSn,BPwlB？I32 .如图，
3、在三棱柱ABC-A山IG中，AAl_L平面ABC,ABC,AB=AC=4,AAl=2,点。是棱BC的中点.(1)求证:AlB平面AG。；(2)在棱AC上是否存在点M,使得直线BD与平面ADM所成角的余弦值为喈？若存在，求出AM与AC长度的比值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：连接4C交AG于点。，连接。，由于四边形4CG4为矩形，所以。为AlC的中点.又。是棱8。的中点，故在448C中，QD是AAiBC的中位线，因此OO4&OoU平面AG。，AlBC平面ACiD,所以48平面AG).(2)存在点M,使得直线8。与平面AQM所成角的余弦值为今早.理由如下：由AAlJ_平面ABc48_LAC
4、可知，三棱柱48C-AlBICl为直三横柱，且底n面为直角三角形，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，*/：?则A(0,0,0),AI(0,0,2),8(4,0,0),C(0,4,0),D(2,2,0),设值=2A?(021),里生则M(0,42,0),初=(0,44,-2),DW=(-2,42-2,0),W=(-2,2,0).Af =4Ay-2z=0,设平面AIoM的法向量为n=(x,y,z),则“11DM=Zri(4A-2)y=0,取 z=2,则Xl=2为一1,Iyl=1,得n=(221,1,21).设直线BD与平面ADM所成的角为6(,3，则cos。=今甲，可得Sin=y1-
5、cos123l11BDIU4、.所以ICoSn,BD=InIMl44.2I3(22-1)2+1+4224+4-昼，整理得乃+6%一3=0,解得2=2小一3或l=-253,由于0W2W1,所以入=2#一所以棱AC上存在点“，使得直线80与平面AIQM所成角的余弦值为斗投，此时萼=1D/U2=23-3.3 .(2023淄博二模)如图，AABC是圆柱底面的内接三角形，以为圆柱P的母线，其中NACB=全圆柱的母线和其底面圆直径的长都为2.卜/(1)当ABUC时，证明：ACJLPB；j*(2)当三棱锥P-ABC体积取最大值时，求平面PAC与平面PBC夹角的依上必余弦值.解：(1)证明：由于附为圆柱的母线
6、，所以雨JL平面ABC,ABU平面A8C,可得附_L由已知A8LPC,且BAU平面雨C,PCU平面以C,MPC=P,所以AB_L平面C.因为ACU平面雨。，所以A8LAC.因为附_L平面ABC,ACU平面ABe所以mJAC,且U平面以&A8U平面附8,PAQAB=Af所以ACJL平面附8,且PBU平面办&所以AC-LP8.(2)当三棱锥P-ABC体积最大值时，即AABC的面积取得最大值，设aABC的三边为a,b,ct因为NAeB=鼻，所以AB=C=2sig=小.由余弦定理可得C2=?=/+)2-2血当且仅当=方时等号成立.所以SAc=sinC3X雪=乎，当XABC的面积取得最大值时，A8C为正
7、三角形.以AB所在直线为X轴，布所在直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),(3,0,0),P(0,0,2),坐，|,0)设平面外。的法向量为n=(,ytz)t_(nAP=2z=0,其中前=(0,0,2),工？=用，,0,M5_后3令尸1，得nnW=+m=0,=(-3,1,0).设平面PBC的法向量为m=,y,z),其中=(一5,0,2),碇=(-唳1，o),1m#=-I+2z=0,则2?=-2x，+f=0,令y=1,得m=(小，I,I).2-5I-Fr 5- 2 -X 1 2n112所以平面C与平面PBC夹角的余弦值为IniIln2I4.如图，线段AC是圆。的直径，点8
8、是圆。上异于A,C的点，AC=2,BC=I,%J_底面ABC,M是P8上的动点，且的=/1(0l),N是尸C的中点.(1)若为二M记平面AMN与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面尸8C的位置关系，并加以证明;(2)若平面PBC与平面ABC所成的角为小点M到平面布C的距离是坐，求2的值.解：(1)直线/平面PBC证明：当A=；时，M是PB的中点、.又因为N是尸。的中点，领以MNBC,又BCU平面ABG且MNC平面ABC,所以N平面48C又MNU平面AMN,且平面AMN平面ABC=/,所以MN/.又因为/C平面P8C,MNU平面PBC,所以直线/平面PBC.(2)因为AC是圆。的直径，所以N
9、48C=90,由勾股定理得A8=5因为以J平面ABC,BCU平面ABC所以必L8C入AB工BC,ABOPA=Af所以BCj平面P8A,而PBU平面PB4,故P8J8C,故NPBA就是二面角P-BC-A的平面南，所以NPBA=今所以必8为等腰直角三角形，且朋=A8=i以点3为坐标原点，BA,3C所在直线分别为X,y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(5,O,O),5(0,0,0),C(O,1,O),P(3,0,3),Adk=(-3,1,0),aF=(O,O,3).-3x+y=0, 所以Ll-lP？n3因为同0=aPB=(-32,0,-32),所以点M到平面%C的距离d=l11lzS2Z=竽,解得;I=宗
