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1、名就厦门上学钵在祺桌t耳级主考教师：概率统计教学组试卷类型：（）专业1、（10分）设随机变量X的概率密度为人(X)TU,xOx0求随机变量丫=，的概率密度（y）解：y=ex9xO,反函数X=Iny,y加y)=,。叫(Iny)I=0,y其它2、（15分）设2维随机变量（X,Y）的分布律为-101-1a00.200.1b0.2100.1C且EX=-0.2,Pyqx=.51）求。,求C的值;2）判断X,Y是否独立;3）判断X,Y是否相关。解：1)+Z?+C=I-0.1x2-0.2x2=0.4,EX=-l(t+0.2)+l(0.1+c)=-0.2prox=pxo,yPX0。+6+0.1C。5,+h+0
2、.5n。=0.2,Z?=0.l,c=0.12) oo.4o.2,即Px=,y=owPx=-iPy=o,X,Y不独立.3) EX=-0.2,Ey=-IXO.3+l0.5=0.2,E(XY)=xyi0.2+xyloO.2+副)0.1=0.2-0.2+0.1=0.1Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)0X,Y相关。3、（20分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为/Uy)=，；U9Ox0,fx(x)=/(x,y)dy=eydy=exif(x)=0x0A(y)=0O,x0显然/(,y)w人(4(y),.X,丫不独立;4)y0,当Ox(x)Jr(y)=-g34=-6,D(Z)=DX+-Dr+i
3、c6v(X,y)=9+16+(-6)=3VY1111112) CoV(X,+-)=-G(X,X)+-COWX,Y)=-O(X)+-COWX,Y)=-9+-(-6)=O32323232_cov(X,Z)P义7/,一U回距团3)若二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布，由多维正态分布的性质，二维随机向量(X,Z)也服从二维正态分布，从而有：QXZ=OoX,Z相互独立。若二维随机向量(X,Y)不服从二维正态分布，二维随机向量(X,Z)也不服从二维正态分布,从而XZ=O与X,Z相互独立不能等价。/W=x0x06、(12分)设随机变量,X2,X3相互独立，服从同一分布，且有密度函数(20)记X=max(
4、X1,X2),Y2=Yx+X3,求1)X的密度函数；2)八的密度函数。钮八q/、k/、J(e的Yy,0解：1)4(y。=尸x(y)尸x,(y)=jn,八，0y10,、2(l-e-)le“*y10NyAlOy10O2)x0时+00XAW=J-(xf)dy产j2(lTeTefdy-coO二2；Ie-Zt(4x+-1),、12；IeTX(4x+ed1),x0f(x)=OXO,x07、(8分)某人有把钥匙和个箱子，一把钥匙对应一个箱子，他将把钥匙随机地放在个箱子上，每个箱子上放一把钥匙，设有y把钥匙被放在正确的箱子上，求y的数学期望。钮v_1,第i把钥匙放在正确的箱云解：K,第i把钥匙放在错误的箱箕7
5、,E(y.)=p(y.=i)=i,i=,2,ny=y+1.+工，E(Y)=nE(Yi)=I8、(8分)在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%,参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。(5)=l)o解：设死亡人数为X,XB(3(XX),0.001),保险公司亏本当且仅当2000X10x3000,即X15。于是，由棣莫弗一拉普拉斯定理，公司亏本的概率为P(X=/x7np、ynp(l-p)ynp(l-p)J=Pp(3x0.9991.73)1-(6.93)=O2(l-z),Ozlz(z)=9、（8分）在区间0川上随机地投掷两点，试证明这两点间的距离Z的密度函数为:其它证明：设这两个随机点分别为X,Y,则X,Y均服从0上的均匀分布。密度函数为fl0x/U)=n-O因为Z=IX-YI，所以0具匕zx+z1-zx+zII当0z00ZX-Z1-zX-ZOzOFz(z)=2z-z2Oz0,f(y)=JIf(毛y粒=J；e1dx=yey
