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1、土木工程测量,课程目录,5 测量误差的基本知识,5.1 测量误差概念（）5.2 评定精度的标准（）5.3 观测值的精度评定（）5.4 误差传播定律及其应用（）5.5 权的概念（）,一般了解,基本掌握,重点掌握,任何测量都不可避免地含有误差,5.1 测量误差概念,为什么会有测量误差?,5.1.1 测量误差产生的原因(1),以上统称为观测条件,观测条件不理想和不断变化是误差产生的根本原因,依据观测条件分为同精度观测与不同精度观测,真误差=观测值真实值 由于误差的存在，将使测量数据之间产生矛盾。平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉；同时评定测量的精度。平差可分为简易平差和严密平差。,5.
2、1.1 测量误差产生的原因(2),测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。1、系统误差 定义在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。产生原因大多是由于仪器设备制造不完善。如钢尺尺长的固定偏差、水准仪 角误差等。影响特性有规律性、有累积性，但可以用计算公式改正或采取措施（如对称观测）消除或减弱。,5.1.2 测量误差的分类(1),粗差错误误差！,定义在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，照准误差，读数误差等。产生原因来源
3、于人力不能控制的因素共同引起；影响特性个体无规律（不能预知、不可避免）；但总体具有统计规律性、可部分抵偿。,5.1.2 测量误差的分类(2),2、偶然误差,系统性误差,偶然性误差,系统误差反映了观测结果的准确度，即外部符合程度。准确度是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。偶然误差反映了观测结果的精密度，即内部符合程度。精密度是指在同一观测条件下多次观测时，各观测值之间相互的离散程度,本章主要研究偶然误差及其平差,两者本质上的比较,定义多于必要观测的观测，称为多余观测。目的防止错误的发生、提高观测成果的质量。重要意义根据多次观测产生的差值（不符值、闭合值）大小来评定测量的精度（精确程度）。决定观
4、测是否超限！误差不超限，则按偶然误差的规律加以处理闭合差调整，以求得最可靠的数值。误差超限，则认为观测值中有错误，必须重新观测！,5.1.3 多余观测,测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的！,5.1.4 偶然误差的特性（1）,偶然误差的统计实例,误差出现概率,分析方法概率统计原理,1、界限性,2、单峰性,3、对称性,4、抵偿性,5.1.4 偶然误差的特性（2）,频率直方图,当 n，同时又无限缩小误差区间折线变成光滑曲线。称为正态分布曲线，完整地表示了偶然误差出现的概率。,5.1.4 偶然误差的特性（3）,正态分布的数学方程为：,有限次时称为中误差m,在测量工作中，如何判断观测成果质量
5、好坏？引入“精确度”概念，简称“精度”！精确度包括精密度和准确度两方面。,5.2 评定精度的标准,精密度反映观测量的内部符合程度准确度反映观测量的外部符合程度,两者均高才是真正的精度高,主要取决于偶然误差的分布,主要取决于系统误差的大小,如何评价其精度?,对于基本排除系统误差，仅以偶然误差为主的一组观测值，可以用精密度来评价观测值质量的优劣。,5.2 评定精度的标准,绝对误差,相对闭合差,相对中误差,5.2.1 中误差（1）,式中为真误差的平方和，n为同精度观测次数。2、中误差定义的理解 理论上取标准差来反映观测结果的精度比较合适。,1、中误差的定义,实际工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测
6、。因此按有限次观测的偶然误差（真误差）求得的标准差定义为中误差m。实际上中误差m是标准差的估值。,5.2.1 中误差（2）,3、不同中误差的正态分布曲线,提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。中误差m结论相同,中误差为标准差的近似值,5.2.1 中误差（3）,4、用真误差计算中误差示例（方法一）,真值180度,中误差和真误差反映的都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，绝对误差并不能反映所有观测值的精度，如长度丈量的误差与长度大小有关。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用
7、K表示。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。通常有相对中误差和相对闭合差两种。,5.2.2 相对误差,根据偶然误差的第1个特性（界限性），在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差，简称限差。常用作观测成果取舍的标准。测量上常取两倍或三倍中误差作为极限误差限，也称容许误差，即：限=2m(适中)或限=3m(偏宽)有时，甚至限=1m(偏严)超限的观测值应放弃或重测！,5.2.3 极限误差,5.3 观测值的精度评定,观测值的分类,按观测条件划分同精度观测值与不同精度观测值例如：相同类型仪器、相同测回数的水平角观测为同精度
8、观测；否则，为不同精度观测；按观测量与求知量之间的关系划分直接观测值与间接观测值例如：钢尺量距属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。,5.3节介绍同精度直接观测值的平差值与精度评定,5.5节介绍不同精度直接观测值的平差值与精度评定,5.4节介绍间接观测值的精度评定误差传播定律,设对某未知量进行n次同精度观测，其观测值分别为l1，l2，ln,则算术平均值为 设真值为X，真误差：,5.3.1 算术平均值,有限次观测值的算术平均值x，可以作为该未知量的最或然值。,偶然误差特性4,平差值,利用观测值的改正数进一步论证算术平均值作为最或然值符合最小二乘原则。,将等式两端分别相加,改正数的平方和最小：最
9、小二乘原则,5.3.2 观测值的改正值,5.3.3 同精度观测值的精度评定（1）,将两式左右两边分别相减,将等号两端平方并求和,式中：,5.3.3 同精度观测值的精度评定（2）,公式推导,同精度观测值的中误差,算术平均值的中误差,5.3.3 同精度观测值的精度评定（3）,5.4节证明,例：对于某一水平角，在同样条件下用J6光学经纬仪进行6次观测，求其算术平均值 及观测值的中误差 以及算术平均值中误差。,5.3.3 同精度观测值的精度评定（4）,本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。,5.4
10、 误差传播定律及其应用（1）,直接观测量精度评定方法,间接观测量精度评定方法,？,观测值的函数,例1：水准测量中，高差h=a-b；例2：三角高程测量，高差h=Dtan i v。,下面推导一般函数关系的误差传播定律,设 的真误差为，则使 产生的真误差为将式取全微分,5.4 误差传播定律及其应用（2）,式中：,代入,详见高等数学部分,可写成：,5.4 误差传播定律及其应用（3）,5.4 误差传播定律及其应用（4）,当k为有限值时：,根据中误差定义得：,故上式可写成：,一般形式：,线性函数 1、倍数函数2、和差函数 3、一般线性函数,5.4 误差传播定律及其应用（5）,非线性函数,归纳与小结,应用广
11、泛:求观测值函数中误差;研究容许误差值;分析观测可能达到的精度等.,例5-3在1:500地形图上，量得某线段的平距为 dAB=51.2 mm 0.2 mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD。解：函数关系为：DAB=500 dAB=25 600 mm 已知md=0.2 mm，代入误差传播公式中，得：mD2=5002 md2=10000 mD=100 mm 最后得：DAB=25.6 0.1 m,例题分析,例5-4水准测量测站高差计算公式：h=a-b。已知后视读数误差为 ma=1 mm；前视读数误差为 mb=1 mm。计算每测站高差的中误差mh。解：h=a-b f1=1；f2=-1 应用误差传播
12、公式有：,例56 电磁波测距三角高程公式：h=D tan+i-v，已知：D=192.263 m 0.006 m，=8091610，i=1.515 m 0.002 m，v=1.627 m 0.002 m，求高差h值及其中误差mh。,解：高差函数式 h=D tan+i-v=27.437 m 对上式全微分，有：所以：f1=tan=0.1433，f2=(D sec2)/=0.9513，f3=+1，f4=-1,应用误差传播公式，有：mh2=f12 mD2+f22 m2+f32 mi2+f42 mv2=41.3182 故：mh=7 mm 最后结果写为：h=27.4370.007m,例题分析,用来解决不同精
13、度直接观测值的平差问题即最或是值与精度评定。各个不同精度的观测值具有不同的可靠程度，可用一个数值（比值）来表示，称为各观测值的权，用P表示。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度越高，其可靠性也越强，则权也越大。权是对各观测结果的可靠程度给予数值表示，只具有相对意义，并不反映中误差绝对值的大小。,5.5 权的概念,2、规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。权反映的是比例关系，对单一观测值而言，权无意义。,权P=1的中误差称为“单位权中误差”，通常用 或 表示，所以权也表示为：,式中：C为任意正数，mi为中误差。,1、权的定义：,5.5 权的概念,3、加权平均值及其中误差,5.5 权的概念,按真误差评定,按改正数评定,单位权中误差,例5-8 某水平角用J2经纬仪分别进行了3组观测，每组观测的测回数不同，试计算该水平角的加权平均值及其中误差。,例题分析,补充例 在水准测量中，从三个已知高程点A、B、C出发测定E点的高程值，Li为各水准路线的长度，求E点高程的最或是值及其中误差。,例题分析,C,思考题,1、用某经纬仪测水平角，一测回的中误差m=15,欲使测角精度达到m=5,需观测几个测回？2、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x与y相互独立，其mx=my=m，求mz。,
