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1、五年线奥数卜册：第i讲不规则图形面积的计算（一）第一讲不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：名称图形周长公式面积公式长方形周长=2(a+b)面积=ab正方形周长=仙面枳=a三角形周长二a+b+c面积ft平行四边形zb周长=2G+b)面积=ah梯形*E周长=a+b+c+d面积=2(a+bh嬖形与周长=4a面积=2C-BD硼周长=2r积=玉一扇形B周长=2r+弧长实际何胭中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面枳及周长
2、无法应用公式直接计兑.一般我们称这样的图形为不规则图形.那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决To例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12座米.求阴影部分的面积。更多精品文档解：阴膨部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（4BGBDEZEFG）的面积之和。SABDE=4（10+12）12=132.SMw=40210）X12=12又因为S=+Sz=12x12+1Ox10=244,所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）.例2如右图
3、，正方形ABcD的边长为6厘米，ZVkBE,AADF与四边形ABCF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.解：因为ZABEAADF与四边形ABCF的面积彼此相等，所以四边形AKHKJ面积与aABEAADF的面积都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是:Seie房皿=SaK=SAot=;X6X6=Ia在aABE中，因为AB-6.所以BE=4,同理【24,因此CEYF=2,：田谢面积为222=2o所以SZXAEF=S四边形AECF-SaECF-12-2=10（平方厘米）。例3两块等腰直角一:角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。解：在等腰宜.角
4、三角形ABC中ABIOSc=1.1010=50.又SAw=*3c=gx50=25,VEF=BF=AB-AF=IO-6=4.巴皿=畀4X4=8.阴影部分面积=SAABG-SZ三R=258=17（平方厘米）。例4如右图，为0）E的DE边上中点，BC=CD,若aABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求4M1.Z=J(1.S“)，6F=J(1*W*,SAJefM，阴影部分面中磋OU;例7如下页右上图，正方形AIU的边长是4厘米，0（=3厘米，矩形D1.H；的长DG为5厘米，求它的宽比等于多少厘米？解：连结AG自A作AH垂直于DG于凡在AADG中，AI4JDC=4（AD上的高）.SAGt=442=8,又D
5、G=5,SA=AHDG2.AH=82+5=3.2（厘米），.DE=32（厘米）。例咖右图，梯形ABEi勺面电调15平方米，筋米，AAEDft勺面隰5平方米,BC=IO米，求阴影部分面积.解：.梯形面积=(上底+下底)x高2即45=(AD+BC)x6+2,45=(AD+IO)62,.AD=45x2610=5米。一彳X皿.即5=95高,.A1ADE的高是2米。EBC的高等梯形的高减去AXDE的高，即6-2=4米,Sabb：-tBC4-1104-20(平方米).SM22例9如右图，四边形Ara）和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE,口ABCD的面积等于aCDE面积的2倍，而口
6、DEFG的面积也是ACDE面积的2倍。，口BCD的面积与口DEFG的面积相等。笫二讲不规期图形面枳的计算（二）第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为笈杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SAug=SS,SAng）合并使用才能解决。例1如右图，在一个JE方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等
7、）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的半。解法2:将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3:将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2如右图，正方形ABa）的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。解：由容斥原理S11fS-形4c+SADS正方形AoTXAB2-AB,=-4j2-4j4=16Xe-1）16X2.912平方米例3
8、如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面枳，D解：S影=S形邮鹃形CF穗形M=1.x6j+1.r4a-64=711（36+16）-244=13兀-24=15（平方厘米）（取=3）例4如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且A1.f20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（11）的面积大7平方厘米，求BC长。分析已知阴影（D比阴影（II）的面积大7平方厘米，就是半网面积比三角形ABC面积大7平方朋米：又知半圆直径320厘米，可以求出圆面积.半帆I面枳我去M”即米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC
9、的长.解IBcW长=314X（y）*2-72*20=（157-7）X2+20=15（照米）。例5如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面枳。分析阴影部分的面枳，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（D的面积之差，而图中（I）的面枳等于边长为6的正方形面积减去;的以6为半径的圆的面积。解：S阴6三角形HS正方物rS胸=i（10+6）6-（66.1.116aj=48-9（取Ji=3）=39（平方厘米）。例6如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60,此时AB到达AC的位置,求阴影部分的面积（取n=3）解：整个阴影部分被线段CD分为I和I1.两部分，以AB为直径的半圆被
10、弦AD分成两部分,设其中AD右侧的部分面积为S,由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即II=S,由于:I+SKT圆心角扇形ABC面积例7如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=I求阴影部分的面积.解：阴影M的面积+阴影N的面积=ABCD的面积=g阴影W的面枳=（正方形面枳-4X圆面积）蓼!=；X（IX1.qX/XF）三-*T（取11=3）O24S.阴影部分的总面积=288例8如下页右上图，AK是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，旦AB=BC=IO,求阴影部分面积（11取3.。解：.三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再
11、作一个全等的等腰直角三角形ACE,则ABCE为正方形（利用对称性质）。S阴=(S正方形xrS业rSAce2=(1010+115j-2-1015)-2=(100+39.25-75)2R4.252-32.125.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形
12、的面枳看成是若干个基本规则图形的面积之格.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发由接求出不规则图形面积，如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：24=4四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.田五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规
13、则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面枳.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的部分切割下来补在图形中的另部分使之成为基本规则图形，从而使问即得到都决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割F来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割卜来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴
14、影部分恰是个正方形。八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某轴旋转定角度贴补在另图形的侧,从而组合成个新的基本规则的图形,便于求出面枳.例如，欲求上图便)中阴影部分的面积,可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180,使A与C重合，从而构成如右图(2)的样九此时阴影部分的面积可以看成半阅面枳减去中间等胺宜角三角形的面积.Mq)(2)九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图膨面枳的一半.例如.欲求右图中阴影部分的面枳，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的半就是所求阴影部分的面积。
15、更多精品文档十、重登法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”(SAUB=SA+SB-SACB)解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积.可先求两个扇形面积的和.减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.殳Ia.三讲巧求表面积第三讲巧求表面积我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积.如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=(ab+ah+bh)x2.如果正方体的校长用a表示，则正方体的我面积=6a，对丁由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方
16、体组合而面的几何形体，它们的表面枳又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想彖能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向(有时只考虑上、左、前三个方向)的平面图形的面枳的总和，有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(右图)，求这个立体图形的表面积。分析我们把上面的小正方体想象成是口J以向卜“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积
17、就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面，J小正方体的四个偶面.j（大正方体的四个例面.解：上下方向：5X5X2=50（平方分米）：侧面：5X5X4=100（平方分米）；4X4X4=64（平方分米）。这个立体图形的表面积为：50+100+64=214（平方分米）。答：这个立体图形的表面积为214平方分米。例2下图是一个棱长为2厘米的IE方体，在正方体上表面的IE中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向卜挖个棱长磁匣米的正方体小洞，第三个IE方体小洞的挖法与前两个相同，棱长为5厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？4分析这道题的难点是洞里的表面积不易
18、求.在小洞里，平行于上下表面的所有面的面积和等于边长为I厘米的正方形的面积，这个边长为1厘米的正方形再与图中阴影部分的面枳合在一起正好是边长为2厘米的正方体的上表面的面积.这个立体图形的表面积分成两部分：上下方向：2个边长为理米的正方形的面积,边长为2厘米的1个正方形的面积和，边长为1厘米的1个正方形的面积和，侧面:力长为厘米的4个正方形的面积和,边1.细米的4个正方形的面积和。解：平行于上下表面的各面面积之和:2X2X2=8（平方厘米）;侧面：2X2X4=16（平方厘米）,IX1X4=4（平方厘米），二x（x4=1.（平方厘米），J27T4-71平方厘米八444这个立体图形的表面积为：8+1
19、6+4+1.y三29v（平方厘米）。44答：这个立体图形的表面积为2弓平方厘米。例3把19个棱长为1厘米的正方体重登在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的衣面积,分析从上下、左右、前后看时的平面图形分别由下面三图发示。因此，这个立体图形的表面枳为：HmH-11,mrmrttrm上下面左右洞前后面2个上面+2个左面+2个前面。解：上面的面积为：9平方摩米，左面的面枳为：8平方厘米，前面的面积为：10平方厘米。因此，这个立体图形的表面积为：(9+8+10)X2=54(平方厘米)。答：这个立体图形的表面积为54平方陲米。例4一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片
20、，每片又按任意尺寸锯成4条，每条乂按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如卜图.问这60块长方体表面枳的和是多少平方米？分析原来的JE方体Tr六个外表面，每个面的面积是IX1=1（平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面枳的.再考虑每锯刀，就会得到两个1平方米的表面，现在共锯了：2+3+4=9（刀），一共得到】8平方米的表面.因此，总的表面积为：6+（2+3+4）X2=24（平方米）。解：每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，1X2=2（平方米）一共锯了：2+3+4=9（刀），得到：2X9=18（平方米）的表面。因此，这大大小小的60块长方
21、体的表面积的和为：6+18=24（平方米）。答：这60块长方体表面积的和为24平方米.例5有一些校长是1厘米的正方体，共1993个，要拼成一个大长方体，问表面积最小是多少？解：因为1993是一个质数，所以这1993个正方体只能摆成长1993厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体，因此这个长方体的表面枳为：1993X1X1+1X1X2=7974（平方厘米）。答：摆成的大长方体表面积最小是7974平方厘米，例6用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体码放成一个表面积最小的长方体.码放后得到的这个长方体的表面积是多少？分析用这12个长方体可以码放出许多种不同的长方体，当然得到的表面积就不会相同.我们可
22、以把所有不同情况下的长方体的表面积都计算出来，再选出最小值，但这样做，会浪费很多时间，情况还不一定考虑得周全，因此，要考虑有没彳j巧妙的方法.先重申下基本原理：在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体，其备棱长之和为最小，其表面积也最小。因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是12个长方体，所以拼成的这个大长方体的体积就已固定（3X4X5X12=720立方厘米）.因为这个大长方体的体积不是一个立方数，因而不可能使各棱长都相等，但我们可以使长方体的长、宽、高这三个数尽可能地接近，这样使其各梭长之和为最小，这个大长方体的表面积也最小。解：一方面12=2?X3,另一方面，长、宽、高应尽
23、量接近，观察到720（立方厘米）=8（厘米）X9（厘米）X10（厘米），并且有5X2=10（厘米），4X2=8（厘米），3X3=9（厘米）.拼成的大长方体的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、9厘米，这时长方体的表面积为：（109+108+98）X2=484（平方厘米）。答：码放后得到的这个长方体的表面枳为484平方厘米。第四讲呆大公约数和批小公陪数一，IInn1n(n1)（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成：111n（n*1.）nn1它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。公式在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用
24、起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和*11)111323)2361（2项）111=而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如（3项）（4次）I1.1.1.一24126（5项）I1.1.1.1.+一2412742111111,一、2+5+20+12+7+42/项)2630201285642（8项）（9项）111111111一一一一一263020129725642(10项)。1111111111一+263020121090725642如果要求你用两种不同的方式把1写成】0个单位分数之和，你不妨在分裂成购时，另选一种方式g%*sr焉,如选呆白卷
25、即可。实际上，公式=J7丁二只是最初讲的1.J1.+1-1.+1的nn1n(n1)nxyn+tn+t,特殊情况，只是把112的互补因子选为1和112而已所以基本功好-*-fiJnXy分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分惭2的因子，而只要求分解n的所有因子，还以数字12为例：1-工，把12(注意不是122112Xy)的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12,6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(1.12)(2,3),(2,4),(2,6),(2,12)(3,4),(3,6),(3,12)(4,6),(4,12)(6,12
26、)对于每组合(a,b),写成1=J则有:a+bab1ab1212(a+b)*12(a+b)11(y)(ab)*()(ab)例如（2,3）,1111-654475*30420所以M15种方式，但这里有重身，如由（1,2）配出的Mk二112Xy1212（1+2）和由（2,4）配出的工一岁是相同的,只要在因子的配组中筛去这1212（2+4）种情况即可.以上讨论相应于不定方程1.1.1.对于其他分数形式的不定方程，分nXy子不是1的，例如记号AUB表示所有属集合属广集合B的元素所组成的集合就是右边示意图中两个圆所澄盖的部分.集合AUB叫做集合A与集合B的并集IT读作“并”，AUB”读作A并BZOD例3
27、设集合A=123.4.集合B=246,8,则AUB=（123,4,6.81元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。记号AB表示所有既屈于集合A也属于集合B中的元素的全体就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集符号“C”读作“交”，“ACB”读作“A交B”如例3中的集合A、B,则AB=2,40下面再举例介绍补集的概念。例4友集合1=1.357.9.集合A=3.5,7。A=属F集合I,但不属集合A的全体元素=1,9）.我们称属集合I但不属集合A的元素的集合为集合式在集合中的补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合
28、I）常记作AO=如例4中A=1.,9）就是集合A在集合I中的补集。显然，A和A没有公共元素，即AnAW）O表示空集，即没有元素的集合）。此外，AUA=1.对于两个没有公共元素的集合A和B,显然有IAUB=A+Bo例如，A=1.,2,.,1003=101,则AUB=12100,IOI,AB=C.所以AUB1.=IO1.=100+1=A+B如果集合A与B仃公共元素，例如A=12,.,1001,B=9O,91,.,IO1则Ac1.B=(90,91,.,100,AUB=1,2,101.此时，AUB与A+B什么关系呢?在这个例中，|AUB=IO1.,AI+BI=100+12=112所以AUB1.=A+B
29、-11我们注意到，U恰为AB的元素个数这是合理的，因为在求IAUB时，90,91,JoO这11个数各被计入一次，而在求A1+B时，这11个数各被计入两次(即多算了一次),并且这11个数组成的集合恰为Ar)B.因此得到AB=A+B-AB,(1)这就是关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数.(1)是容斥原理的第一个公式我们还可以用右图来说明.如图我们用N1、N2、N3分别表示AUB中互不重登的部分的元素个数。可见：AI=N1+N3,B=N2+N3,AB=N3.因此AUB=NI+N2+N3=(NI+N3)+(N2+N
30、3)-N3=A+B-ABo我们知道，当集合A与B没有公共元素时，有AB=A+B实际上这是公式的特殊情形，因为此时IAnB1.=Io1.=0,例5桌上有两张圆纸片A、R假设圆纸片小的面积为30平方厘米，圆纸片-B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面枳为IO平方厘米则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（D可以算出为：1AUB=30+20-10=40（平方厘米）。例6求在1至100的白然数中能被3或7整除的数的个数。分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能
31、被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为M个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=在1100的白然数中能被3整除的数）,B=（在1.100的自然数中能被7整除的数,则Mf1.J-；在1100的自然数中能被21整除的数。V1.（）O+3=33.1,A=33o.100+7=14.2,B=14.V10021=4.16,.,.AB=4o由容斥原理的公式（1）:IAUB=33+14-4=43.答：在1100的自然数中能被3或7整除的数有43个。例7求在100的白然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在I1.OO的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩卜的数就既不是5的
32、倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。解：设A=在1100的自然数中5的倍数的数,B=I在1100的自然数中6的倍数的数）,则问题就是要求AUB在集合U,2,，100）中的补集A丽一的元素个数.为此先求IAUBI.V10050=20.,.A=20又.T00祐=164,.BI=16Vi0030=3.10.IAB=3,AUB=A+B-B=20+1.6-3=33IAUB=Io（HAUB1.=100-33=67（个）。答：在卜100的自然数中既不是5的倍数又不是6的倍数的数共67个。我们也可以把公式用于求几何图形的面积.这时，A和B是平面上的两个点集（即点的集合），都是几何图形.AI,B,.分别表示A
33、的面枳，B的面积，。例8设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。分析如图，四个直径为1师米的半圆不但盖住了正方形，还有四个重心部分这正好是要求的阴影部分的面枳.或者，用八表示上、下两个半圆，用B表示左、右两个半圆，则AUB为边长为1厘米的正方形，RMB为图中阴影部分.由（D可得IAB=AI+BI-AUBI,更多精品文档因此可求出阴影部分的面积。解法1:.大正方形面积=4个直径为1厘米的半圆面积-阴影图形面积.阴影图形面积=2个直径为1厘米的圆面积正方形面积只=2Xx)11=0.57(平方厘米)。解法2:我们从图（八）的对称性分出其中的?图形.图中叶状阴影
34、图形4面积的一半等J泮储瓢米的圆面积的卜我去边脸眯的正方形面积的一个叶状阴影面枳=2、11U41.42/222=057j(平方厘米)4，上页图（八）中阴影面积=0.57(平方厘米)。答：阴影面积为0.57平方厘米。上面的例子是把一组事物按两种不同的性质来分类后，求具有其中一种性质的元素个数问题.如果把组事物按三种不同性质来分类后，求具有其中种性质的元素个数的公式该是什么样的呢?我们仍用图形来说明它具有与公式(1)类似的公式：ANAueUC1.)Ak1.B1.+1.CNAMBHANdIBnck则问题是要求AIHC在I中的补集AuWC所含元素的个数；IAUBUC1.=960-1AUBUC1.=96
35、0-(510+330+120-270+58)=212()答：全校有212名学生没订阅任何报刊。例10在一次数学竞赛中，甲答错了题目总数的。乙答错/通，甲、乙都错的题占题目总娴!，求甲、乙都答对的题目数。6解：如右图，设这次竞赛共有k道题，用集合A、B分别表示甲、乙答错的题目，图中字母a、b、c、d分别表示集合A、B在全部题目作成的集合中形成的各个无重且部分的元素个数，可见d为问题所求依题意列方程：ka+c=7,c+b=3,c=j-.(3)将代入：a+164注意到a、b、c、画表示题目的道数，应为自然数或零，因此k为12的倍数：12、24、数码O代表线段OA数码1代表线段0人数码2代表线段OC,
36、数码3代表线段OD。数码!代表线段0E。数码5代表线段OF。数码6代表线段OG“数码7代表线段OH.这样，006756412312所对应的轨迹图形为封团折线，为清楚起见标上字母，即为S=MMIM2M3M4M5M.M-M8M2M1M1M.如右图,因为在S边界上有12个格点(YM1M),内部有5个格点，为NK电、N31N.N5这17个点中可形成面枳大于等于2的正方形顶点的四点组共有13个。分类面枳为2的共有5个：更多精品文档有4k=(k+1.)2-(k-1.)2(k=2,3,)，即大广4的被4整除的数都是“智慈数”而4不能表示为两个自然数的平方差，.4不是“智慈数”.对于被4除余2的数4k+2(k
37、=0,1.,)设4k+2=2-y2=(x+y)(x-y),x、yN当x、y奇偶性相同时，(x+W(xy)被4整除，而4k+2不被整除，矛盾。当x、y奇偶性相异时，(+y)(x-y)为奇数，而4k+2为偶数，又矛盾。.不存在x、yEN,使得xz-yj=4k+2,即4h+2形的数均不为“智慧数”。在自然数列中前四个自然数中，只有*22-12为智慈数。由知，从5开始的每连续四个数中有三个“智慈数”，故四个数为一个周期。1992=3X664.J从5开始有664个周期,再加上1,2,3,4便共有665个周期，而4X665=2660,因此，第1993个“智越数”是2660。例3有一列数：1,3,4,7,1
38、1,18,(从第3个数起，每个数恰好是它前面相邻两个数的和)。3+2+5+1+0+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+05+5+4+3+1.45-66o66被6整除，就是说每个周期中的数的和能被6整除.第1991组有1991个数，1991除以24商82余23.这1991个数之和被6除余数应等于前23个数之和被郃余的余数，也就是66减去最后一个数5所得差被6除的余数：56561,它除以6余1由上述分析、计算，知第1991组各数之和被6除余1。列4有1993个硬市，排成一行，开始时，都是国徽的一面，不妨说都标为“0”第卫次,将1993个币翻面，变成“分值”的一面,不妨说都变成“卫”第2次将
39、其中1992个币翻面，第3次将1991个币翻面，依次递降一，第1993次,将1个币翻面，问可否使结束状态为1993个面全为“1”？分析设一行硬币总共有N个，如N=I卫.初始：，结束：（1,可以办到。如N=2初始：0,0,第1次：1,互,第2次：0,1.）,结束状态不是UJ。如N=3初始：0,0.0,第1次：1,1,第2次:0,0,1,第3次：（0,1,1）,或（0,0,0）结束状态不会是1,1,1。1N=4.初始：0,0,0,0）。第1次:上一卜4,U,1,卫，1（翻动4个币总值增加4,记为上一十4,读作“加4”）,第2次：凸一一3,0,0,0,（翻动3个币，总值减少3,记为凸一一3,读作一减
40、3”），第=+1.-1.3次：A=+2(0.1.1.1)(0,0,1,0)笫4次：=+1（1,1,1,1）结束状态可以是1,1,1,1.）下面，对于N=5的情况，用树形图，表达这个推理过程，其中结点（即圈内数字）表示5个硬币的状态。分枝上的记号，代表翻币的过程。原来的1个。变成1,记为=+1，原来的1个1变成0,记为4=-1.0翻币情况（从上到下的串分枝上的的和等于5时，初始的5个0最终即变为5个D:如N=5.初始：I翻5个市）G1.1.1.I）n（翻4个币）1.1.1.1,01.1.1.1.0o.ao,.结论：对于N=5有2种方式达到所要求的目标对于任意大的N值，可以用递推的思想方法，得到一
41、般性结论：如N=k时，依次递减个数的翻币，能使“k个0”变成“k个1”，那么,N=k+4也可依次递减个数翻币，使“k+4个0变成“k+4个1，反之亦然设计树形图：初始:QQ侬少-*(k2)()二邰1再堰教盛博力也除J一WW1.,k71.sO-C11,1QM下面再依次ifi*个币，k1个币，.在这些羽过程中始终保持前4个1不变.这样，以卜即化为N=k时的情况。结论：N=Oj(mod4)隔币可成功，更多粒Ia文档N=2,3(mod4)必不可能成功(证明见注)而1993=1(mod4)。.才趣可成叽注：严格证明：对于每个币，必翻动奇数次，才能使0”变成1”.N个币每个翻奇数次，总共翻动N个奇数相加另
42、方面，翻动次数总和=1+2+3+N(HN)N=2,对于N=2(mod4),记作N=4k+2。4k+2个奇数之和=偶数，另外，罕=吗#X(4k2)=(4k+3)(2k+1.)=奇数，偶数W奇数。对于N=3(m(xi4),记作N=4k+34k+3个奇数之利J=数，另一方面，詈N=1*斗X(领+3)=(2k+2)(4k+3)二偶数，奇数偶数。：.对TN=2,3(mod4),翻币后的结束状态不可能为N个1。本题的解决，给我们一个启示：一上手就解决1993个币的翻面问题，必然头绪纷多，不知所措此时要“退”够，退到最简单情况，对N=1、2、3、4,5找规律，数目少，结论易得，然后再“进，而且要总结一般规律这样，对于1993,以至于对于任何一个数，都一起解决了
