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1、第21课三角形与全等三角形,基础知识 自主学习,1三角形边、角关系： 三角形的任何两边之和 第三边；三角形的内角和等 于 .2三角形的分类： 按角可分为 和 ，按边可分 为 和 ,要点梳理,大于,180,直角三角形,斜三角形,不等边三角形,等边三角形,3三角形中的主要线段： (1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的 交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条 角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距 离相等 (2)中线：连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫 做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形 的重心 (3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫 做
2、三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的 垂心 (4)中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的 中位线,4外心： 三角形三边的中垂线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的 距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形 外，直角三角形的外心在斜边中点5全等三角形的性质和判定： (1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三 角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等 三角形的周长、面积也相等. (2)判定： 对应相等的两个三角形全等(SAS)； 对应相等的两个三角形全等(ASA)； 对应相等的两个三角形全等(AAS)； 对应相等的两个三角形全等(SSS)；
3、对应相等的两个直角三角形全等(HL),两边和夹角,两角和夹边,两角和其中一角的对边,三边,斜边和一条直角边,难点正本疑点清源 1三角形的分类 按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定 2提高运用全等三角形解决几何证明问题的能力 用全等三角形解决几何证明问题，要灵活运用题设条件，结合待证结论，对照图形，从不同角度去试探，不要怕碰壁，要善于分析，总结规律，并
4、加以适当练习，一定能提高运用全等三角形证题的能力 证明三角形全等的过程中，应遵循以下几点：(1)先指明在哪两个三角形中研究问题；(2)按边、角的顺序列出全等的三个条件(对于直角三角形有两个条件)，并用大括号括起来；(3)写出结论，将两个全等三角形中表示对应顶点的字母写在对应的位置上；(4)在证明过程中要步步有依据,判定三角形全等的基本思路是：(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件 如果待证结论所在的两个三
5、角形不全等，则需要添加辅助线，构造全等三角形构造的常用方法有：(1)若已知三角形的中线，往往会用到“中线倍长”的方法；(2)可通过作平行线，构造相等的角，创造三角形全等的条件；(3)截取相等线段或相等角，创造条件在实际解题过程中，要注意结合题意，采取不同的辅助线作法，并注意及时总结,基础自测,1(2011滨州)某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是() A. 1 B5 C7 D9 答案B 解析这个三角形第三边x的范围是43x43，即1x7，只有5在此范围内,2(2011苏州)ABC的内角和为() A180 B360 C540 D720 答案A 解析根据内角和定义可知,
6、3(2011济宁)如图，AEBD，1120，240，则C的度数是() A10 B20 C30 D40 答案B 解析由AEBD，得AED240.在ACE中，C1801AED1801204020.,4(2011衢州)如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为() A1 B2 C3 D4 答案B 解析因为PAON，且PA2，可知点P到ON的距离等于2，根据OP平分MON，角平分线上的点到角两边的距离相等，当PQOM时，PQ的值最小，为2.,5(2011上海)下列命题中，真命题是() A周长相等的锐角三角形都全等 B周长相等的直角三角形都全等 C周长相
7、等的钝角三角形都全等 D周长相等的等腰直角三角形都全等,答案D,题型分类 深度剖析,【例 1】(1)(2011河北)已知三角形三边长分别为2，x, 13，若x为正整数，则这样的三角形个数为() A2 B3 C5 D13 答案B 解析132x132，即11x15. 整数x的值为12,13,14，这样的三角形有3个,题型一三角形的三边关系,探究提高三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短” 根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a、b，可确定三角形 第三边长c的取值范围|ab|cab.,知能迁移1(1)(2010青海)等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为_ 答案22 解析44
8、89，第三边长只能为9，周长49922.(2)(2011南通)下列长度的三条线段，不能组成三角形的是() A3, 8, 4 B. 4, 9, 6 C15, 20, 8 D. 9, 15, 8 答案A 解析因为348，所以长度为3,8,4的三条线段不能组成三角形,题型二三角形的内角、外角的性质,【例 2】一个零件的形状如图所示，按规定A90，B和C分别是32和21，检验工人量得BDC148，就断定这个零件不合格，请说明理由,解延长BD交AC于E. DEC是ABE的外角， DECAB9032122. 同理，BDCCDEC 21122143148. 这个零件不合格探究提高有关求三角形角的度数的问题，
9、首先要明确所求的角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线构建“桥梁”,知能迁移2如图，P是ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“BDC， 同理BDCBAC.BPCBDCBAC.,题型三运用全等三角形的判定,【例 3】已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明,解证明：ADBE，AFDE，无法判定ABCDEF， 这是假命题 添上一个条件，比如ACDF. ADBE，ADDBBEDB，即ABDE. 又AFDE，ACDF. AB
10、CDEF(SAS) 亦可添加：CF，或ABCE.探究提高本题可运用多种判定方法得到三角形全等的结论，但切记“两边一对角”是不能判定两个三角形全等的,知能迁移3(2010金华)如图，在ABC中，D是BC边上的点(不与B、C重合)，F、E分别是AD及其延长线上的点，CFBE. 请你添加一个条件，使BDECDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明 (1)你添加的条件是：_； (2)证明,解(1)在BDDC(或点D是线段BC的中点)，FDED，CFBE 中，任选一个即可 (2)以BDDC为例进行证明 CFBE， FCDEBD. 又BDDC，FDCEDB， BDECDF.,题型四运
11、用全等三角形的性质,【例 4】已知：如图，在ABC中，D是BC的中点，EDDF，求证BECFEF.,解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！,证明：延长ED到M，使DMED，连接CM、FM. D是BC的中点，2分 BDCD. 在EDB与MDC中， EDBMDC(SAS)6分 BECM. 在FMC中，CFCMMF， 又EDDF，EDDM， EFFM. CFCMEF，即CFBEEF.8分探究提高利用中线加倍延长法，把BE、CF、EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证,知能迁移4(2011浙江)如图，点D、E分别在AC、AB上 (1) 已知：BDCE，CDBE，求证：ABAC； (
12、2) 分别将“BDCE”记为，“CDBE” 记为，“ABAC”记为.添加条件、，以为结论构成命题1；添加条件、，以为结论构成命题2.命题1是命题2的_命题，命题2是_命题(选择“真”或“假”填入空格),解证明：(1) 连接BC， BDCE，CDBE，BCCB， DBCECB (SSS) DBCECB. ABAC. (2) 逆， 假,答题规范,考题再现如图，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且CDBE，求证：ADCAEB.学生作答 证明：在ADC和ABE中， ABEACD， ADCAEB.,8留心“边边角”,规范解答 证明：连接BC. ABAC， ABCACB. 在DBC和ECB中， DBCE
13、CB(SAS) BDCCEB. ADCAEB.,老师忠告1先看一个事实，如图，将等腰ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的DAB和DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟,2全等三角形的证明是几何证明的基础，关系到以后几何学习的成败，要熟练掌握判定三角形全等的方法，有“边边边”，“边角边”，“角角边”及“斜边、直角边”3怎样添加辅助线：做个比喻，思考某些题目，在沟通已知和结论的途中，一条河挡住了道路，这时添加必要的辅助线，就好像在河上架起桥梁添加辅助线的原则一是当分
14、析思考出现上述需要时才添加，而不要在思考伊始就乱连乱添，把图形复杂化，反而把思路搞乱；原则二是顺着思考分析的方向，注意沟通过程中的需要，而水到渠成地添上适宜的一笔；原则三是注意总结在什么情况下需要怎样添加的规律，如对于涉及(指题设或结论中出现)三角形的(中点)中线的问题，可以把该中线延长一倍，再把其端点和中点所在的边的端点相连结，构成三角形全等.,思想方法 感悟提高,方法与技巧 1. 三角形涉及的相关概念较多，准确地理解概念，掌握分类的思想方法，养成全面、周到地考虑问题的习惯 2. 三角形全等的判定定理和性质定理，直接或间接地推出平面几何中绝大多数的定理；判定三角形全等并利用三角形全等的性质，
15、是不少题目解决过程中重要的一步，因此，要学会完成证明的思考方法，培养和提高逻辑思维和推理的能力,3. 平面几何主要学习的内容是推理论证，对于一道题目，如何去想出它的证法，基本的思考方法有： (1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标； (2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法； (3)顺推分析与逆推分析相结合； (4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法,4. 证明三角形
16、全等的两种基本思考途径： (1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心对称)或旋转性时，思考途径是：从对居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件； (2)图形不具有明显的对称性或旋转性，此时要证明两个三角形全等，在思考上的关键是找准对应关系其方法是：已知条件中相等的角、边对应，则它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应，它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角分别对应,失误与防范 1三角形三边关系揭示了三角形边之间的一个重要性质，可以用来判断三条线段能否构成三角形，证明线段的不等关系，是以后
17、推理常用的依据 2三角形的高的位置不同于中线和角平分线，后两者总在三角形的内部，前者则要视三角形的形状而定锐角三角形三条高在其内部，钝角三角形有两条高在其外部，直角三角形有两条高恰好重合于两条直角边因此，这两条高既不在形内，也不在形外 3在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况，有些命题在一种情况下是真命题，而在另一种情况下就可能不是真命题,完成考点跟踪训练21,只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难
18、不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和
19、超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月
20、就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未
21、来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？
22、生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂
23、，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。
24、谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡
25、慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧
26、兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，,
