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1、第一章三角形米Ll与三角形有关的线段（1）电考点先知知识考点三角形的分类L三角形的分类三角形的三边关系2.给出三边判断能否构成三角形3.给出两边求第三边的取值范围4.根据三边关系去绝对值化简三角形的稳定性5.三角形的稳定性欧题型精析知识点一三角形的分类分类按边分类三边都不相等的三角形处r三一也屹底边和腰不相等的等腰三角形:等腰二角”等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形题型一三角形的分类例1I有下列说法：等边三角形是等腰三角形；等腰三角形也可能是直角三角形；三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；三角形按角分类可分为锐角三角形
2、、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据等腰三角形的定义判定等边三角形是等腰三角形；举出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；三角形共三条边，若按边分类，可分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形;三角形中最大的角可能是锐角可能是直角，也可能是钝角，按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.【解答】有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等边三角形是腰和底相等的等腰三角形，故正确；等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三
3、角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故正确；三角形共三条边，若按边分类，分为三条边都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等边三角形），等腰三角形包含等边三角形，故错误；根据三角形中最大的角可以分为锐角、直角、钝角，所以按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故正确.故选：D.例2I有下列两种图示均表示三角形分类,则正确的是（）A.对，不对B.对，不对C.、都不对D.、都对【分析】根据三角形的分类可直接选出答案.【解答】解：等腰三角形包括等边三角形，故的分类不正确：图中的三角形的分类正确.故选：B.例3I如图表示的
4、是三角形的分类，则正确的表示是（）A. M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B. M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C. M表示等腰三角形，N表示等边三角形，尸表示三边均不相等的三角形D. M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【答案】B【分析】根据三角形按照边的分类方法解答.【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B.【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键.I变1I给出下列说法:（1）等边
5、三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中，正确的有（）个.A.1B.2C.3D.O【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断.【解答】解：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确.综上所述，正确的结论2个.故选：B.变2如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】D【分析】根据三角
6、形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案.【详解】解：Y等边三角形是特殊的等腰三角形，A表示的是等边三角形，故选D.【点睹】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法.【答案】B【分析】根据三角形的分类可直接选出答案.不等边三角形【详解】解：三角形根据边分类Lmr 一/两边相等的三角形等腰二角形I三边相等的三角形（等边三角形）锐角三角形 三角形根据角分类直角三角形,钝角三角形故选：B.知识点二三角形的稳定性内容三角形的稳定性角形具有稳定性.当三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就能唯确定，故三题型二三角形的稳定性例1如图所示的自行车架设计成三角形，这样做
7、的依据是三角形具有.【分析】根据三角形具有稳定性解答.【解答】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性,故答案为：稳定性.例2I下列生活实例中,利用了“三角形稳定性的是（）【答案】B【分析】根据三角形的稳定性解答即可.【详解】解：选项B中摇椅的支架上有三角形，其余4C、O选项中都没有三角形,由三角形的稳定性可知，选项B利用三角形的稳定性，故选：B.变1在手工课上，小杰用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个如图所示的木框，小杰发现相邻两木条的夹角均可调整，所以很容易变形，为了使木框不易变形，下列方案中最好的是（）【答案】D【分析】根据三角形的稳定性判断即可.【详解】解：
8、选项A,B,C中的加固方式都只含有四边形，选项D中的加固方式形成了三角形，利用了三角形的稳定性,故选D.变2I下列图形中不具有稳定性的是（）【答案】B【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可.【详解】解：A、具有稳定性，故此选项不符合题意；B、不具有稳定性，故此选项符合题意；C、具有稳定性，故此选项不合题意；D、具有稳定性，故此选项不符合题意；故选：B.I例3I要使下面的木架不变形,至少需要再钉上几根木条？（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案.【详解】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条.故
9、答案选：CI变3I如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A.1根B.2根C3根D.4根【分析】根据三角形的稳定性解答即可.【解答】解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条,故选：B.知识点三三角形的三边关系内容三角形的稳定性三角形的两边之和大于第二边：三角形的两边之差小于第三边.JS型三三角形的三边关系类型一判断三边能否组成三角形例1以下数据分别是3根小木棒的长度.用这3根小木棒的长度为边不能搭成三角形的是（）A. 3cm ， 4cn, 5cmB. 5cm ， Icm, IcmC. 5cm ， Icm ， 12cmD. 6cm ， 8cw ,
10、IOC7【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。寸各选项进行进行逐一分析即可.【解答】解：A、3+45,能组成三角形，故此选项不符合题意；B、5+77,能组成三角形，故此选项不符合题意；C、5+7=12,不能组成三角形，故此选项错误.D、6+810,能组成三角形，故此选项不符合题意；故选：C.例2下列各组线段能组成一个三角形的是（）A.5crn,1Ocm,IctnB.4cm,5cm10。”C. 2cm, 2cm, 4cmD. 3cm , 6cm, 9cm【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和笫三边，任意两边之差15,能组成三角形，符合题意；B.5+4=910,
11、不能组成三角形，不符合题意；C.2+2=4,不能组成三角形，不符合题意；D6+3=9,不能组成三角形，不符合题意.故选：A.变1I下列各个选项中给出长度的3条线段,其中能首尾依次相连组成三角形的是（）B. 4cm, 5cm , 6cnD. Iczm , 3cw , 4cmA.cm,2cn,4cmC.2cm,5cm,6cm【分析】根据构成三角形的条件即可判断.【解答】解：l+26,故8选项正确；5 +6=ll12,故C选项错误；1 +3=4,故。选项错误，故选：B.变2某班级计划在校园里搭三角形围栏,可以选择三种长度的木条组合是（）A. 3、 4、 8B. 2 5、 2C. 3、 5 6D. 5
12、、 6、 11【分析】根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对每个选项进行分析得出答案.【解答】解：A,3+48,不能构成三角形；B、2+26,能构成三角形；D、5+6=11,不能构成三角形.故选：C.例3现有2cm,4cm,5cm，长的四根木棒，任选三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为2个.【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析.【解答】解：其中的任意三条组合有2cm、4cm.5cm：2cm,4cm.Scm：4cm5cw、8cm；2cm5cm、8c机共四种情况，根据三角形
13、的三边关系，则2cm、4cm5cm；4cm5cm8ctm符合，故可以组成三角形的个数为2个.故答案为：2.例4四根小棒的长度分别为ICm,2cm,4cm和5cm,从中选出三根小棒围成一个三角形，这个三角形的周长是.【答案】Ilcm【分析】根据构成三角形的条件分析，分类讨论，进而求得三角形的周长.【详解】.l+24.1,2,4和1,2,5不能构成三角形二1,4,5不能构成三角形二.2,4,5能构成三角形这个三角形的周长为2+4+5=11,故答案为：11CmI变3I小明有两根长度为5cm,IOCm的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（）A.1种B.2种C.3种D.4
14、种【答案】B【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可.【详解】解：设第三根木棒的长度为XCm,.小明有两根长度为5cm和IOCm的木棒，10-5x10+5,即：5x4,2cm, 3cm,4cm可以构成三角形;V2+3=5，.,.2cm 3cm,5cm不可以构成三角形;V2+45,.*. 2cm, 4cm,5cm可以构成三角形;V3+45,3cm, 4cm5cm可以构成三角形;可以构成3个不同的三角形.故答案为：3.例5若等腰三角形的两边长为3。小，6cm,则该三角形的周长为.cm.【答案】15cm变5等腰三角形的两边长为4c，和8cm,则它的周长为.【答案】20cm类型二求第三边的范围例1已知
15、。、氏C为某三角形的三条边长，若a=4,b=7,则C的取值范围是（）B. 3cllC. 3cllD. 3cll【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论.【解答】解：f,b,C为某三角形的三条边长，。=4,b=7,.7-4c7+4,例2设三角形三边之长分别为3,8,则。的值可能为（A. 11B. 9C. 5D. 3【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和列出关于。的不等式，然后解不等式即可.【解答】解：根据题意，得8-3d8+3,即5vll:所以。的取值范围是5o 1B. a2C. 2a【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出
16、第三边的取值范围，进而得出答案.【解答】解：根据三角形的三边关系可得：6-52-l6+5,解得：a6,故选：I变1I有两根长度分别为3c,5cm的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是cm.（写出一个即可）【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边“，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值.【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于两边之差，即5-3=2；而小于两边之和，即5+3=8,即2第三边8,故第三根木棒的长度可以是4.故答案为：4（答案不唯一）.I变2I若三角形的三边长分别为3,4,X,则X的取值范围是（）A.3x4B.1x7C.O
17、CX7D.2x6【分析】据三角形三边关系，4-3x4+3,即lx7,问题可求.【解答】解：由题意，4-3x4+3,即lvx-l=0,解得=5,b=1,.5-l=4,5+1=6,.,.4c6,又c为奇数,c51故答案是：5.变4若三角形三边长为4,2x+l,11,则X的取值范围是（）D. 3 % 7A.3%6【分析】根据三角形的三边关系定理可得lJ42x+lll+4,再解即可.【解答】解：根据三角形的三边关系可得：ll-42x+lll+4,解得：3x7,故选：D.例4（倍长中线法，可先了解）如图，在力8C中，AB=5,C=9,力。是BC边上的中线，贝J40的取值范围是（）A.4JD14B.0JD
18、14C.2AD1D.5AD9【答案】C【分析】延长AD至点E,使得DE=AD,可证AABDgACDE,可得AB=CE,AD=DE,在AACE中,根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围.【详解】如图，延长AD至点E,使得DE=AD,丁力。是BC边上的中线，：.BD=CD.在AABD和aCDE中，AD=DEADB=NCDE,BD=CDABDCDE（SAS）,AB=CE=5,AD=DE,VZXACE中，ACCEAEAC+CE,4AE14,2AD7.故选：C.例5已知/BC中，AB=3,AC=A,则中线4。的取值范围是.【答案】0.5VADV3.5【分析】延长AD到E,使DE
19、=AD,然后利用“边角边”证明AABD和AECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB,然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解.【详解】解：如图，延长AD到E,使DE=AD,YAD是BC边上的中线，BD=CD,BD=CD在AABD和AECD中，DB=ZEDC,AD=DEABDECD(SAS),CE=AB,VAB=3,AC=4,43AE4+3,即IVAEV7,0.5AD3,5.故答案为：O.5AD3.5.例6在448C中,AB=5,8C边上的中线40=4,则4C的长相的取值范围是.【答案】3m13【分析】延长AD至E,使DE=AD=4,连接
20、CE,利用SAS证明AABDgZECD,可得CE=AB,再根据三角形的三边的关系即可解决问题.【详解】解：如图，延长AD至E,使DE=AD=4,连接CE,：AD是BC边上的中线，BD=CD,在AADB11CDE中，AD=EDZADB=ZEDc,BD=CDABDECD(SAS),CE=AB,在aACE中，AECEACAE+CE,VCE=AB=5,AE=8,85AC8+5,3AC13,3m13.故答案为：3m13.变5在448C中,AB=9,AC=S,4。是44BC的中线，则4。的取值范围是.【答案】2AD7【分析】延长中线利用全等，使AD与已知两边满足三角形的三边关系.【详解】解：延长AD到E,
21、使AD=DE,连接BE,TAD是AABC的中线,BD=CD,在AADC和aEDB中，CD=BDADC=ZBDE,AD=DEADCEDB(SAS),EB=AC,根据三角形的三边关系定理：9-5AE9+5,2AD7,故答案为：2VADV7.变6如图，4。是448C的边8C上的中线，AB=I,AD=5,则ZC的取值范围为()A.5JC15B.3JC15C.3JC17D.5JC、V或=号：a-b-c0,b-a-c0,c+b-aO.(2)化简：a-h-c+b-a-c-c+h-a.【答案】(I)V,V,(2)a-b+c【分析】(1)根据三角形三边关系即可作答；(2)根据(1)的判断去掉绝对值符号后合并同类
22、项即可.(1)解：W,b,c是一个三角形的三边长，.,.a-h-cQh-a-cO(2)解：A=b+c-a+a+c-b-c-b+a=a-b+c.例2已知a,b,C是一个三角形的三边长，化简o+c-b+b-c+-b-c=.【分析】根据三角形三边关系得到+c-bO,b-c+aO,a-b-cO,b-c+a0,a-b-cO,b-c-aQ,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解.【解答】解：/。、b、C分别为J8C的三边长，.a+b-cO,b-c-aOt变2若a,b,C是力BC三边的长，a+b-c+a+b+c+a-h-c=.【答案】a+3b+c【分析】根据三角形的三边关系
23、”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可.【详解】解：Ta,b,c是JBC的三边，*cb+a,aO,a+c+bOa-b-c-C=+3b+c.故答案为：a+3b+c.fi课后强化1 .下列说法:等边三角形是等腰三角形;等腰三角形也可能是直角三角形;三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有（A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【详解】“等边三角形是等腰三角形”的说法正确：“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确：“三角形
24、按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；，上述说法中正确的有3种.故选C.2 .下列说法：三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形；等腰三角形是特殊的等边三角形；有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D4个【答案】B【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定判断即可.【详解】三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误.等边三角形是特
25、殊的等腰三角形；正确.等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误.有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，故选：B.【点睛】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.3 .如图，木工师傅在做完门门框后，为防止变形常常钉上两条斜拉的木板条，这种做法依据的数学原理是三角形的稳定性.【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可.【解答】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常钉上两条斜拉的木板条，这种做法依据的数学原理是三角形的稳定性.故答案为：三角形的稳定性.4 .以下长
26、度的小木棒不能构成三角形的是（）A.3cm,4en,5cmB.2cm,4cm,6cnC.3cm,3cm,cmD.IOcvn,8.lew,5.2cm【分析】根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析.【解答】解：/、3+45,则能构成三角形，不符合题意；B、2+4=6,则不能构成三角形，符合题意；C、3+l3,则能构成三角形，不符合题意：D、8.1+5.2=13310,则不能构成三角形,不符合题意；故选：B.5 .下列每组数分别是三根木棒的长度，不能用它们摆成三角形的是（）A.3,4,6B.4,5,8C.5,5,5D.5,6,11【分析】根据三角形两边之和大于第
27、三边、三角形的两边差小于第三边判断即可.【解答】解:A*.,4-364+3,长度为3,4,6的三根木棒，能用它们摆成三角形，本选项不符分B、5-485+4,.长度为4,5,8的三根木棒，能用它们摆成三角形，本选项不符合题意；C、,5-556cm；3cm4cm9cm；3cm、5cm6cm：3cm、5cm、9cm：3cm、6cm、9cm；4cm5cm6cm；4cm、5cm9cm；4cm6cm、9cm；5cm、6cm、9cm十种情况.根据三角形的三边关系，其中的3cm、4cm%5cm：3cm、4cm6cm；3cm、5cm、6cm；4cm、5cm、6cm；4cm、6cm、9cm：5cm%6cm、9cm
28、能搭成三角形.故答案为：6.7 .从长度分别为2,3,5,6的四根细木棒中，任取三根首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），所围成的三角形最小周长为（）A.10B.11C.13D.14【答案】C【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，即可求解.【详解】解：长度分别为3、5、6,能构成三角形，且周长为3+5+6=14；长度分别为2、5、6,能构成三角形，且周长为2+5+6=13；长度分别为2、3、6,不能构成三角形；综上所述，所围成的三角形最小周长为13.故答案为：C.8 .已知三角形中两条边的长分别为2和7,则第三边。的取值范围是_5。9_.【分析】利用“三角
29、形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边“，可求出。的取值范围.【解答】解：.7-2=5,2+7=9,第三边a的取值范围为5。9.故答案为：59.9 .若三角形的两边长分别为4和7,则第三边长X的取值范围是（）A.4x7B.411C.Ox3D.3x11【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边。的取值范围.【解答】解：根据三角形的三边关系可得7-4x7+4,解得3xll,故选：D.10 .若a、b、c是C的三边的长，则化简6cbca+bc=.【答案】3ba-c#-a+3bc【分析】本题可根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边“，
30、判断绝对值内的式子的符号，再根据绝对值的性质进行化简.【详解】解：Ta,b,C是AABC的三边，ab+c,bcaCVa+b,a-b-c0.b-c-aca-bO,abcbca+a+bc=（力+。一。）一（H-A-b（aib-=b+c-a-c-a+b+a+b-c=3b-a-c.故答案为：3h-a-c.ABC的三边长分别为a,b,c,4tfS）a+Z-c-b-a-ca-b-Cl=.【答案】3b-a-c【分析】三角形三边满足的条件是，两边和大于笫三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可.【详解】ZABC的三边长分别是a、b、c,必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+bcO,b-a-cO,a-b-c0,.*.a+b-c-b-a-c+a-b-c=3b-a-c.12.三角形的三边长分别是2,5,小，则|?-3|+向-7|等于.【答案】4【分析】根据构成三角形的条件可得出m的取值范围，再根据m的取值范围化简绝对值即可求解.【详解】解：2、5、m是某三角形三边的长，5-2m5+2,故3VmV7,m-3+m-7=m-3+7-m=4.故答案为：4.
