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1、学年论文题目：浅谈线性方程组的求解及应用学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学学生姓名：学号：指导教师：浅谈线性方程组解的求解及应用数学与统计学院12级信息.与计算科学专业MK：我们己经学习过了一些关线性方程如的般理论，本文在我们学习的基础上总结井推广，讨论了这些理论在高等代数中的应用，并试图应用简单的数学软件来实现求解过程.英文摘要：WehaveIeafnedsomecommontheoriesaboutsystemof1.inearequations,thisartic1.ewi1.1.summarizeandgenera1.izetheIheOiyOn(hebasisfwhaiweha
2、veknown,discuss(heirapp1.icationinhigha1.gebraandtrytouseasimp1.emathsoftwaretofindroots.关词克拉默法则消元解法MT1.ABI1.接法迭代法KeyWord:CramcrsRu1.eE1.iminationMethodMV1.ABDirectMCIhodIterativeMethod一、引言在自然科学和工程技术中，很多问题的解决往往归结于求斛线性代数方程加，例如电学中的网络向超，铅体数学放样中建立三次样条函数向遨用差分法或杵有限元方法解常微分方程组、偏i他分方程的边值时时等，嫉后都归结为求解线性代数方程组.在
3、中学代数中，我们学过二元、三元线性方程组.但在生产实际中所遇到的线性方程如，它的未知址往往不止两个、三个.那我们又该如何其求解呢？本文的主要内容就是以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的戏性方程组解的存在性、求解方法.具体地说就是要讨论以下几个何鹿：(1)线性方程组在什么情况下有解？也就是它有耨的充要条件是什么？(2)假如没有解，当然不再讨论：如果有解，它究竟有多少个解？又怎么去求解？(3)假如只有一个解，那也简单：假如有多个解，解与解的关系又是怎么？(4)线性方程组有什么应用？经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用鬲国代数中的解法并不能得到它的解，我们用该怎么求解呢？经
4、过数值分析这一门课程的学习我们知道关于线性方程组的致信解法一般两类,一类是直接法，另一类是迭代法.本文将筒略介绍总接法中的最携本的Gauss消去法及其某些变形(这类方法是就低阶柄密矩阵方程组的有效方法和详细介绍迭代法的一些基本理论及JaCObi迭代、GaussSeide1.迭代法、超松弛迭代法以及使用T1.AB如何进行线性方程组的快速求解.二、简单线性方程组的求解行升式投行展开定理：n阶行列式D等于它的任一行元素与该行元素的对应代数余子式乘枳之和.即d=4+%+w,=ZqJ4=1.2“)f-1.定理2行列式的某行元素马另行的时应元素的代数余子式的乘枳之和等于零.1.克拉默法则（行列式）如果线性
5、方程趾aiix1.+a1.2x2+-+a1.nxx=b1.,aiixi+a2jx2+.-+a2nx1.t=h1,的系数行列式a.f1.,.aM那么线性方程祖1）有唯一解:abirtn1.aj-1.%2.r-1.mi即D,是把D中的第i列的元索换成线性方程组的常数项而得到的行列式.证明：为证明2）式是线性方程配1）的解，只需把它代入方程组（I的每个方程，如果两端相等，则说明（2）确实是方程姐（1）的解.将（2）式代入方程组1的第i个方程组的左端,并注意把D,按照第i行展开得d/2+.2DDI）吟A+/P:+-*J=gk他A，+M+也4+”也4J+%（b,4+句/+,也A,+d4J+。*人+%4+
6、%A+.=如（认+44+-+4）+仄（/仆+认+”+“八）+-+“（“,儿+%仆+”,+。“7根据行列式按行展开定理和定理2,可以看出，上式左端方括号只有b1.的系数是D，而其他的bUkHi）的系数都是零.故得,1.D-DmDD这说明（2式是方程组1的解.再证解的唯一性.任给方程组的一个解：X=C1.M=C2.Xn=C.我们只要证明2.给行列式的第2,3.n列分别乘以CKCJ.,Cn后郎加到第一列，知到.a1.,ct+rt1.iCj+1.1.1.atiu,1c,+,2c2+-,11c11a22a2n根据（4式，得=Mbx%瓦22因D0,所以C1.=M,q,仁=果,这样.我们证明了（1）的任一解
7、都是（2）.所以（1的解是唯一的.2.消元解法上面已经了耨/解线性方程组的克拉默法则,但是使用克拉默法则是条件的,它要求线性方程组中方程的个数与未知家的个数相等，而且系数行列式不为宓.可是在很多同理中.我们所遇到的线性方程组并不都是这样的.行时方程的个数!U与未知出的个数相等,但系数行列式等于零；有时共至于方程的个数与未知业的个数都不相等，这时就无行列式可言了.那么对于一般的战性方程如，究竟该如何求解呢？定理3设线性方程组的（D和（II）的增广矩阵分别为A和B.如果A可经过初等变换变为B那么线性方程组和（In是同解方程组.定理4（线性方程If1.有解的判定定理I线性方程组a1.1.,v1+1,
8、x,+.+1.1.1.xrt=1.,czixi+a21x2+.+a2jaxn=b2.可丙+为20+K=,有解的充分必要条件是系数矩阵A和增广矩阵B有相同的秩，即秩A=秩B.当秩A=秩B=n时.方程组5）行唯一解：当秩A=秩BVn时.（5）有无穷多个解.其中awaM4a12%4、A=f1.21.%,B=a2a22aiaanm证明：利用线性变换和第一种列初等变换将方程组5）的系数矩阵AH1.增广矩阵B变为如下的矩阵,其中r为A的秩.r0.0c.1C”,0.0CgGM40I.0C2.EJ,01.0%,1.J.D=00.IC,.21.CEd,00.00.000.000d八10000OJ1.00-00.
9、0J所以D所对应的戏性方程殂为：%+CgX%+c=4“+C27+%=W4+J/+“+%=4,(6)。=%,0=4.由于初等变换不改变矩阵的秩,口根据定埋3同解方程的充要条件，所以有（5）和（6）是同解方程组.所以讨论(5)的求解问题就归结为讨论的求解何起.下面我们分情况讨论(5)是否是有解及有解时该如何求解的何典.情况hrmt且&不全为零.不妨设妨T不等于0,此时出现O=M1.矛盾，所以方程组(6)无解.因此方程组(5)也无解情况2：r=m戌虽然m但4”.全为期.这时方程组,+1.x1,+cn.=这时又有两种情形：（八）当r=n时.方程组(7)为所以此时方程组(7)有唯一解(8),因此方程组(
10、5)仃唯解：%=4，%=W，%=4，(b)当rn时，把方程组(7)改写为如卜方程组：%=4,“1%，%=4%”内,“c21.r.Xq=da、CrwX.于是,让未知匏%，,，儿取任意TH数勺.小，就可得到的解:X(I=4-Gc及“C1.人，Z=4F”儿人，当然(9也是(5)的一个解.反过来,由干(5)与(7)是同解方程组,所以5的任意一个解都必须湎足(7),从而具有(9)的形式,由于人人.,内可以任意选取，所以用上述Zf法可以求出(5)的无穷多解.根据以上讨论,我们可以由情况1和情况(2的讨论可知,或者r=m.或者rvm.但4,T=/=O.方程组(5有解，在这两种情况下都有，秩D=r,所以秩A=
11、扶C.反过来，设秋A=秋C,那么秩D=r,由此即得r=m或者rm但4r.=,.K=0.因而由前面的情况2的讨论呻知，方程组(5)右裤.由情况2（八）知，当秩A=秩C=n,方程组有唯一,解.由情况2(b)知，当秩A=秩Cn时,方程组有唯一解.三、解复杂的线性方程组1 .直接法直接法就是经过有限步数学计算即可求得方程组的精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差).但实际运算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只可求得线性方程组的近似解.下面将闺述这类算法中的最基本的GaUSS消去法及其某些变形,这类是斛低阶瞬密矩阵的有效方法.定理5(矩阵的HJ分解)E设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式Dji=1.
12、2,n),则A可以分解为一个单位下三角阵1.和一个上三角阵U的乘积，且这种分解是唯一的(1) Gauss滴去法设有线性方程组auX+1q+%=A勺x+不等于0.首先设行计数乘数mi1.三ai1.1=-m,f1.A,2,=0,-m.1Z1.,用-m*乘式Ak*x=泗的第k个方程加卜.第i(i=k+1.,n)个方程,消去第k+1.个方程直到第n个方程的未知数xu.得到与式(10)等价的方程组Aa”X=心F.AMD元素的计算公式为:(A*I)(/,y=+,M)=%-SM/b.”=b，_wU然A,“”的第一行直到第k行Ag相同.维续这一过程,也到完成第n-1次消元.最后得到与原方程等价的三角方程组Ax
13、=b叫(13)上述过程称为消元过程.求解线性方程组(11).设4不等于06=1.2.,n-1).易得求解公式x.=b：”,-V4=(V,-%)*,=11-,z,-2-2,)上式的求解过程称为回代过程1.c1.()(2版IpJ+同0由系数矩阵A的特点，可以将A分解为两个三角阵的乘积，WA=1.U.其中1.为下三角矩阵，U为上三角矩阵.下面说明这种分解是可能的.设其中,.i.片为待定未知知.比较上式两端褥b=Y1.,Z1.c1.0,0、=c1.1.bs,t071.0,(=1.,Z,w),0I从而可以由15)式求得K证明；式15)对于i=1.是成立的,现设15对i1.成立，求证对i亦成立.由归纳假设
14、01I-E1.k1.0也就是oMznPJ/丫、-y2Tyn.yt1.的过程称为追的过程，将计算方程例的解X1.1.n,1.Tx?x的过程称为赶的过程.追赶法公式实际上就是把GaUSS消去法用到求解三对角方程组上去的结果.2.迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步遇近找性方程组将确解的方法.迭代法具有存储单较较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变的优点但存在收敛性及收敛速度方面的问题.迭代法是解大型票数矩阵方程组(尤其是由做分方程而敬后得到的大型方程组)的重要方法.下面招介绍迭代法的一些基本理论及JaCobi迭代法.Gauss-Seide1.迭代法、超松地迭代法(SOR).定理6(迭
15、代法基本原理)1,设有方程的X=Bx+*对于任意初始向反任意f.解此方程的迭代解法(H1.JXg=Bx+f)收敛的充要条件是P(BM1.(I)Jacobi迭微设有方程组ZaVX/=24i=1.,2记作Ax=b(16)A为非奇异矩阵且刖不等于OQ=1.2.3.n).将A分裂为A=D-1.-U.其中f1.Ha22021、0。0f1.B-。23f1.ZnD=a”.1.=-U分20%M=-1。将式(16)第i(i=1.,2,n)个方程式用“去除再移顶,得到等价方程组17)I1xi=他一Z%*),(i=12简记为X=BOX匕其中Bo=I-D1.A三D,(1.Uf=D1.b对于方程组17)应用迭代法，得到
16、(16)的Jacobi迭代公式(18)x1.0,=(,0,.,.0,)rkg=_!_他-广厂共中XS=(M为第欹迭代向量设Xg已经算出，由式(18)可计算下一次迭代向埴小川初始向其中为Jae遍访法迭阵0然迭代公式的定阵形式为tj,.2)Gauss-Seide1.迭代法由Jacobi方法迭代公式可知，迭代的每一步计算过程，都是用XM的全部分改来计算”F的所有分量,显然在计算第i个分量X产哂,已经计算出X尸S.Xdk则没有被利用,从直观上来看，最新计算出来的分所可能要比旧的分量要好一些.因此.对这些最新计算出来的第k+1次近似i川加以利用，就会得到所谓解的GaussSeideI迭代法*=但叫占，*
17、初始向量)XjTi=-(-i1-aii.t.(X:=0.1.2,.n)%；-1./-*1.或写成铲)“伏=OJ2,.-=12.,m.ZJ他-，川-俣？aii上面第二个式子利用了最新计IZ出来的变成X产”,第i个式子利用了计算出来的最新分量Xjnf写成矩阵形式DE)=b+1.xtk*,1+Ux*,(D-1.)X1.Zf+Uxk.若设(D-1.尸存在,则XcE=(D-1.),Uxk,+(D-1.),b于是Gauss-Scidc1.迭代公式的矩阵形式为Xef=Gx*+f,其中G=(D-1.尸U,f=(D-1.)1b(3)逐次超松级代解法逐次超松弛迭代法是Gauss-SiMdcI方法的一种加逑方法，足
18、解大型系数矩阵方程组的有效方法之一,它具有计算公式简单程序设计简单，占用计算机内存较少等优点,但需要选择好的加速因子(即最佳松弛因子.设有方程方AX=b(19).其中AwT为非奇异矩阵,且瓯不等于O(i=12.,n),分解A为A=D-1.-U设己知第k次迭代向Xef的分最xj1.,(j=.2.,i1.),要求计算分址x1.首先用GaUSS-Sekk1.迭代法定义辅助班(20)：J7=_!_他一Xj-一fgj.(j=1.2.,/-I*r*再把X1.取为XW与某一个平均值(即加权平均，得到(21)铲)=(1-Qi)Xy+x=Xy+-)用(20)式代入(21)式.就得到解方程组AX=b的逐次超松弛迭
19、代公式(22)8=X,+他一Z“内-Xvj显然，3=1时，解式(19)的SoR方法就是GaUSS-SeideI迭代法，1时，称式(22)为超松弛法.四、解线性方程组的MAT1.AB命令HM1.AB求解i性方程组；AX=B或XA=B1.在IiAT1.AB中，求解线性方程的时，主要采用除法运算符“/”和“.如：X=AB表示求斑阵方程AX=B的解A.B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv（八）B;X=BZA表示矩阵方程XA=B的解，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就B*inv（八）对方程组X=AB,要求A和B用相同的行数,X和B有相同的列数.它的行数等于矩阵A的列数,方程X=BA同理.2.如果
20、矩阵A不是方阵，其罐数是InXn,m=n,恰定方程，求解精确解；mn,超定方程,寻求最小二乘解：m利用矩阵求逆解法，即x=Ab;(3)利用GaUSS消去法：(4)利用1.U法求解.般来说，对维数不离，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大.前三种解法的真正意义是在其理论匕而不是实际的数值计算.她T1.AB中,出于对算法稔定性的考虑.行列式及逆的计算大都在1.1分解的基础上进行.在MAT1.AB中，求解这类方程组的命令十分简单，I1.接采用表达式：x=Ab.在MAT1.AB的指令斛铎等在确认变埴A非奇异后，就对它进行1.U分解，井呆终给出解x：若矩阵A的条件数很大.MAT1.AB会提蜴
21、用户注意所得解的可靠性.如果矩阵A是奇异的，则AX=b的解不存在，或者存在但不唯一：如果矩阵R接近奇异时，MAT1.AB将给出警告信息:如果发现A是奇异的，则诗算结果为inf,并且给出警告信息：如果矩阵A是病态矩阵.也会给出警告信息.注意：在求解方程时，不要用inv（八）*b命令,而应采用Ab的解法.因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵R的维数比较大时,另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A也能给出蜃小二旅解.(2)超定方程姐对于方程为Ax=b,A为nX矩阵,如果R列满秩,且nM则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合.对于超定方程
22、,在3TIAB中，利用左除命令(x=Ab)来寻求它的最小二乘好:还可以用广义逆来求,即X=PinY（八）.所褥的解不一定满足Ax=b,X只是最小：乘意义上的解,左除的方法是建立在奇异值分解明础之上,由此获得的解最可靠：广义逆法是建立在对原超定方程比接进行househo1.der变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇弁值求解，但速度较快：五、应用1.炼油厂模型某石油公司有5个炼油厂，每个煤油厂都生产5种石油产M：汽油、柴油、煤油、机油、液态石油气,已知从1桶原油中,第一个工厂生产出的汽油、柴油、煤油、机油、液态石油气分别是30、24、18、12、91.：第二、三、四、五个工厂从1桶原油中生产的这五种
23、油分别是28.25、20,10、9：31、23、19,Ik10；29、22、17,13,8：27、26、20,13,101.现在需要1046201.汽油,880K)1.柴油.6866O1.煤油.4324O1.机油,3369O1.液态石油气.本着节约资源与提高效益的原则，问给这5个工厂各安排多少桶原油来生产恰好满足这一衙要？解：设分给5个煤油厂的潦油桶数分别为X1.2,.X4,X5根据麴意我们可以得到以下方程组：30x+28.r2+31.x,+29.v4+27KS=104620,24司+25x,+23xx+22M+26.rs=88010,.D5=IOfWXXX).所以X=8(X),X,=650,
24、.r,=6(X).x1.=580.=I(KX)1 DDD4D-D即给第一、二、三、四、五个工厂分别安排8(X).650.600.580.1000桶原油生产正好满足需要.用MAT1.AB实现如卜：A=30,28,31,29,27.24,25,23,22,26:18,20,1113,13:9.9.0,8,10)30283129272425232226182011B13990810t.=E1U4H2U.MHU1u；emaau.anzau.aayuIb=1。Q62。HKU1.U686604324033690WUU.UUUUSO.OOOOoo.0000SRn.nnnn1000.OOOO2.游船问题某公园
25、在湖的周国设有甲、乙、丙三个游船出租点，游客可以在任意一处租船，也可以在任感处还船.工作人员估计租船和还船的情况如下表示;还船处甲乙丙借船处甲乙0.80.20.2OO0.8丙0.20.20.6即从甲处租的船中有80%的在甲处还船.有20%的在乙处还船,等等.为了讷客的安全.公村同时要建立一个游船难修站.何游维修检修站建在那个点最好？显然，游船检修站应该修在拥有船只最多的那个出租点,但是，由于租船和还船的附机性,今火拥有船只最多的出租点不一定以后也经常拥有搬多的阴只.因此我们希望知道经过长时间的经营以后拥有脂只最多的那个出租点.我们假定公园里的船只携本上辩大都被人租用，设经过长时间的经苜，甲、乙
26、、丙处分别有X1.X2.X3只船，则XhX2.X3应该满足以下的要求：0.8x1.+0.2.v,+0.2.v=.r,0.2x1.+0.2.q=x2,0.2x2+0.6Xj=G整理可得，-0.2xi+0.2.v,+0.2x=0.a*wrar三IO“srmIOymk1M-U1CM三Z211Z2*c1由此不难看出,游船检修站应设在拥有船只最多的甲处最为合适六.总结本文的主要内容就足以行列式、矩阵为工具讨论一些简单的线性方程组解的存在性、求解方法、解的结构以及应用.经过深入的学习我们发现一些方程组的系数矩阵大多比较复杂，我们利用高等代数中的解法并不能得到它的解，就试图用数例分析中的直接法中的爆施本的G
27、auss消去法及其某些变形和迭代法的一些基本理论及JaCObi迭代法、GinJSS-Seide1.迭代法、超松弛迭代法，以及及小二乘法，并试图应用简单的数学类忱件如耿T1.AB来实现求解.在实际学习和解决问SS时，我们会发现很多问题以后的求解过程都是求斛战性方程组，因此学习级性方程姐对大学生具有重要意义.参考文献1北京大学数学系.裔等代数M,北京：高等教育出版社，1988.2张禾瑞.林1新.高等代数（第四版）M.北京：高等教育出版社,1999.3J丘维声.高等代数MJ,北京：高等教育出版社，1996.4许绍元，赵礼峰.高等师范院校数学教学改革的研究与实践J.淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）,
28、2（2004）,64-68.5J许绍元，陈亮.实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会J淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）,2（2003）.53-56.6赵树廷线性代数（第三版WD.北京：中国人民大学出版社，2006.7史明仁,线性代数600证明题详解明.北京:北京科学技术出版社，1985.8箫永震等.空间例析几何解遨指导M天津:天津科学技术出版社,I的0.9陈辉,李文宇,张传芳数值计算方法哈尔滋哈尔滨工业大学出版社,2009.10李庆扬，易大义，王能超.现代数值分析.北京高等教自出版社，1995.11刘春风,何亚丽,应用数值分析北京冶金工业出版社2005.指导教帅崎评语说明：I.成绩评定均采用五被分制.即优、良、中、及格、不及做2.评语内容包括：学术价位、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误写.
