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1、第2章弹性力学根底内容提要：本地主要介绍弹性力学的根本概念.主要包括应力、应变的定义和性廉应力平询方程、几何方程和物理方程,并对弹性力学问题的根本求解方法进行简介。为了便于对机械结构白限元计算结果能够很好地分析评价,本章还介绍了结构强度与失效的根本理论.有关能出法的简单知识是后续有限元法的理要理论根底.教学要求：学习掌握府力、应变根本概念和主要性质,掌握弹性力学根本方程、府力边界条件、协调方程等r解弹性力学平面问题的应力函数法.掌旌结构强度失效准那么中的等效应力理论等内容.了解能a：法的根本思想.2.1 引言用性力学(EESIiCTheOry)作为一门根底技术学科，是近代工程技术的必要根底之一
2、。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用新弹性力学的根本公式和结论.弹性力学与材料力学(FCUndamCnta1.StrengthsCfMaICri的在斫究内容和根本任务方面,是根本相同的，研究对象也是近似的，但是：者的研究方法却有较大的差玮。弹性力学和材料力学研究问题的方法都拈从好力学、儿何学、物现学三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件,分析这类构件在拉压、我切、弯曲、扭转等几类典型外栽荷作用下的应力和位移.在材料力学中，除了从静力学、几何学、物埋学三方面进行分析外,为了简化推导，还引用了一些关于构件的形
3、变状态或应力分布的其定(如平面被面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等等)。杆件横做面的变形可以根据平面假设确定，因此媒合分析的结果，即问题求解的根本方程，是常微分方程。对于常微分方程.数学求解是没有困难的.而在弹性力学里研究杆状构件一般都不必引用承些检定,所以具解答要比材料力学里得出的解答精确得多.当然.弹性力学在研究桢壳等一些亚杂问胭时,也引用了一些有关形变状态或应力分布的假定来简化其数学推V。但是由于弹性力学除研究杆状构件之外，还研究板、壳、块,甚至是三维物体等,因此问题分析只能从微分单元体入手，以分析单元体的平衡、变形和府力应变关系.因此问题统合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方
4、程.也就是说何题的根本方程是偏激分方程的边值问虺.从理论上讲，弹性力学能好决一切弹性体的应力和应变问即.但在工程实际中，般构件的形状、受力状态、边界条件都比拟发杂，所以除少数的典型向SS外，对大多数工程实际问题，往往都无法用抨性力学的根本方程直接进行斛析求解，有或只能通过数值计总方法来求得其近似解弹性力学的研咒方法决定了它是一门根底理论课程，把弹性力学的理论直接用于分析工程问题具有很大的困潍。原因主要在于它的根本方程一一儡微分方程边俏同网求解的困班。由于经典的解析方法很雄用于工程何件分析，因此探讨近似解法是用性力学开展中的特色.近似求解方法，如差分法和变分法等,特别是随着计算机的广泛附用而开展
5、的有限单元法,为弹性力学的开展和解决工程实际何题开辟了广阔的前景.本章主要介绍弹性力学根本概念、用解析法求解简单弹性力学问题的根底知识，主要包括弹性力学根本方程、边界条件表达式等.掌握这映弹性力学的根底知识对后续有限单元法的学习非常重要，此外,为了更好地理解机械结构有限元分析的根本原理以及将来对分析结果更好地评价和理解.还介绍了机械结构强度失效准那么、结构分析中的能琉法等方面的根本内容.作为固体力学(SO1.idMeChaniCS)学科的一个分支，弹性力学的根本任务是针对各种具体情况，确定用性体内应力与应变的分布规律，也就是说，当舛性体的形状、勃理性侦、受力怡况和边界条件时，确定其任一点的应力
6、、应变状态和位移.弹性力学的研究对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系即符合庞克定律.所谓理想弹性体是指符合下述假设的物体.连续性假定.也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满,不存在任何空隙.尽管，切物体都是由激小粒子组成的，并不能符合这一假定，但是只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的用离都比物体的尺寸小得很多,那么对于物体的连续性假定,就不会引起显著的i吴)“有了这一假定，物体内的一些物理量(如应力、应变、位移等等)才可能是连续的.闪而才可能用坐标的连续函数来表示它们的变化班律.完全弹性假定。这是假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比.反映这一比例关系的常数
7、，就是所谓的弹性常数.弹性常数不随应力比应变的大小和符号而变。由材料力学：脆性材料的物体.在应力未超过比例极限前,可以认为是近似的完全弹性体：而韧性材料的物体,在应力未到达屈服极限的，也可以认为是近似的完全弹性体.这个假定.使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加软的历史和想我顺序无关，均匀性假定。也就是假定整个物体是由同一材料祖成的。这样，整个物体的所有各局部才具有相同的弹性.因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意-小局部未加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体.如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的预粒远远小于
8、物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。“)各向同性假定。这是假定物体的弹性在所有各方向上都是相同的.也就是说，物体的弹性常数不随方向而变化。对于非晶体材料是完全符合这一核定的.而由木材、竹材等作成的构件就不旎当作各向同性体来研究.至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体,但由于晶体非常微小，并且是随机界列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性根本上是各向同性的。(5)小位移和小变形的假定。在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。为了保证研究的问题限定在线性范用,还需要作出小位移和小变形的假定.这就是说,要假定物体受力以后,物体所有各点的位移都远远小
9、于物体胤来的尺寸，并且其应变和转角都小于1.所以，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的尺寸来代秒变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次寨或其乘枳都可以略去不计,对于工程实际中的问即，如果不能满足这一假定的要求,一般需要采用其他理论来进行分析求耨(如大变形理论等).上述假定都是为了研究问咫的方便，根据研究对象的性质结合求解问区的范围而作出的.这样可以略去一些钝不考虑的因素，使得问胭的求解成为可能.弹性力学问电的求解方法按求豺方式上可以分为两类：解析方法和数僦算法”解析方法是通过弹性力学的根本方程和边界条件、用纯数学的方法进行求解.但是在实
10、际问遨中能鲂用解析方法进行精确求解的弹性力学问理只是很少一局部.现在工程实际中广泛采用的是救他的方法，如有限单元法.2.2 弹性力学的几个根本概念外力与内力1 外力(1.Oad)作用-物体的外力通常UJ分为两类，即面力(SUrfaCeFonx)和体力(BOdyFOree)，面力是指分.布在勒体外表卜.的外力.包括分布力(DiStribUtCdFOrCC)和集中(ConcentratedFOrCC),如的力容器所受到的内压、水境所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等,通常情况下，面力是物体外发各点的位置坐标的函数。在物体外衣P点处取一微小面枳4S,假设其上作用有外表力4尸，那么尸点所受的外
11、表力定义为Q1.蚂第2,)体力(BodyFOKC)一般是指分布在物体体积内的外力,作用于弹性体内每一个体枳单元.通常与物体的质吊成正比、且是在质点位置的函数，如iR力、惯性力、破场力等，作用在物体内P点上的体力，UJ按面力定义方式进行定义，即在P点处取一微小体杉!匕假定其上作用有体力Hr那么P点所受的体力可定义为(2.2)Hm空-V2 内力(IntenM1.fOrCe)物体在外力作用下，其内部将产生抵抗变形的“附加内力”，简称内力,假设假想用一势过物体内P点的搬面切将物体分为两局部八和8,并移去其中的一局部从我们知道，当一个物体在外力作用下处于平衡状态时.物体各局部都应保持平衡.显然.在截面，
12、”上必定有某种力存在,这种力就称为内力，实际上也就是物体内部的相互作用力，如图2-1所示，在裁面，加上应该彳f移去的虚税局郃B对4用部作用的内力。应力的概念所谓一点处某个截面上的应力(StrCSS)就b.,K2.1物体内任直点处的直力是指该搬面上的“附加内力”，即内力在该点处的集度。如图2.1所示.一点P处在旅面”切上，在该点处取一微小面积AA,线设作用于4上的内力为AG,那么T=Iim(2.3)40AA7就是尸点处的应力。通常.将应力沿截面”的法向和切向进行分斜，相应的分量就是IE应力和剪应力人.它们满足IIf=W+d(2.4)在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力(IE应力。和剪应力)是
13、不同的，只有同时给出过该点截面的外法向方向,才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向.H2.2微小正方体元If的亶力状Jt在弹性力学中，为了描述弹性体内任一点P的应力状态，可能从弹性体的连续性假定出发，整个弹性体可以看作是由无数个微小正方体元索祖成的。在该点处切取一微小正方体，正方体的技战与坐标轴平行,如图2.2所示.正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个而上的应力挪用，.个应力分量来表示.由于物体内各点的内力都是平衡的,作用在正方体相对两面上的应力分联大小相等、方向相反，这样，用9个应力分啾写成矩阵的形式来表示正方体各面上的应力，即GG7r%=.V*%3其中
14、,正应力下标表示作用面和作用方向：.是剪应力,第一下标表示与截而外法线方向相致的坐标轴，第二下标表示剪应力的方向。应力分属的符号规定：假设应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，那么该面上的应力分信就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负,相反，如果应力作用面的外法戌是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分相就以沿坐标轴的负方向为正，沿出标轴的正方向为负。根据材料力学的根本极念(下一节中也将迸一步证明)，从图2.2中澈小正方体的平衡条件(力矩平衡方程)出发，作用在正方体各面上的剪应力存在着互等关系：作用在两个互相事内的面上并且垂白:于该两面交线的剪应力是互等的,不仅大小相等而且正负号
15、也相同,即Gy=T.rn=ra,ryz=ff(2.6)这就是所谓的剪应力互等定理.应变的概念物体在外力作刖下其形状要发生改变,变形指的就是这种物体形状的变化,这种形状的改变不管多么复杂，对于其中的某一个单元体来说,只包括梭边氏度的改变和各核边的央用的改变两类.因此，为了考察物体内某一点处的应变(S1.rain),同样可在该点处从物体内截取单元体，研究其校边长度和各校边夹角之间的变化情况.对于微分单元体的变形.将分为两局部讨论：极边长度的伸长(或缩短)量,即正应变(或线应变.1.inearStrain),以及两棱边间夹角的改变艮(用弧度灰示)，即典应变(或角成交,ShearStrain).图2.
16、3是对这两种应变的几何描述，在彳H个图例中单元体的初始位汽和变形后的位置分别由实践和虚设表示.物体变脖时，物体内一点处产生的应变，与该点的和时位移有关。图2.3表示在变形照后的单元体在X2，而上的投影.图中表示了单元体的应变和刚体状动与位移导数的关系.在小应变情况下(位移导数远小于I的情况),位移分房与应变分居之间的关系(变形几何方程).在图2.3（八）中,单元体在X方向上有一个M的伸Iifi1.低分单元体校边的相对变化后就是正应变.翼设表示X轴方向的正应变，那么（八）(b)c)R23单元体Jfi交的几何描述(aU方向的统应变.Z轴方向的线应变.外,.兀：和九；那么分别代表了KK广和X二面上的
17、河应变。与直.角应力分量类似，上边的六个应变分蚕也被称为百角应变分量，这六个应变分量还可以以电阵形式表示,即八%九：%=Y,.,%(2.11)Yu%J线应变和四应变7都是无年纲的m，y的单位是rad(蛆度)。除了上面介绍的两种应变，另外还有一抑应变一一体枳应变(VOIUmeStarin),体枳应变是指微分单元体积的相对变化.2.3应力分析应力是弹性力学理论中的一个重要概念。应力分析主要包括：一点的应力状态，主应力(Princip1.estress),柯西应力公式(Cauchystressformu1.a).利用该公式确定功力边界条件,建立应力分At与体枳力分量之间的关系式,RP应力平衡微分方程
18、(DifYCrCIHia1.equationsofequi1.ibriumofstresses).一点的应力状态一般地,弹性体内各点的应力状态都是不同的.被定弹性体内任一点P的六个应力分量K、%、6、1,按下述方法可以求得经过。点的任一斜面上的应力，如图2.4所示，在P点附近取一平面AHC与给定斜面平行,且该平面与经过P点而垂直于坐标轴的三个平面形成一个微小四面体PABC.当平面A8C无限接近于户点时，平面ABe上的应力就无限接近于斜面上的应力.E2.4一点的威力状右设平面AbC的外法战为N,而N的方向余弦为CoS(MX)=如，es(My)=”cos(r,2)=ns(2.12)可见，如果把平面
19、A8C的外法城N作为变换后的任一坐标釉,那么上面方向余弦对应变换地阵的一行。用应力变换的方法可快速求得平面A8C上的正应力GI.5%G=n,+nj,+n,+2n,n.r,+2n.n.r.,.+2n.n,.,AyffT-*A来用静力平衡推导的方法求平面八8C上的全应力北、正应力和剪应力Q.盘设三角形AHC的而枳为JA.承么三角形X、PBC、加8的面枳分别为%44、n,.&JA.令7二、Te7分别为三胸形A8C上的全应力在坐标轴上的投影.由平衡条件EE=O.得TrtM-n-rvn,-r.=()(2.14)这里没有考虑体枳力,因为当平面ABC趋近于P点时,四面体的体枳与各面的外表积相I匕足高阶的微f
20、ib可以忽略不计.同理，由平衡条件EF,=O和EA=O得到另外两个相似的方程，整理得Tu=n,+njv,+n,r.t0=,入+4+；%(2.15)以上方程称为何西应力公式(Cauchy1sstressformu1.a),它描述了弛性体内任一点。的6个应力分琏与通过P点任一平面上的应力之间的关系.由上述公式容易求出平面ABC上的企应力T为(2.16),=:+二+%=击0,+,j,+：r*J+kr+、。，+：口：)+(4.+11,r+：。：(2.17)平面ABC上的正应力区那么可通过投影求得=/,+/,+/.+211j,i+2j.7j.1.+2n.fitr1.fJ/旦有“依一反可见，在弹性体的任意
21、一点处,只要该点的六个应力分埴，就UJ求得过该点任一斜面上的正应力和典府力.也就是说六个应力分盘完全确定了一点的应力状态.主应力UJ以证明，在过一点的所有豉面中，存在着三个互相垂食的特殊故面.在这三个械面上没有典应力，而仅有正应力.这种没疔剪应力存在的被面称为过该点的主平面,主平而上的正应力称为该点的主应力，主应力的方向总是与主平面的法线方向平行，称为该点应力的主方向.设-主平面方向余花为小,“,，：，因为在主平面上没有剪应力，可用代去该主平面上的全应力，那么全应力在HW轴的投影Ur表示为Tn,r,.Tn.T(2.19)由柯西应力公式得几=叽=b*+rr+%yT=n=rw,+,n,+n.(2.
22、20)J-JJffXW=,j1.+rn+a:n:整理得(,-)1,+r,vjv+r1=0rtynt+(j-)ny+y.n.=0(2.21)r,.n,+r,7,+(.-)t.=0JJJz因为：+；+“；=I,即n,nr,ni不全为0。上述方程级中4,.：有非平凡解的条件是其系数矩阵的行列为。即=0(2.22),.w(。：-6将此行列式展开，得到一个关于应力的一元三次方程i-(,+f+2(,+,r1,-%-k;+2r,3-CE-年力=。可以证明，该方程有三个实根6.6,6,这三个根就是尸点处的一:个主应力.将主应力分别代入(2.20),并结合(2.21)式便可分别求出各主应力方向的方向余修。还可以
23、证明,三个主方向是相互垂宜的.方程式42,23)中，Ie的系数以及常数项可表示为1.t=(r.+,+r(2.24)4J2J3定义为第一,第二,第三应力不变为。方程(2.23)可表示为-,+,-1=0(2.27)平衡微分方程一般情况下物体内不同的点相有不同的应力.这就是说.各点的应力分玳都是点的位置坐标(工F.2)的函数而且在一般情况下，描是坐标的单值连续函数.当弹性体在外力作用下保持平衡时，可里据平衡条件来导出应力分量与体积力分吊之间的关系式，即平衡澈分方程，B2.5微小单元体的Jfi力平If假定有一物体在外力作用下而处于平衡状态,由于整个物体处于平衡,其内各局部也都处于平衡状态，为导出平衡微
24、分方程，我们从中取出一微小正六面体进行研究，其梭边尺寸分别为、修、山，如图24所示。为济处起见，图中仅画出了在X方向有投影的应力分埴。需要注意的是，两时应面上的应力分*,由于其坐标位置不同，而存在一个应力增量。例如，在4O。面上作用有正应力6,那么由于BBCC面与AADD面在X坐标方向上相差了dx.由泰物汲数,并舍弃高阶项，可导出BBcC面上的正应力应表示为冬dr其余情况可类推.dydz-jdyd:dzpZw/v-rztdxdy+Xdxdydz=0整理得由于所取的六面体是微小的,其各而上所受的应力可以认为是均匀分布的,且作用在各面的中心.另外,假设微小六面体上除应力之外,还作用布体积力，那么也
25、假定体积力是均匀分布的，且作用在微元体的体积中心。这样，在X方向上，根据平衡方程=0,有(2.29)同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程。即-1.tz-1.+X=exycz-2-+2-+r=0（2.30）xy为立1.aue.xySz上述这组做分关系是弹性力学中的根本关系之一.凡处于平衡状态的物体.其应力分量函数都应满足这个方程。再列出三个力矩方程。在将各面上的应力分量全部写出后,首先列出2例“=0得tdvdz-(+/M：S+(rrv+-dxddzdx“2(be2x,.,2,dxdx(3ay)dxaz-ydxd2-(rv4、dxdzciy+(r.v+-dz)dxdy-dxd-(rw+:d心B(
26、2.31)dy+r.1.r-y=0展开这个式子.略去四阶微fit整理后得到用同样的方法列出另外两个力矩平衡方程Z，W“=0.Mu=0,这样将得到任意一点处应力分俄的另一组关系式(232)这个结果说明任意一点处的六个剪应力分业成对相等，HP所谓的剪应力互等定理，由此可知，前节所说的一点的九个应力分量中，独立的只有六个。对于处于运动状态的物体.只要加上惯性力，也可用列平衡方程的方法来得到运动方程.这时.所得方程的形式仍如式（2.30）-r,但在等式左边的最后一项中，应加布单位体积内的惯性力在响应方向的分IK例如，设心,箫，MQ工“，“仆分别表示一点在X,y,z方向的位移分最，它们都是点的坐标及时间
27、的函数。再用O表示物体的密度（单位体积的质地）,那么对图25的单元体，在三个坐标方向上应分别加上惯性力-/C。必出.-prdxddz.-p-dxdxdz.当考虑到这当惯性在tr力I属于体枳力）来列平衡方程时，得到也一犷a2CaM一，。夕边界条件假设物体在外力的作用下处于平衡状态.那么物体内部各点的应力分量必须满足前述的平衡微分方程（2.30）式。该方程是艇于各点的应力分价，以点的坐标由数为前提而导出的，现在，如果考察位于初体外表上的点，即边界点，显然,这些点的应力分量（代表由内部作用于这些点上的力)应当与作用在该点处的外力相平衡，这种边界点的平衡条件，称为用外表力表示的边界条件,也称为应力边界
28、条件.在应力边界何趣中.可以建立而力分出与应力分敢之间的关系.弹性体边界上的点同样满足柯西应力公式设弹性体I:一点面力为7、达，.南柯西应力公式有歹=3,+”,C,+:%(2.34)Z=Mtrr+jvr11+M1s上式既为物体应力边界条件的表达式。但是,如果我们用S表示整个弹性体的外表枳，那么往往只在其中一局部面枳S,上给定了外力，而另局部面枳属于S.上那么给定的是位移。当然，S=SjS-例如一根亮，形截面的悬普梁,固定皓这一局部面积属于S1,局部，它的卷定了位移，而未给定外力：其余五个面都属于Str局部，它们的外力已给定(包括外力等于零).根据上面的推导方法,显然.在Str局部的各点都应满足
29、外表力表示的边界条件(2.34),但与此【司时，在S,局部上的各点还应满足用位移我示的边界条件，也即几何边界条件.现设Z.V.1表示给定的S“上的点在x/二轴方向的位移,那么几何边界条件为在S1,上u=,v=v,W=W(2.35)应当注您，边界条件是求解弹性力学何题的IR要条件。它说明，应力分收困数不仅在物体内部的各点应满足平衡的微分方程(2.30),在SIr局部的边界点上还应满足边界条件(2.34),在S“局部的边界上，其位移还要满足几何边界条件(2.35)，否那么不能认为是该向应的解.这一点也正是弹性力学问题求蟀的困理之一。例2-1图2.6是1R力水坝截面，坐标轴是Ox和Oy.OB面上的面
30、力为F1=方,=0求OB面的应力边界条件.K16*/)*解：08面方向余弦为由河西公式有所以应力边界条件为巴=-rj.v=02.4应变分析应变分析是从材料变形的角度研究弹性体.包括几何方程(GemCtryequations),相容性条件等.几何方程：应变位移关系弹性体受到外力作用时,其形状和尺寸会发生变化即产生变形。在舛性力学中所考虑的几何学方面的问遨,实质上就是研究弹性体内各点的应变分屈与位移分属之间的关系.应变分歧与位移分量之间存在的关系式般称为几何方程，或叫做CaUChy几何方程,和6=是任JS一点在.Q和Z方向上的戏应变（正应变），儿,和：分别代表在y.yz和XJ平面上的剪应变.类似于
31、应力矩形分fit上面6个应变分量可定义为应变矩形分J.考察研究物体内任一点Pky,2）的变形，与研究物体的平衡状态一样，也是从物体内P点处取出一个正方微元体，其三个核边长分别为,、dy.dz,如图2.7所示.当物体受力变形时，不仅位元体的棱边长度会随之改变，各棱边间的夹角也要发生变化。为研究方便.可将微元体分别投影到。心。yz和mx三个坐标面上.如图2-8所示.在外力作用下，物体可能发生两种位移，一种是与位置改变彳I关的刚体位移，另一种是与形状改变2.7元体K2篇位移与应变有关的形变位移，在考虑物体的变形时，可以认为物体内各点的位移都是坐标的单值连续函数。在图2.8中，假设假设A点沿坐标方向的
32、位移分量为“、V,那么K点沿坐标方向的位移分出应分别为“+竹dx和v+dx.而。点的位移分量分别为+24及.据此,可以求得/G+察Iex小1(44(2.36)根据线应变（正应变）的定义,A8线段的正应变为(2.37)7K-B因前dx.故由上式可得：Tr-(1.+ffjf1.-(i+ffx)dr代入（236）式,得2%+6；(2.38)由于只是微小变形的情况,可于去上式中的影阶微J（即平方项）.这样,(2.39)当微元体趋于无限小时，即AB线段陷于无附小，A8线段的正应变就是。点沿X方向的正应变,用同样的方法考察AD线段，那么可得到P点沿方向的正应变耳啜(2.40)现在再来分析48和AC两设段之
33、间夹角（口角）的变化情况。在微小变形时，变形后八8践段的转现为atga式中OUF与I相比可以略去，故(2.41)(2.42)同理,A。城段的转业为(2.43)由此可见，A8和A。两线段之间夹角变形后的改变IM小）所为(2.44)把ABH1.A。两线段之间直用的改变家人称为/,点的用应变（或称剪应变），它由两局部组成.一局都是由y方向的位移引起的，而另一局部那么是由K方向位移引起的；并规定角度诚小时为正、地大时为负。至此.讨论了微元体在。外投影面上的变形情况.如果再进一步考察金元体在另外两个投影面上的变形情况，还可以得到。点沿其它方向的i应变和用应变。在三维空间中，变形体内部任意一点共有六个应变
34、分收，即&、0、&、得、为八人这六个应变分城完全确定了该点的应变状态,也就是说，假设这六个应变分量,就可以求得过该点任意方向的正应变及任意两垂直方向间的角应变.也可以求得过该点的任甑两观段之间的夹角的改变.可以证明,在形变状态下，物体内的任意一点也一定存在为三个相互垂直的主应变，对应的主应变方向所构成的三个口.角，在变形之后仍保持为JI角（即剪应变为零）。几何方程完整表示如M不雄百出.当物体的位移分量完全确定时,应变分歧就被完全确定.但反之.当附变分股完全确定时.位移分房却不完全被确定.这是因为.应变的产生是由于物体内点与点之间存在相时位移,而具有一定形变的刿体还可能产生不I可的刚体位移。例2
35、-2考虑位移区域s=1.i+3+（4+6）k01.求在只1.0.2）的应变分量是多少？=yi0=3wIO:iv=（4+6x:）x1.0包=0空=C=1.1.t102xavCX1.r2y00-导史XM三=Vii-=0=3y02=解：在(1.0.2)线应变为在(1。剪病变为相容性条件变形悔设方程也称变形连续方程，或叫相容方程.它是一组描述六个应变分M之间所存在的关系式.在弗性力学中,我们认为物体的材料是一个连续体它是由无数个点所构成，这些点充满了物体所占的空间.从物理意义上讲，物体在变形前是连续的,那么在变形后仍然是连续的.对于假定材料是连续分布且无裂隙的物体，其位移分奴应是单位连续的，即“、V、
36、卬是总做连续函数，这就是说，当物体发生形变时，物体内的每一点都有确定的位移,且同一点不可能有两个不同的位移：无限接近的相点点的位移之差是无限小的.故变形后仍为相邻点物体内不会因变形而产生空照.对于前面所讨论的六个应变分量，都是通过：.个维值连续函数对受标求倡导数来确定的，因而,这六个应变分妆并不是互不相关的，它们之间必然存在着一定的内在关系.我们可以设想把一个薄板划分成许多微元体，如图2.9(4)所示,如果六个应变分度之间没有关联,那么各做元体的变形便是相互独立的.从而,变形后的微元体之间”可能出现开裂和重迭现&这显然是与实际情况不相符的，如图2.9(b)、所示.要使物体变形后仍保持为连续，图
37、2.9(d)所示的情况.那么各做元体之间的变形必须相互协调，即各应变分城之间必须痛足一定的防调条件,（八）(b)(c)(1)B19怎结的恸轮六个应变分iZ间的关系可以分两配来讨论.由几何方程=%=&假设对(2.46)式的前两式分别对有1.也两式相加，得进行类似的推导可得到另外两个关系式.CVOUCV而八产加+成46)求二阶倡导数，并注意到位移分显是坐玩的笊位连续函数.=R=X1.伫)xxxyy；、卜(2.47)雪yxxyxH*等=呆伊+豹=(2.48)5y0xxy8yex)xcy对于几何方程的剪切应变与位移关系式分别对2、X、)求假导，得%=包+如也=型+也组=迎+电(2.49)zzyzxxx
38、zxyyxydydz先将后两式相加、减去第式,消去位移分盘原.得生+不一变=2察SO)xyzxy再求上式对Z的偏导,叩+t2=21.(2-51)同样可得到另外两个与上式相似的关系式。练上两组公式将得到应变分批之间的如下六个微分关系式,即变形协调方程上述方程从数学上保证了物体变形后仍保持为连续.各微元体之间的变形相互协调,即各应变分我之间满足一定的相容性协调条件.2.5 物理方程本节研究应力与应变关系的方程式.即物理方程(Physica1.equation).物理方程与材料特性有关.它描述材料抵抗变形的能力，也叫本构方程(ConStiuHiVCIaw).木构方程是物理现象的数学描述，是建立在实照
39、观察以及普丽自然原理之上，对物理现象进行准确的教学描述一般都十分爱杂疾至不可行，本构关系那么是对一般真实行为模式的一种近似。另外，本构方程只描述材料的行为而不是物体的行为，所以.它描述的是同一点的应力状态与它相应的应变状态之间的关系.2.5.1 广义虎克定律1广义虎克定律的f表达式和1.HmC系数在进行材料的简单拉伸实验时.从魔力“变关系曲线上可以发现,在材料到达屈服极限前,试件的轴向应力。正比于轴向应变质这个比例常数定义为畅氏模信R有如下友达式=E(2.53)在材料拉伸实验中还可发现，当试件被拉伸时，它的径向尺寸(如直径)将减少.当应力不超过屈服极限时，其径向应变与轴向应变的比俏也是帝.数，
40、定义为泊松比，实验证明，弹性体剪切应力与剪应变也成IE比关系，比例系数称之为剪切弹性模埴，用G表示.对于理想舛性体.可以设6个直角坐标的力分量与对应的应变分量成线性关系,如下式C、1112%“U1516晨%“21a22旬24a2b%y=与I“J2ayyrt.u二=D(2.54)“1142旬44心46Yiy1.a52%3%56?，：.61.62%a61.%6,匕，上式即为广义虎克定律的一般表达式.按照广义虎克定律,三个主应力名.6,气与三个主应变勺.Qq之间同样也是规性关系，以6为例1.=a1.+h2+这里的是常数.时于各向同性材料，/时主应变盯和q的影响应该是相同的，因此和C应该相等。因此，上
41、式关于的表达式可写成=a1.+b(2+ey)=(a-b)c1.+b(e1.+ei+ci)(2.56)式中，勺+仃+内即为体积应变小.假设符号用2表示，S力)用2v衣小，那么关于的方程可表示为1=+2ve1.(2.57a)相似胞，对于6,6可得到,=x+2vf,(2.57b),=+2v(2.57c)式中，2和V是两个常数，称为1.ame系数，2广义庞克定律的工S在工程上广义虎克定律常采用的表达式为它与下面的表达式等价%飞+二i，(%=MjFk”“瓦+)17i+瑞-2疝3对于剪应力和剪应变,线性的各向同性材料的剪应变与剪应力的关系是式中G剪切模量.与此类似.其它我应变与其相应的剪应力的关系为/,=
42、这样，一点的六个应力分量和六个应变分家之间的关系可以用如下矩掂阵形式来表示巴aC,c.%八、%八:Q%式中，Id弹性矩阵，它是一个行数矩阵，只与材料常数杨氏模旗E和泊松比有美。(2.59)(2.6Oa)2.60b)(2.60c)(2.(61)其表达式为(2.(62)IqI对I-JMP一11-2z称(1+aX1-2ju)000罚0000I2“2(1-/)000001-22(j)在式(2.61)的根底上，可以直接得到如下关系式6G.E(Iy)11NI-A1%(1.+“X1.-2”)000%0O0000对-2称、%，.(2.63)2(1-，)九丫-2八:2(i7)002(1-)用主应力分信发达的广义
43、虎克定律为=T-A(2+5)I1.，U2=T6-g+1)(2.64)31.ame系数与材料常数的关系由式(257a.b,C)可以褥到(2.65)t+2+,(3+2v)代入式(2.57a1并整理得(2.66)对照式(2.64)的第式可以得到(2.67)(2.68)r,v(i+2v)E=;/=-+v2(2+)由式(2.67)解得E2(1+)由此得出，1.ame系数1，等于咧切辨性模htG即(2.69)2.5.2 用位移表达的平衡微分方程应力分析中推导出的平衡激分方程是描述弹性体内某一点6个宜角应力分量与体积力分量之间的关系.本节研究的物理方程那么描述了应力和应变之间的关系，综合这两组根本方程，可以推导出用应变衣示的平衡做分方程,更进一步，再考虑描述应变与位移关系的几何方程，可以推导出用位移表示的平衡微分方程.即位移平衡微分方程.具体如下.由E=O推9出的平衡微分方程为Sxyz对于各向同性的材料，有巴=/A+2,r,=Gyf=G1.t(2.71)将式(2.71)代入式(2.70),变为义生+乂2邑+%+%)=。(2.72)xxyz再用几何方程”=学,7“=等+=等+”进行进一步替换,得到exyxa
