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1、电磁场与电磁波第4课后习题答案 高等教育出社六章习题解答第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B=ez5coswtmT之中，如题6.1图所示。滑片的位置由x=0.35(1-coswt)m确定，轨道终端接有电阻R=0.2W，试求电流i. ya ib 0.2m Rd 0.7m c x题6.1图 解 穿过导体回路abcda的磁通为 F=BgdS=ezBgezadab=5coswt0.2(0.7-x)故感应电流为 =coswt0.7-0.35(1-coswt)=0.35coswt(1+coswt) i=Ein1dF=-RRdt1=-0.35wsinwt
2、(1+2coswt)-1.75wsinwt(1+2coswt)mAR 6.2 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B=ezB0中与z轴平行。设棒以角速度w绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为 故介质棒内的极化强度为 极化电荷体密度为 E=vB=efrwezB0=errwB0 P=Xee0E=er(er-1)e0rwB0=er(e-e0)rwB0 rP=-P=-极化电荷面密度为 11(rP)=-(e-e0)r2wB0rrrr=-2(e-e0)wB0则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 sP=Pn=er(e-
3、e0)rwB0err=a=(e-e0)awB0 QP=pa21rP=-2pa2(e-e0)wB0QPS=2pa1sP=2pa2(e-e0)wB0 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设a=0.2m、b=c=d=0.1m、i=1.0cos(2p10t)A，求回路中的感应电动势。 7a i i b c d 题6.3图 解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为 Ein=-式中 ddBdS=-B左dS+B右dS dtdtB左=故 m0im0i,B右=2pr2p(b+c+d-r) b+c则 m0imaib+
4、cadr=0lnb2pr2pbsc+dm0im0aib+cBdS=adr=ln右d2p(b+c+d-r)2pbs B左dS=Ein=-2dm0aib+clndt2pbmab+cd=-0ln1.0cos(2p107t)a2+b2pbdt4p10-70.2=ln2sin(2p107t)2p107Vp=3.484sin(2p107t)V6.4 有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。 解 设导线材料的电导率为g，横截面积为S，则导线的电阻为 R=而环形线圈的电感为L，故电压方程为 lgS U=Ri+Ldidt di=0d
5、t当U=U0时，电流i也为直流，。故 llU0=Ri=JS=J=lEgSg 此时导线内的切向电场为 E=U0l 即 di(t)0dt当U=U时，故 di(t)dU(t)=Ri(t)+L=RgE(t)S+L(gE(t)S)dtdtldE(t)=gE(t)S+LgSgSdt dE(t)lE(t)U(t)+=dtLgSLgS 求解此微分方程就可得到E(t)。 6.5 一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为U0sinwt，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。 解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布
6、可视为相同，即 E=er故电容器两极板间的位移电流密度为 U0sinwtrln(ba) Jd=则 UcoswtD=erew0trln(ba) 2p0id=JddS=sl0ewU0coswtrln(ba)ererrdfdz=C=式中，流过电容器的传导电流为 2pelln(ba)是长为l的圆柱形电容器的电容。 ic=CdU=CwU0coswtdt 2pelwU0coswt=CwU0coswtln(ba) 可见 id=ic 6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程 E=0和D=r 由D=r得 Ddt=tt据散度定理，上式即为 rdtg
7、DdS=qs利用球对称性，得 D=er故得点电荷的电场表示式 q4pr2 q4per2 由于E=0，可取E=-j，则得 即得泊松方程 E=erD=eE=-ej=-e2j=r 2j=-re 6.7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：在直角坐标中；在圆柱坐标中；在球坐标中。 解 在直角坐标中 在圆柱坐标中 DHzHy-=Jx+xyztDyHxHz-=Jy+zxtHyHxD-=Jz+zxyt HxEzEy-=-myztHyExEz-=-mzxtEyExHz-=-mxyt BxByBz+=0xyzDxDyDz+=rxyz 在球坐标系中 D1HzHf-=Jr+rrfztDHrHz-=Jf+fzr
8、tD11Hr(rHf)-=Jz+zrrrft Hr1EzEf-=-mrfztHfErEz-=-mzrtHz11Er(rEf)-=-mrrrft 11BfBz(rBr)+=0rrrfz11DfDz(rDr)+=rrrrfz HD1(sinqHf)-q=Jr+rrsinqqftD11Hr-(rHf)=Jq+qrsinqfrtDfHr1(rHq)-=Jf+rrqt EHr1(sinqEf)-q=-mrsinqqftH11Er-(rEf)=-mqrsinqfrtHfEr1(rEq)-=-mrrqt 1211Bf(rBr)+(sinqBq)+=0r2rrsinqqrsinqf1211Df(rD)+(si
9、nqD)+=rrq2rrrsinqqrsinqf 9E=e0.1sin10pxcos(6p10t-bz)，求H和b。 y6.8 已知在空气中提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得b。 解 电场E应满足波动方程 2EE-m0e02=0t 2将已知的E=eyEy代入方程，得 2Ey式中 x2+2Eyz2-m0e02Eyt2=02Eyx2Eyz22=-0.1(10p)2sin10pxcos(6p109t-bz)=0.1sin10px-b2cos(6p109t-bz)2Eyt2=0.1m0e0sin10px-(6p109)2cos(6p109t-bz)m0e0故得 则 由 -(10p)2-b2+m0
10、e0(6p109)2=0 b=p300=54.41rad/m E=-m0Ht 得 EyEyH11=-E=-ex+eztm0m0zx=-1m0-ex0.1bsin10pxsin(6p109t-bz)将上式对时间t积分，得 +ez0.110pcos10pxcos(6p109t-bz) =-1ex0.1bsin10pxcos(6p109t-bz9m06p10+ezpcos10pxsin(6p109t-bz)=-ex2.310-4sin10pxcos(6p109t-54.41z)-ez1.3310-4cos10pxsin(6p109t-54.41z)A/m 6.9 已知自由空间中球面波的电场为 =eq
11、求H和k。 解 可以和前题一样将E代入波动方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比较，即可确定k的值。两种方法本质上是一样的。 由 E0sinqcos(wt-kr)r E=-m0得 Ht H11e=-E=-f(rEq)tm0m0rr=-=ef1m0rkefE0sinqcos(wt-kr)rm0rE0sinqsin(wt-kr)k将上式对时间t积分，得 H=ef将式代入 wm0rE0sinqcos(wt-kr)Et H=e0得 E1=Hte0=11(rsinqH)-e(rsinqHf)fqe0r2sinqqrs
12、inqr k2E0sinq12kE0=ercos(wt-kr)-esin(wt-kr)qe0wm0r2wm0r er1将上式对时间t积分，得 k2E012kE0E=er22sin(wt-kr)+eq2sinqcos(wt-kr)e0wm0rwm0r 将已知的 E=eq与式比较，可得 E0sinqcos(wt-kr)r 122含r项的Er分量应略去，且k=wm0e0，即 k=wm0e0 将k=wm0e0代入式，得 H=ef=efwm0e0E0sinqcos(wt-kr)wm0re0E0sinqcos(wt-kr)Am0r6.10 试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方
13、程。 解 注意到非均匀媒质的参数m,e是空间坐标的函数，因此 B11H=B+Bmmm=-而 1mmB+21mBJ+因此，麦克斯韦第一方程 D(eE)E=J+=J+ettt Dt H=J+变为 B=mJ+me又 E1+mBtm D=(eE)=Ee+eE=r 故麦克斯韦第四方程D=r变为 E=则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为 r1-eEee B=mJ+meE=-B=0E=BtE1+mBtmr1-eEee6.11 写出在空气和m=的理想磁介质之间分界面上的边界条件。 解 空气和理想导体分界面的边界条件为 nE=0根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边
14、界条件 nH=Js n Dl a H1 b Dh EH,H-E,JsJms nH=0式中，Jms为表面磁流密度。 nE=-Jms d H2 题6.12图 c 6.12 提出推导nH1=Js的详细步骤。 解 如题6.12图所示，设第2区为理想导体。在分界面上取闭合路径aabcda,ab=cd=Dl,bc=da=Dh0。对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得 gHdl=CHdl+Hdl+Hdl+HdlbcdDh0H1Dl-H2Dl=lim(JdS+SDdS)tSD因为t为有限值，故上式中 DdS=0Dh0tSlim而(1)式中的另一项 Dh0为闭合路径所包围的传导电流。取N为闭合路径所围面积的单位矢
15、量，则有 Dh0limJdSSlimJdS=JsNDlS因 故式可表示为 Dl=(Nn)Dl (H1-H2)(Nn)Dl=JsNDl 应用矢量运算公式A(BC)=(CA)B，式变为 故得 n(H1-H2)N=JsN n(H1-H2)=Js 由于理想导体的电导率g2=，故必有E2=0,H2=0，故式变为 nH1=Js 6.13 在由理想导电壁限定的区域0xa内存在一个由以下各式表示的电磁场： 这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？ 解 如题6.13图所示，应用理想导体的边界条件可以得出 在x=0处，apxEy=H0mwsinsin(kz-wt)paapxHx=H0ksinsi
16、n(kz-wt)papxHz=H0coscos(kz-wt)a x Ey=0,Hx=0a 在x=a处，Hz=H0cos(kz-wt) Ey=0,Hx=0o 题6.13图 上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量Hx。 另外，在x=0的表面上，电流密度为 Hz=-H0cos(kz-wt) Js=nH|x=0=ex(exHx+ezHz)|x=0=exezHz在x=a的表面上，电流密度则为 x=0=-eyH0cos(kz-wt)Js=nH|x=a=-ex(exHx+ezHz)|x=a=-exezHzx=a=-eyH0cos(kz-wt)6.14 海水的电导率g=4S/
17、m，在频率f=1GHz时的相对介电常数er81。如果把海水7e=1,g=5.710S/m，r视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。 解 对于海水，H的微分方程为 H=J+jwD=gE+jweE=jw(e-jgw的电介质。代入给定的参数，得 即把海水视为等效介电常数为10-949E=j2p10(81-j)E936p2p10=j(4.5-j4)E=(4+j4.5)E ec=e-jg)Ew 对于铜，传导电流的幅度为gE，位移电流的幅度weE。故位移电流与
18、传导电流的幅度之比为 we2pfere0=gg2pf可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜，H的微分方程110-936p=9.7510-13f75.710 为 H=gE=5.7107E 6.15 计算题6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。 解 瞬时能流密度矢量为 S=EH=eyEy(exHx+ezHz)=exEyHz-ezEyHx=e2axH0mwpsin(pxa)cos(pxa)sin(kz-wt)cos(kz-wt)-eH2k(ap)2sin2(pxz0mwa)sin2(kz-wt)=e1apxpxx2H20mwpsin(a)cos(a)sin2(kz-
19、wt)-e12a2pxz2H0mwk(p)2sin(a)1-cos2(kz-wt)为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式 Ea-jkz+jpy=H0mwsin(px2pa)eapx-jkz+jpHx=H0k(2p)sin(a)eHHpxz=0cose-jkza故平均能流密度矢量为 S1*av=2ReEH*=12Ree*xEyHz-ezEyHx1ap2expxjp=Re2xH0mwpsin(a)cos(a)e2-e2a2px12apxzH0mwk(p)sin2(a)=-ez2H0mwk(p)2sin2(a)6.16 写出存在电荷r和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。 解 存
20、在外加源r和J时，麦克斯韦方程组为 H=J+eEt E=-mHt H=0 E=re 1）2）3）4） 两边取旋度，得 H=J+e而 故 (E)t H=(H)-2H (H)=2H=J+e(E)t 将式和式代入式，得 2-me2HHt2=-J这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。 同样，对式两边取旋度，得 E=-mt(H)即 (E)-2E=-mt(H) 将式和式代入式，得 2E-me2EJ1t2=mt+er此即E满足的波动方程。 对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示 H=J+jweE E=-jwmH H=0 E=re 对式两边取旋度，得 H=J+jweE利用矢量恒等式 H=-(H)-2
21、H得 (H)-2H=J+jweE 将式和式代入式，得 2H+w2meH=-J此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。 同样，对式两边取旋度，得 E=-jwmH即 (E)-2H=-jwmH 将式和式代入式，得 2E+w2meE=jwmJ+1er10） 11） 12） 和式得 2A-me2Ajt2=-mJ+me(t) 2j=-re 式和式就是采用库仑规范时，电磁场A和j所满足的微分方程。 6.18 设电场强度和磁场强度分别为 E=E0cos(wt+ye)H=H0cos(wt+ym)证明其坡印廷矢量的平均值为 S1av=2E0H0cos(ye-ym)解 坡印廷矢量的瞬时值为 1） 2） 3）
22、4） ，可以引入一个矢量位Am和标量位jm，定义为 试推导Am和jm的微分方程。 解 无源空间的麦克斯韦方程组为 Dt BE=-t B=0 D=0 H=据矢量恒等式A=0和式，知D可表示为一个矢量的旋度，故令 D=-Am 将式代入式，得 H=-即 (Am)t AH+m=0t AH+mt可表示为一个标量的梯度，故令 根据矢量恒等式j=0和式，知AH+m=-jmt 将式和式代入式，得 A1E=-Am=-m(-jm-m)ett 而 Am=(Am)-2Am 故式变为 2Amjm(Am)-Am=-me-met2 t2又将式代入式，得 H=(-jm-即 Am)=0t 2jm+令 (Am)=0t Am=-m
23、ejmt 将它代入式和式，即得Am和jm的微分方程 2AmAm-me=02t2jm2jm-me=0t2 21xc=A=ex(-t)m0e0。j=x-ctc6.20 给定标量位及矢量位，式中试证明：jA=-m0e0t；B、H、E和D；证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。 故 Axx1=(-t)=m0e0xxcc解 j1=(x-ct)=-c=-ttm0e0 A=-m0e0则 j1=-m0e0(-)=m0e0tm0e0jt AAB=A=eyx-ezz=0zy BH=0A=-m0e0m0而 E=-j-=-exAjx=-ex-ex(-t)txtc这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。 (x-ct)+ex=0xD=e0E=0
