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1、必修5解答题第二章8O题一、解答题1、设数列%满足q=5,。用=3%,写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。2、根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式：(1)-1,7,-13,19,-(2)0、8,0、88,0、888,11_513_2961(3)彳一口元，-32,64,/379/，而77(5)0,1,0,1,-3、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第个图中有多少个点.4、数列.中,箴写出这个数列的前4项,并根据前4项观察规律,写出数列的一个通项公式。5、设数列%满足=1,4=11),写出这个数列的前5项。6、数列中，已知凡=立尸1,(旷)。(1)写出0，%;(2)79
2、是否是数列中的项？如果是,是第几项？7、写出以下各数列的通项公式:52810,9,8,7,6,1,5,77,31,介31535634,16,36,64,U_1._1._1.j2,6,12,20,309,99,999,9999,8、已知alt=911(71)10SN*),试问数列&中有没有最大项？如果有,求出这个最大项；如果没有，说明理由.9、在数列4中，用=3,a=11(t72,7N).(1)求证：4+3=&；(2)求Oll9z?2_9/?+210、已知数列J92_卜(1)求这个数列的第10项；98(2)而是不是该数列中的项,为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内;l2(4)在区
3、间g,才内有、无数列中的项？若有,有几项？若没有,说明理由.11已知数列满足=l,Hd=p。+q,且生=3,4=15,求p,q的值。12、等差数列a的公差0,试比较以断与的大小.13、若sin，Sincos成等差数列，sin。，Sin,cos。成等比数列，求证：2cos2。=cos2、14、已知等差数列4中，+a1+a7=15,及久a=45,求此数列的通项公式.15、已知两个等差数列a：5,8,11,-,&：3,7,11,都有100项,试问它们有多少个共同的项？4116、己知数列d满足国=4,a=4-(22),令4=-3n-lal,-求证：数列4是等差数列；求数列4的通项公式.17、已知数列4
4、满足句=!，且当71,7N时,有况=2：二害,设bt=1.512eN*、(1)求证：数列ZU为等差数列.(2)试问国电是否是数列a中的项？如果是,是第几项；如果不是,请说明理由.18已知a0,求证:19、数列%满足向=3%+(女川)，问是否存在适当的4，使是等差数歹1)?20、在等差数列同中，已知%=10吗2=31,求首项为与公差d21、设f(x)=d+Z+c(d0),若函数f(x+l)与fx)的图象关于y轴对称.求证：F(x+J)为偶函数.乙22、在公差不为零的等差数列4中，,生为方程一一%元+%=0的跟,求4的通项公式。23、在等差数列a,l中，已知S8=48S12=168求4和4。24、
5、设等差数列a的前项和为S,已知a3=12,且Sl20,513(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大,并说明理由25、已知等差数列a中，记S是它的前项和,若S=16,S=24,求数列a的前项和北、26、设等差数列4满足&=5,a。=-9、(1)求4的通项公式；(2)求4的前n项和S及使得S最大的序号n的值.27、设8为等差数列,S为数列a的前项和，已知S=7,5.5=75,北为数列哥的前项和,求源28、在等差数列等中,已知d=2,a=ll,S=35,求司和、29、设等差数列%的第10项为23,第25项为-22,求：(1)数列%的通项公式；(2)数列%前50项的绝对值之和。30、已知等差数列
6、为的前4项和为10,且生必,生成等比数列,求数列/的通项公式。31、已知数歹U&满足国=1,&+i=2&+1,(1)求证：数列&+D是等比数列；求为的表达式.32、已知数列a的前项和为S,1)(t7N*).O(1)求d,筑；(2)求证：数列&是等比数列.2033、已知4为等比数列，a=2,刈+a尸彳,求4的通项公式.O34、等比数列d同时满足下列三个条件：3224国+a=11&a1=-三个数可色,l),从中取出11.,再用水加满,然后再取出11.,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共倒出纯酒精1.、47、现在有某企业进行技术改造,有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元,第一年便可获利1
7、万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元,第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元,两方案使用期都是10年,到期后一次性归还本息,若银行贷款利息均按本息10%的复利计算,试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元,数据1、展2、594,1、31013.79)48、在等比数列ar中，句+4=66,4.2=128,S=126,求刀和、49、求和：Sn=x2x,3x*nx(%0).50、已知S为等比数列4的前项和，S,=54,*S11=60,求S八51、为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2010年开始出口,当年出口a吨，以后每年出口量均
8、比上一年减少10%、(1)以2010年为第一年,设第年出口量为2吨,试求为的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口,问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据:0、90、35、52、已知数列4的前项和前=244、(1)求数列3的通项公式；(2)设bn=anlog2求数列的前n项和北、53、已知等差数列4满足：刍=7,a+刍=26,4的前项和为S、求&及S;(2)令,=-(nN*),求数歹IJ的前项和北、54、已知数歹(a的前项和为S,且2=1,4+i=Js(=l,2,3,).(1)求数列a的通项公式；(2)当=log(3)时,求证：数歹IJ的前n项和北一、
9、2bnbn-11I/755、已知数列面的各项均为正数,对任意Z7N*,它的前项和S满足S=:O(afl+l)(an+2),并且a2,a,成等比数列.(1)求数列4的通项公式；(2)设”=(一1严当a+,方为数列的前项和，求加、56、数列a中,a=,前项和S满足S+lS=()+1(7三N*).(1)求数歹U&的通项公式品以及前n项和S；(2)若S(S+S),3(S+S)成等差数列,求实数方的值.57、已知点(1,2)是函数F(X)=ax(aO且aD的图象上一点,数列EJ的前项和S=FS)-1、(1)求数列&的通项公式；(2)若a=loga4+,求数列atlbl的前n项和北、58、设S是等差数列&
10、的前项和,已知区,太的等比中项为盟S的等差中项为1,求数列4的通项公式.59设数列d的前项和为Smai=lfsn=nan-2n(n-l).(1)求数列an的通项公式an,设数歹U,的前n项和为A,求证：悬、a包+1b460、在数列&中，&=1,4+1=24+2、(1)设A=岛、证明：数列4是等差数列；(2)求数列4的前项和.61、甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为W万元，由于经营方式不同，甲超市前年的总销售额为(2+2)万元,乙超市第年的销售额比乙前一年销售额多/I1一万元.(1)求甲、乙两超市第年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市
11、将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况,将会出现在第几年?62、设数列4的首项a1=l,前项和S满足关系式：3tSf-(2Z3)Sn-=iit(f0,=2,3,4,).(1)求证：数列&是等比数列；/1)(2)设数列4的公比为F1),作数列出,使b=l,b,=f工一(=2,3,4,).求数列4的通项4；(3)求和：bbzbzk+bib-bk-bm-bin-blnn+63、设数列3满足4=2,1-a11=32矽、(1)求数列4的通项公式；(2)令bn=natty求数歹IJbl的前n项和S、64、已知数列叫中，/=2,4+=a+c(C是常数=1,2,3,)，且q,%，%成公比不
12、为1的等比数列、(1)求C的值、(2)求也的通项公式、65、已知等差数列q,/=13,%=4,它的前项和为S“，求：(1)5”的最大值及此时的值、(2)数列MJ的前项和7；66、设等差数列4的前项和为S,公比是正数的等比数列4的前项和为Tni已知=1,=3,及+=8,TzS=15、求4,4的通项公式；(2)若数列cj满足alcn+a2cn-Fal,-1c2+a11cl=2+1/72对任意N*都成立，求证：数列4是等比数列.67、已知数列log2(4-1)(WN)为等差数歹J,且&=3,a=9、(1)求数列4的通项公式；(2)证明：-+-H1-a2-a&a11+-an68、已知劣为等差数列，且4
13、=-6,续=0、(1)求a的通项公式；(2)若等比数列6满足A=-8,庆=国+桀+a,求4的前项和公式.69、甲、乙两物体分别从相距70In的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?70、求和:-1.-1.-1.243x54x61A+3927n,H371、已知数列4为等差数列,公差d0,其中ak,ak,a上恰为等比数列,若A=l,k2=5tk3=17f求k+k2-卜人、72、已知等差数列a的首项2=
14、1,公差小0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.(1)求数列2的通项公式；(2)设&=储(7N),S=6+b+4,是否存在力使得对任意的均有S总成立？若存在,求出最大的整数若不存在,请说明理由.OO(91173、设EJ是等差数列，6=习为,已知：+Z+i=-bb2bi=-i求等差数列的通项品、74、已知数列同是公差d不为零的等差数列,数列4是公比为q的等比数列,b=1也=10也=求公比q及力”75、已知等差数列%的公差与等比数列h的公比相等,且都等于d(J0,J1)ax=ba3=3b3a5=5b5求a,b.76、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216
15、,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数。77、已知同为等比数列，C20CIti=2,出+4=求同的通项式。78、数列叫的前项和记为Seq=IM=2,+1(NI)(I)求k)的通项公式；(II)等差数列也的各项为正,其前项和为7；且7；=15,又4+如生+4,4+4成等比数列,求7.79、已知正项数列a的前项和S=；(a+1)2,求&的通项公式.80、已知公差大于零的等差数列4的前项和为S,且满足:&a1=117,&+a=22、(1)求数列an的通项公式an(2)若数列4是等差数列,且求非零常数c、11-C以下是答案一、解答题1、4=15,4=45,43=135,4=405n=53,2、解
16、符号问题可通过(一1)或(一1)田表示,其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为4=(一1)(65)(t7N+),OO(2)数列变形为G(10、1),G(I0、01),8g15(10、001),.an=-1一而(z7N*).各项的分母分别为2222易看出第2,3,4项的分子分别比分母少9Q3、因此把第1项变为一一因此原数列可化为一2-322-321,222-321-323,242z7-3:ali=(-1)”(N)3579(4)将数列统一为J,F，对于分子3,5,7,9,，是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,分,17,联想
17、到数列1,4,9,16-即数列可得分母的通项公式为G=4+1,可得它的一个通项公式为1.O7M).n+105为奇数)l+(-l)nzuz*(为偶数)或晶一2SN)1 +cos7711或an=(7N)3、解图(1)只有1个点,无分支；图除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点；图除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点；猜测第个图中除中间一个点外,有刀个分支,每个分支有(一D个点,故第个图中点的个数为1+(1)=/+1、24a8。a、Cii-cia=ci-i=a,1 21+。31+321+7。2n-xa31+(2”S二358b、q=1
18、,2=2,%=，%=gn2+3+16、nx_109(1)ao=y(2)是,第15项7、4=n+an=11-n%=2+(-l)”%=1-344二J八n(n+1)=10”-18、解因为a+1.%=司匹(+2)一岛J(+1)=hs+2)一翱+4儒卜守则当77时,9).,8-11+9,当n=8时,I,.8-nJOj11+1.-=09,当79时,9,8n09,所以句d3&戊=国且0国功2,Q9故数列a存在最大项,最大项为/=2=诃、9、证明&+尸1一套=1.a）+i11-=1=Ial414-&l1a-1an-1=I-(1.an)=alta113司、解由知数列&的周期7=3,14=5,8=1,3=2、.1
19、._1乂感Oll-670+1J1解令l三=箫,得9=30。、此方程无正整数解,所以而不是该数列中的项.证明3/723+133=13/7+13/?+13/?+1,3Xz7N*,.0-T7l,OaXK0/7IJ1.数列中的各项都在区间(O,D内.解令水为=黯|恻37+19z7-69z?-66/?+2fl21又7N*,.当且仅当=2时,上式成立,故区间小于上有数列中的项,且4只有一项为a2=-11解：由己矢口可得的=pq+4，即+g=3a4=pa3+q=P(Pa?+)+=P%?+PV+4艮|13.2+pq+夕=15联立方程组J”?3p-+pq+q=5解得P=-或P=24=6q=12、解设为=句+(-
20、l)d则&a&=(a+3或(ai+8d)(国+5(国+6中=(a；+Ilal+24/)(a：+Ila+30/)=-6d0,所以a1a913、证明：由sin。，sin。，cos夕成等差数列，得sinO+cosO=2sinct,则l+2sin夕COSO=4sin2ai即sin2=4sin21、由sin。，Sin,COS。成等比数列,得sinOCoSO=Sin即Sin2e=2sir?、由得4sin2-l=2sin2,所以2(1cos2所1=1cos2所所以2cos2a=cos214解Vaa7=2abaala7=3a=15, a1=5、又&4a=45,司29,即(a-2d)E+2中=9,(52中(5+
21、2-=9,解得d=2、若d=2,atl=a4+(-4)d=2-3；若d=-2,an=a(774)d=132、15、解在数列4中，句=5,公差4=85=3、/.an=ai+(-1)4=3+2、在数列/中，0=3,公差=7-3=4,Abft=b+(-1)d2=4一14/77令an=b,t,则3+2=4w1,=W1、O ：m、7N*,.z=3A(AN*),O771OO,解得0庆75、又0710003A75,0t25,A=1,2,3,-,25 两个数列共有25个公共项.416、(1)证明Van=4-(72),3n-4=4-(7h).an._11a1112n114+I一2an-24a,22(a11-2)
22、an-22(an-2)乙an12、:b“+1.bn=,N*.,是等差数列,首项为公差为J、乙乙(2)解b=,_2=5，d=、z、I1Iz、nbn=bl+(/?-1)d=-+(n-l)=5、rc,2I、an乙乙n17、证明当inM时,=誓户=匕也=也H1l111rl1=-2=2+=4-=4,且4=-=5、11a是等差数列,且公差为4,首项为5、解由知bn=bl+(-1)67=5+4(/7-1)=4+1、1 1户_1人_1_a5,2，a同一元、左区一百万一后，.H=11、即所司2=a1,，司1及是数列4中的项，是第11项.18、证明：要证p+i-2-2,只需证因为a0,只需证4(a2+2U2+2+
23、,aa即证a2+2,而此不等式显然成立.a故原不等式成立.19、解：假设存在这样的卬满足题目条件。&+2=3%讨+1(N).n+2-。用=2an+l+?+1由已知%+=3a+n(neN*)可得外向一。=2att+n%+2-%+=凡+1-anBP+1=2%+%+/=-g,满足等差数列的定义,故假设是正确的。即存在适当的外的值使数列为为公差为-;的等差数列。由已知条件a11+1=3an+，令=1.,.%=3q+1即6f=3q+1,导6=o20、q=-Iyd=321、证明：法一：要证F(x+J)为偶函数,只需证/(%+)的对称轴为x=0,乙只需证一五一=。，只需证a=-b、因为函数f(x+l)与Hx
24、)的图象关于y轴对称,即x=一我一1与x=一美于y轴对称，aa“-b-b所以_需_1=_/，所以a=-bi所以f(x+0,13X122整理得:、句+2d=12,pa+116Z0,4+6火0,、国+2=12.24解之得：一万欢一3、(2)Vd0f而5313(4+313)2=13a70,，&0,.40、，数列4的前6项和S最大.2128+-2-d=16,25、解由=16,2=24,得ZIXzQ4348+zd=24.解得51=9,d=-2.2囱+=16,即2a1+3=12.所以等差数列a的通项公式为a=11一2(7N*).(1)当Z75时，Tn=15I+Ia21TFIa11=a+a24-an=Sn=
25、-n+10、(2)当N6时，Tn=II+Ia21HFIan=劭+线+戊一戊一多一一4=2Sn=2(-52+105)一(-72+107)=-10j+50,故n=n107(t25),10+50(26).26、解(1)由3,n=a4(/?-1)d及a=5,5io=-9得a+2d=5,al9=-9,可解得51=9,d=-2,所以数列4的通项公式为4=112/7、由知，Sn=ria、+11Dd=U)n-#、乙因为S=-55)2+25,所以当=5时,S取得最大值.27、解设等差数列&的公差为则Sfl=nal+-n(n-l)d,乙VtS=7,5l=75,7a+21d=715a+105=75ai+3d=1al
26、+7d=551=2d=lS11：=51+-(7?-1)d=-2+-(一1),乙乙,.S+lSn_7+1-7=2,，数列,是等差数列,其首项为-2,公差为JTn=n(-2)4n(n-l)l1992=47743n=&+(/7-1)dy28、解由/7(/7-1)Sn-na11d,乙5+2(7-l)=11,1(一1)Z7a1+-2=35,=7,a1=-1.乙解方程组得/7=5或,3=329、解：由己矢口可知0=，25=22,2560=154-22-23=15d,解得d=-3oai=10-9d=50q=-3+53o所以此数列的前17项均为正数,从第18项开始均为负数。前50项的绝对值之和S=tz11+a
27、21+31+an_1+an=ax+a2+a3+l7-(l8+19+50)=S17-(S50-S17)=2S17-S50=2x442-(-1175)=205930、解:设数歹()”的首项为,公差为d,则q+电+a3+4=I。，则2q+3d=5,由于02，。3，。7成等比数列,所以=。2。7，化简得30+22=0所以26+3d=53a1J+2J2=0=-2=3所以数列%的通项公式为%=皇或%=35o31、(1)证明V1=2511+1,azz+l=2(8+1),.1+l,4+1-2、4+1是等比数列,公比为2,首项为2、解由(D知a+D是等比数列.公比为2,首项囱+1=2、/.a11+l=(a1+l
28、)2T=2、,当=2-1、32、解由Si=；（国一1）,得国=；（国一1）,OO即34及=(己21),得“2=4、(2)证明当n2时，&=S-St1/、1/=dn-1)3n-1),所以4是首项为一：,公比为一9的等比数歹U乙乙33、解设等比数列4的公比为g,则q0解得5=3,兔=3、O当Q=I时,a=18,2当q=3时，Si=-2d=gX3f=2X37综上,当时,4=2X33%O当4=3时,a=2X3t、34、解由等比数列的性质知功a=的产学a+a=1132句a=5132a6=-f131=2当Q9时q=2J乙尸了&=；27O2,4_32o2_32-+a1+-,2a3-224成等差数列,/=!2
29、7O32、卜=511当J1时O=.,an=-261 乙J5249-ja2+a+-2a3,不符合题意，通项公式为=；2、O35、证明设4、伍的公比分别为,、Qfp0,q0ypqfcn=an+bn要证c不是等比数列，只需证C2C6成立即可.事实上，&=(ap+)2=af+62+2abpqtCIC3=(+A)(ap+biQ)=apl)q+axb(B+/).由于Cic3-d=abx(pq)20f因此dcc3,故a不是等比数列.36、解设这四个数分别为乂%18%21X,则由题意得,=H18-z)2(18D=y+(21.x)X=3尸67545尸了754627Q故所求的四个数为3,6,12,18或竽号37、
30、解：设数列%的首项为，公比为,.+%+%=3,/.Iog2l+log26f2+log2a3=3.log2(6F,23)=3,.d123=8,.a2=2o.bb2b3-3,.Iog2alIog2a2Iog2a3=-3.Iog210g2%=-3.l0g2l0g2”二-3qq即(log2a2-Iog2)(log2a2+Iog2)=-3即(1-Iog2(7)(1+Iog2)=-3,解得Iog2=2当bg24=2时，4=4,q=1，所以4=1.4-=2t。q22当l0g24=-2时,q%=8,所以=8Xf-1=252n4 q38、设生产甲乙两种混合肥料各x,yt则4x1018x+15y66xO,yO39
31、、设一次上网时间为xh,选择A公司，费用1、5x(元)；选择B公司，x1、5x(0x17)40、5(x-2)+4x+5(-l),至少6个笼,25只鸡；至多10个笼，41只鸡。41、165(20-)+24X4x2180042、98+12+(I24)+(12+42)+12+(n-l)45OOO(辆)，即1、5甯、11.oz两边取常用对数,则Ig1、5lg,。乙即7lgl65J彳27、3,又7N+,因此28、Ig3Ig2所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的今O(1V46、答案1s2-aaO11解析用E,表示每次取出的纯酒精,a1=l,加水后浓度为=1-,a2=aa1(IYa
32、-八(1加水后浓度为1三二=l-2,a3=I-2,aa人aJI句IaJ(1(依次类推：&=18,a10=1-%kaJaJ(1Y(1Y(1V1)1s+1-9=1-82、63(万兀),i.o1到期时银行贷款的本息为10(1+0、l)10102594=25、94(万元)，甲方案扣除贷款本息后,净获利约为42.6325、94=16、7(万元).乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，1+1、5+(1+9X0、5)10(1+5.5)2=32、50(万元)，而贷款本利和为1.IX1+(1+10%)+(1+10%)91.I10-I一=1、1X-jj了=17、53(万元)1.11，乙方案扣除贷款本息后,净获利约
33、为32.5017、5315、0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利.&a=128,48、解:名3%一2=句4,囱&=128,解方程组“_QIa1UU9a=64,a=2,51=2,4=64.将代入S=速詈可得舄,由a=dQT可解得77=6、将代入可得。=2,1q由a,=aqi可解得=6、故=6,q=J或2、49、解分=l和；rl两种情况.(1)当X=1时,S=I+2+3H(=(Tl)、当xl时,S=X+2*+3f+XS=Ag+2/+3/HF(-1)4+/,x(D.二(1x)S=x+V+/+/zn=-:-nx+,Cx(l)/=(D2、综上可得S=(X=I)(xl且XWO)r7(7l)-2x(一/)、(1x)?-X50、解方法一由题意S,S一S,W一必成等比数列,218262=54(-60),=-.方法二由题意得收l,.S,=y=54国(1-dtl)M-t=60由得l+q=N,n1al9X54=江8，a1(l-7n)954zI、182S/)=-Q(1-Ta)=Q、1089351、解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项国=a公比Q=I-10%=0.9,a=钎0、9f(71).H(I091)(2)10年的出口总量So=八Q
