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1、常见插值法【摘要】插值方法在数值分析中起着特别重要的作用。在此介绍一些常见的插值方法及【关键字】数值分析；插值方法:1.插值法定义插值法又称“内插法”，是利用函数f(X)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些表插值点点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(X)的近似值，这种方法称为插值法。假如这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。2.常见的插值法及其构造1.agrange插值法(a) .公式推导：发(1)的1.agrange插值的插值多其应用范例C应用；项式1.n(X)=Wf(X禺，(j=0,1，2.n)。I-O其中插值基函数是n=11-(i.J=O,12
2、.n)o其插值余项为皿，邮)忍霭)=儡(七Xj)(b) .mat1.ab实现方法：MatIab没有干脆求解的相关函数，现编译如卜丁functionyi1.agarange_chazhi(x,y,xi)先求拉格朗日插值，并返回个输入为Xi时的函数值%X为插值点向量，至少有三项%y为插值点值的向量，项数及X相同m=1.ength(x);1.求插值个数m1.=1.ength(y);ifm=2error(项数不足！)；endifm、=m1.error(!y的项数应及X相同!！!)；end必对参数的推断IagJ1.anShU=0:synsX;for(1=1:m)%构造插值基函数1.a=y(1.);for
3、a=(1:1-1)Ia=1.a*(X-（八）)(x(1.)-（八）);fora=(1+1:m)1.a=1a*(X-x（八）)/(x(1)-x（八）);endformat1.ongIagj1.anShU=1.ag_hanshu+1.a;气求解出插值函数endyi=subs(IagJianshuCxi);%返回插值函数输入为Xi时的值End(c) .方法缺陷：当插值点个数n7时，将产生龙格现象：经典例子，对f()=7r进行(1+25-)拉格朗日插值图(1)中从左到右，end从上到下，n分别为图(1)1.agarange插值法的龙格现象4,5.11,可以看出，当n7后，它的插值函数在两个端点处发生猛
4、烈的波动，造成较大的误差。所以拉格朗口插值法一般不适用于高次插=x1x三*线性插值法(a) .插值原理：为避开高次产生的龙格现象，采纳分段插值，相邻两节点间的函数为一次线性函数，图形为线段，在a,b间为折线，如图(2).图(2)分段线性插值(b) .matIab实现方法:Mat1.ab中没有现成的函数，现编译如F：functionFenduan_1.iner(x,y)“对x,y进行分段线性插值先用虚线画出插值后的函数m=1.ength(x);%求插值个数m1.=1.ength(y);ifm=m1.error(!y的项数应及X相同！)；end先对参数的推断ho1.don;forii=1:m-1.
5、p1.ot(x(ii)x(ii+1.),y(ii)y(ii+D);画出线段end1.ot(x,y,o,);值点1.画出插end(c)方法缺陷：在节点处曲线不平滑。保形插值(Hemite插值)(a) .插值原理：针对分段插值法不光滑的问题，Hermite插值引入插值点的导数。表(2)Hermite插值法,由于若/)GCa.h且已知/(x)函数表及导数表，则存在唯一不超过2”+1次多项式，2,“(x)满意插值条件则，通过求解方程，可得眼神值函数其插值余项为e(a.b)”.及X有关。(b) .mat1.ab实现方法:MatIab中没有现成的函数，现编译如下:functionyi=Hermite(x,
6、y,der_y,xi)%对x,y进行Hermite插值,其各节点的导数为der_y%返回值为带入矩阵Xi后的函数值ifIength(x)=1.ength(y)if1.ength(y)1.ength(der_y)n=1.ength(x);求插值个数ende1.seerror(!y的项数应及X相同!！!)；endifn=1.warning(项数不足！)；end%对参数的推断symsX;forjj=1.:nH=0:a=0：b=0：1=1;forii=1:nIf11=JJaa+1.(x(jj)-(ii)：11.*(X-x(ii)(x(jj)-x(ii)：endendA=(1.-2*(X-(jj)*a)
7、*1.2;B=(X-(jj)*2;H对每两个点间进行三次多项式的插值,且通过端点导数推导出各点导数，使得插值函数在插值点处导数相等。(b).matIab实现方法:MatIab有现成的函数SPIine,以下为he1.psp1.ine,H+(A*y(jj)+B*dery(jj);受迭代法endyi=subs(H,X,xi);end(c).方法缺陷：无法获得各点的导数插值法关系图三次样条法.插值原理:“PP=sp1.ine(X,Y)providesthepiecewisepo1.ynomia1.formofthecubicsp1.ineinterpo1.anttothedatava1.uesYatt
8、hedatasitesX,forusewiththeeva1.uatorPPVA1.andthesp1.ineuti1.ityUNMKPP.Xmustbeavector,n(由边界/三次样V比例证F导客咕条插对)=不彳w-UI,在X=-I,-0.5,0,0.5,1点处插值代码如下：syinsX;Y=1.(1+25*X-2);X=-1:0.5:1;y=subs(Y,X,x);dery=subs(diff(Y),X,x);xi=-1:0.01:1;yi=1.(1.+25*xi.2);yi1.agarange1.agarangechazhi(x,y,xi);yiHermiteHermite(x,y,
9、dery,xi);yi_Yangtiao=sp1.ine(x,y,xi);ho1.don;p1.ot(x,y,o,xi,yi,b,);“画出分段插值FendUan_1.iner(x,y);气画出拉格朗日插值p1.ot(xi,yi_1.agarange,:g);与画出Hermite插值p1.ot(xi,yi_Hermite,:;先画出三次样条插值p1.ot(xi,yi_Yangtiao,-g);（注：蓝色实线为原函数，蓝色圆点为插值点，蓝色短虚线为分段线性插值，蓝色点虚线为Hen1.ite插值，绿色点虚线为1.agarange插值，绿色短虚线为三次样条插值）结果分析:全部插值法中，分段线性插值结果图形为最贴近原函数,其次Hennite插值法,再其次为三次样条，及1.agarange插值法接近但分段线性插值法在结点处不光滑，Hermite导数信息不易获得,1.agarange插值法虽然计算简洁，但高次产生龙格现象，所以三次样条插值法比较好用。【参考文献】1.MAT1.AB数值分析第2版机械工业出版社张德丰等编著
