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1、微专题21抽象函数的处理技巧【方法技巧与总结】常见抽象函数的模型f(+y)=U)+(y)f()=f(l)f(y)=F(X)+f(y)F(X)=IOgaXf(+y)=f()f(y)f=ax/(y)=()(y)/U)=xafx+,)=U)+(y)+Axyf(x)=ax2-bxf(x+y)+f(x-y)=2f(x)/(x)=ax+b【题型归纳目录】题型一：求抽象函数的解析式及函数值题型二：抽象函数的奇偶性问题题型三：抽象函数的单调性问题【典型例题】题型一：求抽象函数的解析式及函数值例1.设函数fR满足f(0)=l,且对任意X,yeRt都有到+1)=冷/0)-历-%+2,则/(2017)=()A.0B
2、.2018C.2017D.1【解析】f(xy+1)=/(x)(y)-f(y)-x+2,/(O)=1.令x=y=0,得/(1)=/(0)/(0)-/(0)+2=1-1+2=2,令x=l,得/(y+l)=F(y)/(1)-f(y)-+2=2f(y)-f(y)+=f(y)+f即/(y+l)-(y)=l,数列5)是以2为首项，1为公差的等差数列，/,/(2017)=/(1)+2016x1=2+2016=2018，故选：B.例2.设函数/*)满足/(0)=1,且对任意X,yeRf都有/(盯+1)=JW(y)-(y)+2,则/(1)=()A.2B.-2C.1D.-1【解析】令x=y=0得f(1)=(0)(
3、0)-(0)-0+2=ll-l-0+2=2,故选：A.例3,设函数/:RfR满足/(0)=1,且对任意x,y?Wfxy+1)=fWf(y)-f(y)-x+2,则/(2020)=()A.OB.1C.2019D.2021【解析】根据题意，在/5，+1)=(x)f(y)f(y)7+2中，令x=y=0得/(1)=/(0)/(0)-/(0)+2=1-1+2=2,令X=1,则f(y+l)=f(y)f(1)-f(y)-1+2=2f(y)-f(y)+1=f(y)+1,即/(y+D-=b则/-/(0)=1，f-f(1)=1，f(3)-f(2)=1,/(2019)-/(2018)=1,/(2020)-/(2019
4、)=1,等式两边同时相加，得f(2020)-(0)=2020,得/(2020)=2020+/(0)=2020+1=2021,故选：D.变式1.若函数对定义域内任意两个自变量X,y都有f(x+y)=()f(y),则/(x)可以是()A./(x)=2x+lB.f(x)=x2C.f(x)=D.f(x)=2xX【解析】函数/()满足对定义域内任意实数X,y都有f(+y)=()(y)，当F(X)=2”时,有Va+y)=2/(x(y)=2jr2,=2*+y,即/(x+y)=(x)(y);所以该函数可以是指数函数.故选：O变式2.函数/(X)满足对定义域内的任意X,都有+2)+(x)v2(x+l),则函数可
5、以是()A.f(x)=2x+lB.f(x)=X2-2xC.f(x)=exD.f(x)=Inx【解析】由/(x+2)+()v2f+l)得,/U+2)-/(x+1)时，函数/(x)lD./(2)/(4)/(6)/(D/0)/(5)/(2016)/(2018)/(2020)/(2015)/(2017)/(2019)=2020【解析】令=I,人=0可得/(1)=/(1)./(0),即2=2/(0),.J(O)=I,.(x)不是奇函数，故A错误;若存在为使得f(%)=0,则=/)/(F)=0,与/(0)=1矛盾,故对PXeR,f(x)0对任意R，都有/U)=/(|+|)=/(1)20,对于任意正整数，f
6、(1)=/(-+-+.+-)=(一)=2,(一)=l,nnnnn若X为止整数，三=(l+l+l+.+l)=fl(1)=2l(n.l),若1为正有理数?(加为与互质的正整数)，则/()=(l+l+.+-!-)=w(一)Bnnnnn为正无理数夕,则q可看作某个仃理数列pj的极限，故/(q)可看作(p,J的极限，而/(r)1,故)B故当x0时，/()1,故C正确；不妨设大工2，则O)=()O内)，切W-芭0，f(x2)-f(xl)=fxx)(-xl)-,/(X1)0f(x2-xl)lt./(X2)-Z(X1)0,故/(x)是增函数,故6正确；令=1可得/(+l)=f（八）f(1)=2f（八）,Z=2
7、,故幽=幽=ZM=2,/3)/(1)/(3)/(2019)三三三-三故选：BCD.变式4.已知函数/(x)对一切实数X,y都有/(工+)，)一/()，)=1。+2丁+1)成立，且/(1)=0,则/(0)=-2_，/(x).【解析】,函数/(x)对一切实数X,y都有/(x+y)-(y)=x(x+2y+l)成立.且f(1),.令=1,y=0,代人上式得/(1)一F(O)=2,.(0)=-2.函数F(X)对一切实数X,y都有/(x+y)-f(y)=x(x+2y+l)成立，.令y=0,代入上式得/(x)-(0)=x(x+l),又由(D知)=一2,/.f(x)=X(X+1)-2.故答案为：2；X(X+1
8、)2.变式5.若函数/(x)对任意实数X,y均有/(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y,则f(x)的解析式为.【解析】令X=y=0得f(0)=2(0)所以/(0)=0令=0得f(x)=(0)+f+3所以f(x)=x2+3x故答案为：+3x变式6.对任意正实数X,y,f(xy)=fM+f(yf(9)=4,则f(J)=.【解析】令x=y=3,则/(9)=If(3)=4,:.f(3)=2,令x=y=G则A3)=2f(J)=2,/(3)=1.故答案为：1.变式7.(1)BJ(x)+2(-x)=x+l,求f(x)的解析式.(2)设/(X)是R上的函数，且/(0)=1,并且对任意实数X,
9、y都有/(x-y)=(x)-y(2r-y+l),求/)的解析式.【解析】(1)Hj(x)+2(-x)=x+l,所以/()+2(X)=T+1,于是得到关于/（幻的方程组/(x)+2/(T)=X+12f(x)+f(-x)=-x+解得f(x)=-x+i(2)令X=O得，/(0-y)=/(0)-y(-y+1),即/Qy)=l-yQy+l),又令y=,代入上式得，/(x)=l+x(x+l),所以f()=X2+x+l.题型二：抽象函数的奇偶性问题例4.已知73定义域为R,对任意”,小口都有/。+)=/。)+，()-1,当x0时，/(x)4.【解析】(I)根据析+y)=()+f(y)T,令x=y=O,得/(
10、0)=/(0)+/(0)-1,解得/(0)=1,再令X=1.y=T,则有f(0)=(l)+f(T)-1,解得f(T)=2.(2)判断：/(X)在R上单调递减，证明如下:x+y=x1,x=x2,x1x2,则y=xl-x20,所以/(1)=()+(j)-i,即U,)-(2)=(y)-,因为y0,所以/(y)x2t都有/(x1)4得/(2x2-3x-2)+/(2)+14,即f(2x2-3x-2+2x)+l+l4,即/(2x2-x-2)2,又因为J(T)=2,所以/(2/12)(T),由(2)知/(x)在R上单调递减，所以2犬_%_2-1,KP2x2-X-KO,即(2x+l)(x-l)0,解得x0时，
11、有/(x)l.(1)求证：/(x)在R上为增函数；若/伊-2-3。+/(29-攵)2对任意x0,一)恒成立，求实数&的取值范围.【解析】(1)设王0,(x2-1)1,.(x2)-(1)0,J(x)在R上为增函数.由题意得:f(9-)+f(29T)=f(39-)+l2,.j(39X-23T)l,令桃=0,则/(0)=2(0)T,解得：/(0)=1,/(x)为R上的增函数，.33-23*-A0,.Mv33-23”,令f=3l,设g(f)=3产-2r(rl),.g(r)mi=g(l)=l,.U0时，/Wl,求证：/O)是R上的增函数；(2)若/O)是R上的增函数，且j=a)-(y)J(2)=l,解不
12、等式f(x)-/(W)2.【解析】(I)设为，gR,且XJVX2，则W-Xl0,即/(七一)l,所以了(工2)一，(内)=/(占一内)+历一，(凡)，=(w一内)+/(XJ-I一/(%)=/(七一七)一1。所以/(%)f(w),所以，(X)是R上的增函数.(2)因为f(R=f()T(y),所以1)+f(y)=3.在上式中取m4,产2,则有“2)+/(2)=/(4),因为/(2)=1,所以/(4)=2.于是不等式f(x)-f-1.-2等价于fx(x-3)/(4)(x3).又/(x)是R上的增函数，(X(X-3)4所以l时，/(x)0.判断了()的奇偶性，并加以证明；(2)判断/(x)的单调性，并
13、加以证明；(3)对任意的f0都有不等式/(*)-/(2)0恒成立，求&的取值范围.【解析】(1)/(H为偶函数，证明如下：函数/(X)的定义域为%k0,令=-l,8=x,/(T)=/()=f(-)+(),令=h=l,所以F(I)=2/(1),解得：/(1)=0,令=人=一1,所以f(l)=2f(T),解得：/(-1)=0,所以/(T)=.f(x)为偶函数.(2)”力在(一%)上单调递增，在(a+)上单调递减，证明如下：证明：也,七(0,+),且XVX2因为f(%2)=/仔F=/仔)+(xJ,所以/-/(%)=/仔)，11,0,XlxJ即/(%)/(巧)，/(X)在(0,+8)上单调递增.由(1
14、)知，/()为偶函数，所以/()在(-8,0)上单调递减.对任意的r0都有不等式/(T)T恒成立，所以/(/)，一/或k:或网l时,/(x)l.求证：函数/(x)是(0,+8)上的增函数.【解析】证明：任取七、2(0,-kx),且2k,则F(X2)-4)=/(亨卜-3)=/停)+x)-%)=(mT/因为二1,所以/三,所以“w)-)o,即毛)/&)，再VxI7所以函数/(x)是(0,+上的增函数.变式10.定义在(0,+8)上的函数/(X)满足下面三个条件：对任意正数力，都有了(4)+/9)=/(必)：当xl时，/(x)18x)的X的取值集合.【解析】尸尸】得I)=/。)+/，则/=0,而/(
15、4)=2)+2)=TT=-2,且/(4)+/(；)=/(I)=0,则/()=2：(2)取定义域中的任意的士，*2,且X10寸，/(x)0,:.f土0,x7()-u)=z1仔卜(弓)=fM+f/=/月)上为减函数.(3)由条件及(1)的结果得，/(HZ/),(4-12)+y(18x),-3x20,(-3x2)(18x),H8x0,解得3vxv6,x3-3x20,且川)=一2.(1)证明函数人在R上的奇偶性；(2)证明函数y(x)在R上的单调性；(3)当W1,2时，不等式4f-mr)+y(x)V4恒成立，求实数机的取值范围.【解析】(1)因为函数“力的定义域为R,令X=1.y=0,所以f(l)=f
16、(l)+f(0),即/(0)=0，令O=T,所以/(0)=x)+f(T)=0,即/(T)=-/(%)，所以函数/()为奇函数.(2)不妨设王,所以/(毛)-/(N)=F(Z)-/(工2+%-%)=-/(%-%2),而一工20/(x2)-(x1)0j即F(W)f(),故函数f(x)为R上的减函数.(3)由可知，函数”力为奇函数，而/=/(I)+)=4,所以-2)=4,故原不等式可等价于，(“一如+)”一2),而函数/(“为R上的减函数，所以X2-2,又“4，2,所以22mXAF1XH_6u11.X,而X,当且仅当-VeUJ时取等号，所以z。成立.a+b(1)判断Ar)在区间1,1上的单调性，并证
17、明；(2)若於)-2机+1对所有的-1,1恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)/)在区间-1,1上单调递增.证明如下：任取M,2-,1,且XV2,则一切-1,1.7U)为奇函数,U)一段2)=(x)+H-X2)=/(%)+止12)x+(f)(XT2).由已知条件得/(%)+/(一汽)r+(-)0.又X/X2V0，J(x)fiX2)0,即J(XD1即苏2吟。对所有的-l,1恒成立.设g（八）2manr.若布=0,则g（八）=00,对T,1恒成立.若n0,则g()为a的次函数，若g（八）K)，对a-l,1恒成立,必须有g(T)0,且g(l)0,.*.m-2或w2.综上所述，实数，的取值范围是(
18、机向=0,或仑2,或n-2.题型三：抽象函数的单调性问题例7.定义在(TI)上的函数“满足对任意的,ye(-u),都有/(%)+f(y)=/E竦)，且当e(0,D时，/(x)v(1)求证：函数/(力是奇函数；(2)判断/(x)在(Tl)上的单调性，不需证明；解不等式f(-)+(M0【解析】(I)令X=y=,得/(O)+/=0),BP/(0)=0,任取x(T,l),则r(T,l),“H+(T)T昔)=/(0)=0,即，(T)Ta),所以/a)在(TI)上为奇函数；(2)判断函数“可在(TI)上单调递减.任取,x2w(T,l),且KW,则f(三)-)=w)+(f)=zi,11x2因为一IVX工20
19、，工2-X1，所以1一毛七一天+西=(1-W)(I+X)0,即I-XlX2x2-所以守二土1,所以1-V2U-vi即/7(f)vO,得/(亦/&)，所以函数“X)在区间(Tj)单调递减；(3) /(x-1)+()0,BP/(-1)-(x)=(-),-lx-ll因为函数单调递减，所以需满足,解得：g%-X所以不等式的解集为,gxl例8.已知函数F(X)是定义在R上的增函数，并且满足f(+y)=()+(y)J=4.(D求f(0)的值.(2)判断函数/(x)的奇偶性.若f(2x+3)-/(x)8,求X的取值范围.【解析】(1)令e=,得AO)=。)+/”解得A。)二。：(2)因为函数/(X)的定义域
20、为R,令y=-,则有f(x-x)=f(x)+/(T),即/(X)+/(T)=0,.,./(-)=-/(%),.函数/(X)为奇函数，(x)为奇函数；因为/=4,所以f(2)=(l+l)=4+4=8,又因为f(2x+3)-f(x)8,gp(2x+3-x)(2),即/(x+3)(2),又因为f(x)为增函数，x+32,解得xvl,故4的取值范围为亦o成立,所以/(x)为增函数，X-y所以X-2j+wl在xw0,9匕恒成立，令瓜=1,可得1-帆布2一2，在，0,3上恒成立，又y=产-2/,90,3,所以当=3时,(产-2z)ma=3,所以l-113,即wK-2.变式14.已知函数/定义域为-1,1,
21、若对于任意的,y,i,都有f(+y)=()+(y),且o时，(x)0.证明：AX)为奇函数；(2)证明：/()在-1.1上是增函数;(3)设/(1)=1,f(x)0时，有/(x)O,X2-10.f(x2-X1)O=f(x2)f(xl)/3)是在上为单调递增函数；(3)由(1)(2)可知/(“)是E同上为单调递增函数,所以/在卜叫上的最大值为/=1所以要使/(x)l,g=m-2am+1g(-l)Owz+2m+lO*U)o口叫0解得Tmg(3x).【解析】(1)因为函数幻是增函数，对于任意,yeR都有+y)=()+(y),这样的函数很多，其中.种为：/()=HQ0),证明如下：函数f()=依(20
22、)满足/W是增函数，f(+y)=(+y)=/U)+f(y)=kx+kyi所以/(x)=H(A0)满足题意.(2)令y=T,则由f(+y)=f()+f(y)得f(0)=0=(x)+(),即得/(T)=一/(力，故/(力是奇函数.(33/(巧-/()；3力，所以/2(x)(3x),则小2)2(x)+(3x)/(x2)f(x)+f(x)+/(3x),因为f(x+y)=()+f(y),所以U)+(x)+(3x)=(5x),所以f(x2)f(5x),又因为函数/3是增函数，所以x25x,所以XVO或x5.所以N的解集为：(-oo,0)=(5,+)变式16.已知y=(x)满足对切达ywR都有r+2)，)=
23、y(x)+?/(y).判断yjx)的奇偶性并证明；(2)若/0)=2,求4-13)H-3)t(22)t(53)的值.【解析】a)y=f(x)为奇函数,证明：令y=f,则有f(x)=f(%)+2/(X),所以/(-*)=-(*),故y=()为奇函数；(2)令=l,y=n(neZ),则/(1+2)=/(l)+2f(n)=2+2f(n)；X/(0)=0,令x=0,y=(Z),则/(0+2，。=/(2)=/(0)+2/()=2/()，即f(2n)=2f(n)t所以/=2/(1)=4(3)=2+2/(1)=6(5)=2+2/(2)=10,则/(-3)=一/(3)=Y,f(-l3)=-/(13)=-/(I
24、+26)=-2-2/(6)=-2-2(2/(3)=-26,/(22)=2/(11)三2(/(1+25)三2(2+2/(5)=44,/(53)=2+2/(26)=2+2(2/(13)=106,所以所求式子的值为118.变式17,函数/(x)对于任意的实数X,)，都有兀r+y)寸(X)+f(y)成立，且当x0时/(x)VO恒成立.(1)证明函数Fa)的奇偶性；(2)若/(1)=-2,求函数/(%)在-2,2上的最大值；(3)解关于X的不等式Bf(-2x2)-/(x)I/(4x)-/(-2)【解析】令尸尸。得10)=0,再令尸T即得大一幻=一大工)，/(力是奇函数.(2)设任意X,工2WR，且为毛，
25、则%0，由已知得了02一不)/(电)，由函数的单调性定义知r)在GOO,+oo)上是减函数，x1.2,2时，/W1.=(-2)=-(2)=-(ll)=-2(l)=4,JCr)当-2,2时的最大值为4.由已知得：/(-2)-(4x)2(x)-(-2),由(1)知於)是奇函数，上式又可化为：f(-2x2-4x)2(x+2)=/(x+2)+f(x+2)=/(2x4),由(2)知兀V)是R上的减函数，上式即：-2f-4xv2x+4,化简得(x+2)(x+l)0,原不等式的解集为“1XV-2或xT).变式18.已知y)=)+(y).(1)若X,yR,求;1)，(一1)的值；(2)若X,yR,判断y=(x
26、)的奇偶性；(3)若函数/(x)在其定义域(0,+8)上是增函数，/(2)=1,)+(-6)4,求X的取值范围.【解析】(1)令x=y=l,则/(1)=/(1)+/(1),所以/(D=0又令X=y=-1.则/1=(T)+f(-D，所以/(1)=0.(2)因为函数定义域为R,关于原点对称，令y=T,则/(一幻=/(幻+/(1),由知八一1)=0，所以1Ax)=(x),即函数人幻为偶函数.(3)因为f(4)=(2)(2)=1+1=2,所以f(16尸f(4)4/(4)=2+2=4,因为/(x)+f(一6)4,所以1.G-6)(16),因为/(x)在(0,+8)上是增函数，x0i所以0,x(x-6)1
27、6,x0,即，X6,-2x8,所以X的取值范围是(6,8.【过关测试】一.单选题1.若对任意X,yR,有O)+(y)-(x+y)=3,函数g(x)=zJ+f(x),则g(2)+g(-2)的值等于X+1A.OB.4C.6D.8【解析】解：rf()+f(y)-/(+y)=3,.令=y=0得，/(0)=3,.令y=得，/(x)+(-)=6,.g(2)+g(-2)=f(2)+/(-2)=6.故选：C.2.若对Vx,yR,有/(x)+(y)-(x+y)=3,函数g()=-+/(,则g(2)+g(-2)的值()AT+1A.0B.4C.6D.9【解析】解：令x=y=0,可得/(0)+/(0)-/(0)=3,
28、W/(0)=3,可令y=-x,f(x)+f(,-x)=3+/(0)=6,22则g(2)+(-2)=-+/(2)-+/(-2)=/(2)+/(-2)=6.故选：C.3 .已知定义在(0,+oo)上的减函数/(x)满足条件：对任意X,y(0,+),Wf(xy)=/(x)+f(y)-1,则关于X的不等式/(x-l)1的解集是()A.(l,+oo)B.(1,2)C.(o,2)D.(0,2)【解析】解：根据题意，对任意”,yw(0,+)，总有/(孙)=()+(y)-1.令X=y=l可得：f(D=/(I)+f(1)-1,变形可得：f(1)=1,又由函数F(X)是定义在(0,”)上的减函数，则不等式/(工-
29、1)1=0工-11，解可得IVXV2,即不等式的解集为(1,2)；故选：B.二.填空题4 .函数y=(x)的定义域为(0,+Oo),且对于定义域内的任意X,y都有/(MJ)=/()+(y)，且/(2)=1,则/诋的值为.【解析】解：/(y)=(x)+f(y),旦/(2)=1,令x=y=&、得/(2)=(2)(2)=1,f诉=g故答案为：25 .已知函数/(x)的定义域是(0,”)，满足/(2)=1,且对于定义域内任意”，y都有/(孙)=(x)+(y)成立，那么/(1)+f(4)=.【解析】解：f(1)=/(1x1)=/(1)+/(1)=If(1),:.f(1)=0.f(4)=(22)三(2)/
30、(2)=2,:.f(1)+f(4)=0+2=2,故答案为2.6 .己知函数/(x)的定义域是(0,转)，且满足/(盯)=(x)+(y),f(2)=1.如果对于OVXy,都有f(x)(y),则不等式/(工一1)+/。+1)2的解集为(表示成集合).【解析】解：由题意，令x=y=2,可得/(4)=2,对于Oxvy,都有f(x)v(y),可知73)是递增函数.不等式/*一1)+/。+1)2转化为/(丁一1)O+10X2-14解得：IVXV有故答案为：xlxl,则/(X)0；/(g)=l;对定义域内的任意实数工，y,都有：/()=(x)+(y),则不等式Fa)+/(5月一2的解集为.【解析】解：,=2
31、=2/(1)=/(1)令=y=1:.f(1)=O.(xy)=(x)+(y),.不等式/(x)+/(5-)2可转化为：/(x(5-)+.04(-(5-x)./(I)4设,x2(O,+8)且$x2.,./(x2)=/()=/()+f()K芭.(x2)-(x,)=(O.O-x(5x)114解得：0凡,1或4,x0.求/(0)-(2)的值，并判断的奇偶性；(2)对任意的xR,证明：/(x+4)=(x).(3)直接写出/()的所有零点(不需要证明).【解析】(1),对任意实数4,人均有/(+y)+*-y)=2()(y), 令x=y=0,则f(0)+(0)=2W(0),可得F(O)1.f(O)-1=0, 对任意工0,1),/W0,(0)0,(0)=l;令=y=l,则/(2)+0)=2#n/+f(0)=0n2)=f(0)-(2)=l-(-l)=2; 7U)定义域为R关于原点对称，且令X=O时，/(y)+(-y)=2(0)(y)n(y)+(-y)=2(y)n(-y)=3, /(同是R上的偶函数；(2)令y=l,则F(X+l)+f(x-l)=2(x)(l)n+l)+f(x-l)=0
