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1、中考特色题型专练之最值问题圆题型一、点运动路径1 .如图，在等腰RtZ48C中，AC=HC=4,点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为尸C的中点，当前P沿半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径长是（）A.22B.11C.211D.2【答案】C【分析】取AB的中点AC的中点E,5C的中点尸,连接。C、OP.OM.OE,OREF,可得四边形CEOF是正方形，由。P=OC得OM_1.PC,则可得点M的运动路径，从而求得路径的长.【详解】解：取A8的中点。，AC的中点E,BC的中点尸，连接。C、OP.OM、OE.OF、EF,如图：则OE3C,11,0E=-BC=2,OF/ACfOF=-AC=Ii22四边
2、形CEOF为平行四边形，VAC=BC,ZAC8=90。，四边形CEO尸为正方形，：CE=CF=2,EF=OC,由勾股定理得：EF=OC=2式，在等腰RtZABC中，AC=BC=4,.*.AB=2BC=42，OC=-AB=22,OP=1.AB=2正,22”为PC的中点，OMtPC,：NCMo=90。，点M在以OC为直径的圆上，当点P在点A时，Af点在E点；当尸点在点B时，M点在F点,，点M的路径为以EF为自径的半圆，点M的运动路径长=：2加血=缶.2故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点.
3、2.如图，在平面直角坐标系M%中，点A坐标为(-8,0),点B坐标为(0,6),-Q的半径为4(。为坐标原点)，点C是二。上一动点，过点8作直线AC的垂线BP,尸为垂足，点C在C)O上运动一周，则点尸运动的路径长等于()5D肪01120;TA.B.C.D.3333【答案】C【分析】如图，连接AB,根据NAP8=90。，得到点P在以A8为直径的圆上运动，当AC与0O相切时，得到P的运动轨迹为PP,进行求解即可.【详解】解：Y点A坐标为(-8,0),点3坐标为(0,6),0A=8,O8=6,ab=62+82=10-连接A8,:BPAC,：.NAP8=90。，点尸在以AB为直径的；。上运动，当点C在
4、Oo上运动周时，点尸的运动路径为以AC与QO相切时，AC与。的两个交点RP所夹的PP,如图:当AC与0。相切时，OCAC,：.SinZOAC=-=-,OA2：.ZOAC=30,NcAC=60。，尸P的度数为120,a,1zijv,120fl10万的长度为：而Xm=亍故选C.【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，解直角三角形，圆周角定理，综合性强，难度大，属于压轴题.解题的关键是确定点尸的运动轨迹.3.如图，在边长为26的菱形ABCQ中，NC=60。，点瓦厂分别是AB,AO上的动点，且AE=DEDE与BF交于点P.当点E从点A运动到点8时，则点P的运动路径长为.【分析】作ACBD的外接
5、圆0O,连接03,。.利用全等三角形的性质证明NDPB=I20点尸在以8。为弦的圆上，确定圆心和半径利用弧长公式计算即可.【详解】解：如图，作ACBQ的外接圆Q,连接08,8,.四边形ABCD是菱形，NA=NC=60。,AB=BC=CD=AD,.ABD,BC。都是等边三角形，.BD=AD,ZBDF=ZDAE,DF=AE,.BDFDAf(SAS),.ZDBF=ZADEyZADE+NBDE=演。:.NDBF+NBDP=60。,.NBPD=120。，点尸在以8。为弦的圆上，为的外接圆弧BCO所对的圆心角为240度，/38=120。，过点。作OG_1.8DG,aZBOD=2ZfiCD=120根据垂径定
6、理,得BG=GD=3BD=EZBOG=-ZBOD=60,2,.,在RtZ8OG在,sinNBOG=,即sin60。=,OBOB:.OB=2,120-24故点尸的运动的路径的长=；8；乃.4故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹.4.如图，在扇形OAB中，NAOB=60。，OB=2,。是弧AB上一动点，过点。作C0J_Q3,交OB于点O,连接OC,OI,C/分别平分NC8、/OCD,当点C从A运动到3的过程中，点/的运动路径长为【分析】根据a、a分别平分NCO。、zocD,求
7、出no/c=135。，连接8/,证明一Oa且a0b/,得到/0/5=135。，得到点/路径为以05为弦，所对圆心角为135。的圆弧，构造口G,求出NG=90。，r=，根据弧长公式计算即可.【详解】解：如图，CD1.OB,ZCODZOCD=90,O1.a分别平分NCoD、ZOCD,:.AOlC=180o-1(ZCOD+NoCO)=I35。，连接BIOI=OI,OC=OC,/COI=NBOI,COI&BOI,.OIB=NOIC=135。,点I的路径为以OB为弦，所对圆心角为135的圆弧的一部分,过点0、I、3作圆G,作圆内接四边形。小尸，则/=45。，aZG=90.QG=OB,OB=2,J9z-.
8、,.0G=-OB=2,2当A,C重合时，NIOA=NIOB=3则NG/O=NGO/=75。，ZGB=135o-75o=60o,则AzBG是等边三角形ZZGB=60，点/的运动路径长为：6S11=立11.1803故答案为：立江.3【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点E所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形时角互补，求弧长，转化为定边05对定角NO/8问题是解题的关键.题型二、将军饮马1 .如图，已知C)O的直径AB=2cm,NcAB的度数为30。，它的另一边AC交C)O于点C,点。为弧BC的中点，点七为直径AB上的一个动点，则CE+DE的最小值为()A.Icm
9、B. y2cnC. 2cmD. 4cm【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识.熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键.如图，作点C关于直径AB的对称点尸，连接瓦,OC.OD.OF,则E尸二CE,ZFOB=ZCOB=2ZCAB=o,ECE+DE=EF+DE,可知当尸、E、。三点共线时，此时CE+E的值最小，由点。为弧BC的中点，可求NO。8=/。=gNCOB=30。，则/r=90。,由勾股定理求。尸，进而可得结果.【详解】解：如图，作点C关于直径AB的对称点/，连接EF,OC.OD.OF,/.EF=CE,ZFOB=ZCOB=2ZCAB=o,：,CE+
10、DE=EF+DE,当尸、E、0三点共线时，此时CE+OE的值最小,：点为弧BC的中点，工8=8。，JADOB=ZDOC=-NCOB=30,2：ADOF=Z1.DOBZFOB=90,由勾股定理得，DF=yOD2+OF2=2cm故选：B.2 .如图，A点是半圆上一个三等分点，8点是弧AN的中点，尸点是直径MN上一动点，G）O的半径为1,则AP+8尸的最小值为（）A.1C.2D.无法计算【答案】B【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理.，对称的性质；作点B关于MN的对称点G连接4。交MN于点D,连接OGPC,当点P与。重合时，AP+BP最小，利用勾股定理即可求得最小俏.【详解】解：如图，作点8关于MN
11、的对称点C,连接AC交MNF点。，连接OGPC,则BN=NC=1.AN,PC=PB;2TA点是半圆上个三等分点，5点是弧AN的中点，NAoN=l80o=60o,NCON=1.NAoN=30,32ZAOC=ZAO2V+ZCOZV=90；：AP+BP=AP+PCAC,当点P与。重合时，十族最小，最小值为线段AC的长；在RjAoC中，OA=OC=I,由勾股定理得：AC=SA2+0C?=&，即+BP的最小值为0；3.如图，。的半径是8,AB是O的直径，M为AB上一动点，AC=CQ=8，则CM+DM的最小值【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理.作点C关于AB的对称点C,连接CD与/W相交于
12、点f,根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+ZW的最小值时的位置，根据乖径定理可得AC=AC然后求出C。为直径，从而得解.【详解】解：如图，作点C关于A5的对称点C,连接CD与AB相交于点M,此时，点M为CW+ZW的最小值时的位置，由垂径定理，AC=AU,：,BD=AC，：AC=CD=BD,A。为直径，,C。为直径.则UQ=AB=2x8=16(Cm).故答案为：16.4.如图，在CO中，直径AB=IOcm,位于点。两侧且垂直于直径AB的两条弦长分别为CZ)=8cm,=6cm,若点G为直径AB上任意一点，则CG+EG的最小值为cm.【答案】72【分析】根据垂径定理可得，EG=FG,根据两点之间
13、线段最短，C尸的长度即为所求，在RhC/中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到EG的等长线段叱.【详解】解：连接CF,交AB于点、G,过点尸作8的垂线，垂足为点”，EF1.ABAB是直径,.45垂直平分弦跖,:.EG=FG,CG+EG的最小值二CF,七户弦心肝1=4(cm)23(Cm),h2(I)2CD弦心距AB2,H277/=7(cm),CH=7(cm),:.CF=JFH2+CH2=72+72=72(cm),故答案为：7&.题型三、两动一定1.如图，在正方形ABCZ)中，A8=4,点E是正方形ABCQ内部一动点，且Z
14、BEC=9(P,点P是AB边上一动点，连接尸Q,PE,则PD+PE的最小值为()【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.根据4EC=9(r,得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为。，作正方形ABC。关于直线AB对称的正方形A尸G8,则点。的对应点是R连接/。交ABFR交半圆。于E则线段E厂的长即为9+收的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论.【详解】解：VZBEC=90o,点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O,作正方形A8C。关于直线AB对称的正方形AFGB，则点。的对应点是E连接/。交A8于尸，
15、交半圆。于E,则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，VZG=90o,FG=BG=AB=4,OG=6,:OF=JFG2+OG?=2而,/.EF=2/-2,故PD+PE的长度最小值为213-2,故选A.2.如图，矩形ABCz）中，AB=3fBC=S,以A为圆心，2为半径画圆，石是DA上一动点，尸是BC上的【答案】C【分析】本题考查圆外动点最小距离问题，火股定理及轴对称最小距离问题，作点。的对称点A，连接AA交圆于一点即为最小距离和的E点，根据勾股定理求解即可得到答案；【详解】解：作点。矢广自线BC的对称点A，连接AP交圆于一点即为最小距离和的E点，如图所小，DD1=6,AD=BC=S,ZADC
16、=90。,/.ADi=82+62=10,PE+尸力的最小值是：AA-AE=Io-2=8,故选：C.3.如图，点M是边长为2的正六边形ABC1.）EF内的一点（不包括边界），且AM_1.8M,2是P上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识.取A3中点O,EF中点Q,连接PQ,MO,延长E厂、BA相交于点丁，利用轴对称的性质可得PN+PM+MO=PQ+PM+MOQO,从而得出当Q,P,也。共线时,PN+PM的最小值为QO-MO=QM,然后利用直角三角形斜边中线的性质求出OM=1,证明心口4,-Q
17、7。为等边三角形，即可求解.【详解】解：取Ae中点0,瓦中点Q,连接PQ,MO,延长斯、物相交于点T,正六边形ABCDEF关于直线C尸对称,N,。也关于直线C尸对称，.PQ=PN,：AM1.BM，。为48中点，：.MO=-AB=X,2.PN+PM+MO=PQ+PM+MOQO,当QP,f,O共线时，PN+PM+MO=PQ+PM+MO=QO,PN+PM的最小值为QO-MO=QM,/正六边形ABCDEF的边长为2,3600ZTFa=ZTAF=60o,AF=EF=AB=2,6加/是等边三角形，FT=AT,ZT=60o,VEF=AB=2,。为AB中点，。为石户中点，/.0=-B=1,FQ=-EF=Xf2
18、2.TQ=3=TOt 一7。是等边三角形， QO=3,.QM=2f PN+PM的最小值为2.故答案为：2.4.如图，点E是边长为6的正方形ABCD的边Co上一动点，尸是以3C为直径的半圆上的一动点，连接AEfEF,则AE+E尸的最小值是.【答案】313-3-3+313【分析】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质.延长AO到点G,使得AD=DG,设半圆的圆心为点连接OG交。于点M,交半圆于点N,则AE+EF的最小值是GN,根据GN=OG-ON用勾股定理计算即可【详解】解：延长A。到点G，使得AD=Z)G，设半糊的圆心为点O,连接OG交CD于点M,交半圆于点ME是边长为6的正方形A
19、BCO的边CD上的一个动点，尸是以BC为直径的半圆上的一个动点,AD=DG=BC=6,ON=OC=3,过点。作O1.AO于H,边长为6的正方形48CJ.ZADC=ADCB=90,四边形Oa)H是矩形，：,OH=CD=6,DH=OC=3,：,OG=a62+(3+6)2=313,当点尸9点N重合，点E与点M重合时，A+M最小，最小值是GN,且GN=OG-O7V=313-3.故答案为：3/万-3.题型四、折叠圆1.如图，在矩形ABC。中，AB=StBC=2tE是A8边的中点，尸是线段8C上的动点，EF所在直线折叠得到AEBR连接B7则87)的最小值是(C.4J-4D.410-4【答案】D【分析】由折
20、叠可得，BE=B,E=AE,点次在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动.当。、夕、E共线时，BD的长度最小.根据勾股定理求出OE,根据折叠的性质可知夕E=8E=4,即可求出SD的最小值.【详解】解：如图，方的运动轨迹是以E为圆心以为半径的圆弧，当夕点落在。七上时，夕Q取得最小值.根据折叠的性质，可得AEBFgAEBA,EB,1B,F,EB=EB,是AB边的中点,AB=8,/.AE=EB,=4tVAD=BC=12,.*.DE=122+42=4710，DB,=DE-,E=4i-4.种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，关键是抓住对应边和对应角相等.2.如图，在RtZXABC中，ZC=
21、90o,AC=6,8C=8,点/在边AC上，且C产=2,点E为射线CB上一动点，连接EE.将ACfF沿直线EF折叠，使点C落在点P处，连接AP,BP,则ZXAPB的面积最小值为()D.12【答案】B【分析】根据题意可得，点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FDJ_AB于D,FD与G）F的交点为P,则此时AAPB的面积最小，结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出此时AB,PD的长即可得出结果.【详解】解：根据折叠可知，FP=FC=2,在折叠的过程中，FP的长度不变为2,点P在以点F为圆心，2为半径的圆弧上运动，则过点F作FD_1.AB于D,FD与OF的交点为P,则此时AAPB
22、的面积最小.在RtZiABC中，根据勾股定理得，AB=JAC2+BC-=10,VZDAF=ZCAB,NADF=NACB=90,ADFACB,DFAF.DF6-2.一厂.-TT=-Z=,.DF=3.2.BCAB810DP=DF-PF=3.2-2=1.2,/.此时AAPB的面积=5ABDP=IO1.2=6.即AAPB面积的最小值为6.故选：B.相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及勾股定理等知识点，解题的关键是找出点P的运动轨迹，从而得出VAP8面积最小时的点P的位置.3.如图，正方形纸片ABCQ的边长为6,点E是边Co上一定点，连接AE,且SinNDAE=*,点/是边AD的中点，点M是线段AF
23、（除点A外）上任意一个动点，连接8M,把,.ABM沿BM折叠，点A落在4处,连接HE,则AE的最小值是./【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，作出点A关于直线M的对称点M,交AE于点M,根据fi4=aT=BW,判定AaM三点都在以8为圆心，以AA为半径的圆上弧痴上，当点4与点M重合时，AY取得最大值，AE是定值，此时AE取得最小值，解答即可.【详解】作出点A关于直线所的对称点M,交AE于点M,BEiC ：BA=BA=BM, .AA,M三点都在以B为圆心，以BA为半径的圆上弧加上，当点4与点M重合时，AA取得最大值， AE是定值， 此时取得最小值， 正方形纸片ABCQ的边长为6,点E是边C
24、Z）上定点，sin/DAE=9,.”二亚AE2-DE2=AD2=62.AE5解得OE=3,AE=3?,./n._AD_625 cos/1.DAE=J=，AE355 点厂是边AD的中点,：.AF=AD=3,设所，AE的交点为M根据题意，f.AM=2AN,NAA丁=90。,.*.cosZ.DAE=解得AN=竽, ApAMaR12有3小 AE=AE-AM=35=，55故答案为：述.54.如图，在矩形ABCO中，AB=3,BC=4,P为边AD上一个动点，连接8尸，将AABP沿所在直线折叠后，点A的对应点落在点A处，连接。A,则当。A取最小值时，tanZAZM的值为.【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的
25、性质、解直角三角形等知识，根据折叠可得出AA=AB,则4在以8为圆心，A8为半径的圆上运动，则当B、4、。二:点共线时，DN取最小值，最小值为8。-A3,然后在RtZXABO中利用正切的定义求解即可.【详解】解：连接8。，,折叠,：,AB=ABt4在以8为圆心，AB为半径的圆上运动,/NDWBD、J当8、A、O三点共线时，EW取最小值，最小值为%-川5,/.IanNAQAAB3AD=43故答案为：题型五、直角圆1.如图，在RIABC中，NBAC=90。，AB=AC,BC=2,点。是AC边上一动点，连接80,作AEJ_皮）【答案】B于点E,连接CE,则线段CE长度的最小值为（）D.1【分析】本题
26、主要考查r等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理;连接AE,如图1,先根据等腰三角形的性质得到4B=AC=2,再根据圆周角定理，由4。为直径得到NAED=90。，接着由NAEB=90。得到点E在以48为直径的：。上，于是当点0、E、C共线时，CE最小，如图2,在孜/OC中利用勾股定理计算出。C,从而得到CE的最小值【详解】ZBAC=90。，AB=AC,BC=22,AB=AC=I.AE工BD:.ZAEB=90。，二点E在以AB为直径的。上,连接OEQC,在RtAoC中,OA=I,AC=2,-OC=y+AC2=5，由于OC=逐，OE=I是定值,点E在线段OC上时，CE最小，如图2,BB2
27、.CE=OC-OE=y5-t即线段CE长度的最小值为4-1,故选：B.2.如图，在RtZXABC中，ABBC,AB=6,BC=4,。是liABC内部的一个动点，满足NDAB=NOBC,则线段CD长的最小值为（）A.2B.1C.213-3D.213-2【答案】A【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题.根据NDA3=N08C,推出NAZM=90。，得到点O在以AB为直径的圆上，取AB的中点。，连接0C,OD,根据CDNOe-8,求出最小值即可.解题的关键是确定点D的运动轨迹.【详解】解：A313C,ZABC=90。，ZABD+ADBC=Wi,：/DAB=/DBC,：NEAD+ZDBC=9
28、0。，：ZAD8=90。，.点。在以AB为直径的圆上，取48的中点。，连接OC,OD,则：CDOC-ODB.AB=6,BC=4,.OD=OB=-AB=3,2toc=Job2+bc2=5:CDOC-0D=5-3=2,JC。的最小值为2.故选A.3.如图，AB是半圆O的直径，点。在半圆。上，AB=2标，AD=10,C是弧8上的一个动点，连接AC,过。点作OH_1.AC于H,连接8”，在点C移动的过程中，3”的最小值是.【答案】8【分析】本题考查圆外一点到圆上最小距离问题，勾股定理，圆周角定理，根据”_1.AC得到点”在AO为直径的圆上，连接圆心E与点B交AC于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即
29、可得到答案；【详解】解：OJAC,：.点H在AD为直径的圆上，连接圆心E与点3交AC于一点即为最小距离点，如图所示，Y45是半圆。的直径，ZAD=90o,VAB=261,AD=IO,.*.DB=(26T)2-102=12，：.DE=-AD=S,2，BE=122+52=13=13-5=8,故答案为：8.4.如图，矩形48CD中，AB=2,AD=23,动点P从点A出发向终点。运动，连接BP,并过点C作C”_1.BP,垂足为”.以下结论：ABPsMcB;AH的最小值为-1.在运动过程中，BP扫过的面积等于2/;在运动过程中，点”的运动路径的长为手，其中正确的有(填写序号).【答案】【分析】由四边形A
30、BCD是矩形，CHVBP,WZ.BAP=ZCHB=ZBC=90,则ZABP=ZHCB=90-ZCBH,即可证明AAeQS。/方，可判断正确；取BC的中点E,连接E”，AE,可求得HE=BE=CE=；BC=6,由勾股定理求得4E=J7,因为A+eAE,所以AH+67,则A-1.即可求得A的最小值是-6，可判断正确；当点P与点重合时，则8尸与矩形ABC。的对角线80重合，可求得BP扫过的面积为S=2有，可判断正确；可求得/=a,则点的运动路径的长为|耳，可判断正确，于是得到问题的答案.【详解】解：Y四边形ABCQ是矩形，CH1.BP,：.ZBAP=NCHB=ZABC=90,：,ZABP=ZHCB=
31、90o-ZCBH,ABPj3,480=30。，2/.OJ=-OBf2由勾股定理得O3=4=OP,在Rt中，OZ)=Jb可+(4+3)2=2炳,：PD=OD-OP=219-4,PN+N的最小值为：2j宙-4,故选：B.3.如图，在矩形ABC。中，AB=2小,Ao=9,尸为矩形内一动点，且NAPB=60。.（1）当二ABP为等边三角形时，DP=.答案3967-2【分析】（1）如图，在AB的垂直平分线MN上取点0,使得ZAOB=I20。，以点。为圆心，QA为半径画圆，在圆。上任取一点P,均有NAP8=；NAO8=60。，当AAB尸为等边三角形时，圆。与A8垂直平分线上在矩形ABa）内的交点即为点P,
32、过点尸作P_1.AO于，解宜角三角形求出AH,即可求解；（2）连接。，与圆。交于点P,此时，OP的值最小，过点。作OEJ.AD于E,解直角三角形求出OM=AE=fOA=OP=2,进而求出OE=8,利用勾股定理求出。0,即可求出。P；本题考查了圆周角定理，矩形的性质，等边三角形的性质，三角函数，勾股定理，根据题意，准确找到点P的位置是解题的关键.【详解】解：（1）如图，在AB的垂直平分线MN上取点0,使得ZAQB=I20,以点。为圆心，QA为半径画圆，在圆。上任取一点P,均有ZAPB=JNAO8=60。，当AA所为等边三角形时，圆0与AB垂直平分线上在矩形ABCO内的交点即为点P,过点P作丹/_
33、1.A。于“，则NAMP=NAP=NMA=90。，四边形AWW为矩形，：.PH=AM=3AB=6,一AHP为等边三角形，/.NBAP=600,PHtan30o3/.ZPH=90o-60o=30o,.h/.DH=AD-AH=9-3=6,.*.DP=PH2+DH-=(3)2+62=39,故答案为：y/39；(2)连接O。，与圆。交于点P,此时，OP的值最小，过点。作OE_1.A。于七，则OE=AM=J,：OA=OB,ZAQ8=120o,OM1.ABiZAaW=-ZAOB=60,2,。M=AE=工理=1,OA=OP=tan60oy3“邛=2sin60o5/3/.DE=AD-AE=9-=S,DO=OE
34、2+DE2=(3)2+82=67，DP=Do-OP=屈-2,故答案为：T-2.4.如图，已知以BC为直径的OO,A为弧BC中点，尸为弧AC上任意一点，ADJ.AP交BP于D,连C),若BC=6,则8的最小值为【答案】35-3-3+35【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形AB0，连接D。、CO，圆周角定理，易得ZW*为等腰直角三角形，得到NAOP=45。,乙汨=135。，进而得到点。在点。，为圆心，A。为半径的AB上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可.【详解】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形AB0，连接。C0，B(JCY以BC为直径的。O,A为弧BC中点,/.A=AC
35、,ZBAC=90of：ABC为等腰直角三角形，2-：.ZABC=ZACB=45,AB=AC=半BC=3近,/.ZOrBC=OBA+ZABC=450+45=90, AB=AB：.ZAPo=ZACB=45。， ：AD1.AP. ZZWi=90,；.NADP=45。,ZADB=135,点。在点O,为圆心，AO为半径的AB上运动，在等腰直角AABO中，CXB=显AB=3,2在RtBOC中,COr=OrB2+C2=32+62=35：.OD=OfB=3,CDc-OD，当C、。、O,三点共线时，CO取的最小值，最小值为Co-。=36-3.故答案为：3旧-3.【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，
36、等腰三角形的判定和性质，勾股定理.解题的关键是确定动点力的运动轨迹，利用一箭穿心，进行求解.题型七、切线与勾股定理1 .如图，在平面直角坐标系Xoy中，直线AB经过点A(6,0),8(0,6),/)0的半径为2(。为坐标原点)，点尸是直线AB上的一动点，过点。作。的一条切线PQ,。为切点，则切线长PQ的最小值为(【答案】D【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理.根据题意连结。尸、OQ,当Po_1.AB时，线段PO最短,即线段。最短，再根据勾股定理求解即可.【详解】如答图，连结。P、OQ.OQ1.PQf.PQ2=OP2-OQ2,当Po_1.AB时，线段P。最短，即线段。最短.46,0),8(
37、0,6),OA=OB=6,:.AB=6屈，:.OP=1.AB=3五,2.00=2,.PQ=yOP2-OQ2=14.故选：D.2 .如图，在RtZAQ8中，OA=O8=4,0。的半径为1,点P是A8边上的动点，过点尸作/)0的一条切线PQ,。为切点，则线段PQ长度的最小值为()【答案】C【分析】首先连接。只。，根据勾股定理知PQ?=。产-OQ2,可得当QPlAB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案.本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意得到当Po_1.AB时，线段PQ最短是关键.【详解】解：连接。只。2,如图：.OQ1.PO,根据勾股定理知P
38、Q2=OP-OQ2y，当PO_1.AB时，线段最短,在RtZA08中，04=OB=4,.AB=J2OA=4,=2=2AB：.PQ=yOP2-OQ2=7,故选：C.3 .如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(-3,4),(A的半径为2,P为X轴上一动点，PB切。A于点B,则依最小值是【答案】23【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析.连接A8,AP,根据切线的性质定理可得AB_1.P3,要使所最小，只需AP最小即可，根据垂线段最短，当K轴时，AP取最小值，然后根据勾股定理求解即可.【详解】解：如图，连接A8,AP,根据切线的性质定理，得A8J.P4要使PB最小，只需最小，则根据垂线段最短，当AP_1.X轴于尸时，AP取最小值,此时P点的坐标是(一3,0),AP=4,在RtABP中，AB=2,：PB=Xap1-AB?=20则尸3最小值是21.故答案为：21.4 .如图，在平面直角
