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1、.电磁场与电磁波课后习题解答1.1给定三个矢量、和如下：求：1；2；3；4；5在上的分量；6；7和；8和。解123114由,得 5在上的分量 67由于所以81.2三角形的三个顶点为、和。1判断是否为一直角三角形；2求三角形的面积。解1三个顶点、和的位置矢量分别为,则,由此可见故为一直角三角形。2三角形的面积 1.3求点到点的距离矢量及的方向。解,则且与、轴的夹角分别为1.4给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。解与之间的夹角为 在上的分量为 1.5给定两矢量和,求在上的分量。解所以在上的分量为 1.6 证明：如果和,则；解由,则有,即由于,于是得到 故1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢
2、量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量,而,和已知,试求。解由,有故得1.8在圆柱坐标中,一点的位置由定出,求该点在：1直角坐标中的坐标；2球坐标中的坐标。解1在直角坐标系中 、故该点的直角坐标为。2在球坐标系中 、故该点的球坐标为1.9用球坐标表示的场,1求在直角坐标中点处的和；2求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。解1在直角坐标中点处,故2在直角坐标中点处,所以故与构成的夹角为 1.10球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为解由得到1.11一球面的半径为,球心在原点上,计算：的值。解1.12在由、和围成的圆柱形区域,对矢量验证散度定理。解在圆柱坐标系
3、中 所以又故有1.13求1矢量的散度；2求对中心在原点的一个单位立方体的积分；3求对此立方体表面的积分,验证散度定理。解12对中心在原点的一个单位立方体的积分为3对此立方体表面的积分故有1.14 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分,并求对球体积的积分。解又在球坐标系中,所以1.15 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。解又所以故有1.16求矢量沿圆周的线积分,再计算对此圆面积的积分。解1.17证明：1；2；3。其中,为一常矢量。解12 3设,则,故1.18一径向矢量场表示,如果,那么函数会
4、有什么特点呢？解在圆柱坐标系中,由 可得到为任意常数。在球坐标系中,由 可得到 1.19给定矢量函数,试求从点到点的线积分：1沿抛物线；2沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？解12连接点到点直线方程为即故由此可见积分与路径无关,故是保守场。1.20求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数,此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。解题1.21图故沿方向的方向导数为点处沿的方向导数值为1.21试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式。解在圆柱坐标中,取小体积元如题1.21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为同理因此,矢量场穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达
5、式 1.22方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.23现有三个矢量、为1哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？2求出这些矢量的源分布。解1在球坐标系中故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。2这些矢量的源分布为,；,；,1.24利用直角坐标,证明解在直角坐标中1.25 证明解根据算子的微分运算性质,有式中表示只对矢量作微分运算,表示只对矢量作微分运算。由,可得同理故有1.26利用直角坐标,证明解在直角坐标中所以1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及,试证明之。解1对于任意闭合曲线为边界的任意曲面,由斯托克斯定理有由于曲面是任意的,故有2对于任意闭合曲面为边界的体积,由散度定理有其中和如题1.27图所示。由斯托克斯定理,有,由题1.27图可知和是方向相反的同一回路,则有 所以得到 题1.27图由于体积是任意的,故有 .
